模和環的small-內射性的一些研究

魯 琦， 李 娜

(蚌埠學院 理學院，安徽 蚌埠 233030)

本文中，R均指含有單位元的結合環，R上的模均指單式模.J(R)(或J)和Z(RR)(或Zl)分別表示R的Jacobson根和左奇異理想.對于環R中的任意元a，l(a)和r(a)分別表示a的左零化子和右零化子.2006年，沈亮[1]引入small-內射模的概念，利用small-內射模定義small-內射環，研究其性質，以及和其他特殊內射環的關系.2009年，余祖俊等[2]進一步研究了small-內射的LPID環的性質，并對文獻[1]中利用small-內射模刻畫半本原環的工作進行延拓，證明了任意單左(右)R-模是small-內射的當且僅當R是半本原環.2010年，李喆等[3]將文獻[2]中任意單左(右)R-模是small-內射的用任意單奇異左(右)R-模是small-內射的替代，研究了半局部環的von Nuemann正則性，對半單環和強正則環也做了一些等價刻畫.本文在文獻[2]和文獻[3]的研究基礎上研究small-內射模(環)，給出了環是small-內射環的一些充分條件，并用單奇異模的small內射性刻畫半本原環.文中出現但未給出具體定義的一些概念見文獻[4].

1 預備知識

定義1.1[1]設R是環，稱左R-模M是small-內射的，如果R的每個small左理想到M的左R同態可以擴張為R到M的左R-同態.R是左small-內射環，如果R作為左-模是small-內射的.

引理1.1[3]設R是左small-內射環，則J?Zl.

命題1.1若R是無零因子的左small-內射環，則R是半本原環.

證若不然，存在0≠a∈J，由R是無零因子環可知0≠a2∈J.易知Ra2是small左理想.對任意r∈R，定義f:Ra2→R;ra2ra.若ra2=0，則由R是無零因子環可得ra=0，故易證f左R-同態.于是存在b∈R，使得a=a2b，進而推出a(1-ab)=0.因為a∈J，所以1-ab可逆，故可得a=0.此與a≠0矛盾，故R是半本原環.

2 主要結果

命題2.1若J作為左R-模是small-內射的，則R是半本原環.

證若不然，存在0≠a∈J，則Ra是small左理想.對任意r∈R，定義f:Ra→J;rara，易證f左R-同態.于是存在b∈J，使得a=ab，進而推出a(1-b)=0.由于b∈J，故可得a=0.因此R是半本原環.

命題2.2設M,N是左R-模，若M是P-內射的，N是small-內射的，則M⊕N是small-內射的.

證對任意small左理想I， 由N是small-內射的可知，I到N的任意左R-同態均可擴充成R到N的左R-同態.設f是I到M⊕N的任意左R-同態，并設

p1:M⊕N→M是M⊕N到M的標準投影，

p2:M⊕N→N是M⊕N到N的標準投影，

則p1f(rba)=rbam,m∈M；p2f(rba)=rban,n∈N.于是可得

f(rba)=(p1f(rba),p2f(rba))=(rbam,rban)=rba(m,n).

其中,(m,n)∈M⊕N.因此M⊕N是small-內射的.

稱環R是左JP-內射環[4]，若對任意a∈J，有rl(a)=aR.稱環R是約化環[5]，如果R不含非零的冪零元. 稱環R是ZI環[6]，如果對a,b∈R，由ab=0可推出aRb=0.易知，約化環是ZI環.

定理2.1若R是約化的左small-內射環，記S=eRe，e2=e∈R，則S是約化的左JP-內射環.

證顯然S是約化的，且J(S)=J(eRe)=eJe，故只需證對任意a∈J(S)，有rSlS(a)=aS.易見aS?rSlS(a)，下證rSlS(a)?aS.

顯然對任意0≠a∈J(S)?R，由R是左small-內射環可知，rRlR(a)=aR.對任意x∈rSlS(a)，可得lS(a)?lS(x).對任意y∈lR(a)，可得ya=0，進而推出eyea=0，即eye∈lS(a)?lS(x).故eyex=0，再由(yx)2=yxeyex=0以及R是約化的可得yx=0.由此證得y∈lR(x)，因此lR(a)?lR(x).于是有x∈rRlR(x)?rRlR(a)=aR，即存在z∈R，使x=az.注意到x∈S，故可得x=xe=aze=aeze∈aS，從而證得rSlS(a)?aS.因此S是約化的左JP-內射環.

推論2.1若R是左small-內射環，記S=eRe，e2=e∈R，且e是中心冪等元(即e與R的任何元素均可交換)，則S是左JP-內射環.

證易見aS?rSlS(a)，下證rSlS(a)?aS.對任意0≠a∈J(S)?R，由R是左small-內射環可知，rRlR(a)=aR.對任意x∈rSlS(a)，可得lS(a)?lS(x).對任意y∈lR(a)，可得ya=0，進而推出eyea=0，即eye∈lS(a)?lS(x)，故eyex=0.注意到x∈S，故由e是中心冪等元，得yx=0.由定理2.1的證明可得rSlS(a)?aS.因此S是左JP-內射環.

定理2.2若對環R的任意元a，均有l(a)?J，且左R-模R/J是small-內射的，則R是small-內射環.

證對任意0≠a∈J，由于l(a)?J，故對任意r∈R，可定義

f:Ra→R/J;rar+J.

若ra=0，則r∈l(a)?J，故容易驗證f是左R-同態.于是存在b∈R，使得1+J=a(b+J)，進而推出1-ab∈J，再由a∈J，可得1∈J，矛盾.故J=0，再由R/J是small-內射的可得R是small-內射環.

定理2.3設R是環，則下列敘述等價：

(1)R是半本原環；

(2)任意單奇異左(右)R-模是small-內射的.

證(1)?(2)是顯然的.

(2)?(1)：只證左R-模情形，對于右R-模類似可證.若存在0≠a∈J，則由引理1.1，l(a)是R的本質左理想.于是存在R的極大左理想M，使l(a)?M，且M是R的極大本質左理想.由條件，單奇異左R-模R/M是small-內射的，故可定義

f:Ra→R/M;rar+M， ?r∈R.

容易驗證f是左R-同態，于是存在b∈R，使得1-ab∈M.因為a∈J，所以ab∈J?M，故可得1∈M，與M是極大左理想矛盾.因此R是半本原環.

作為文獻[7]中局部環的推廣，稱環R是半局部環[8]，如果R/J是半單的.

推論2.2設R是半局部環，則下列敘述等價：

(1)R是半單環；

(2)R是正則環；

(3)任意單奇異左(右)R-模是small-內射的；

(4)R是半本原環.

證(1)?(2)?(3)是顯然的，(3)?(4)由定理2.3可得.

(4)?(1)：由(4)及R是半局部環，可得R是半單環.

設R是環，稱左零化子M為極大左零化子[9]，若存在N為左零化子，且M?N，則M=N和N=R只可能成立其一.從定義可知，若M為環R的極大左零化子，則M≠R，此時可記M=l(a)，0≠a∈R.同理可定義極大右零化子.

定理2.4設R是左small-內射環，若對0≠a∈J，l(a)是R的極大左零化子，則a是非零冪零元.

證若0≠a∈J，a2≠0，則l(a)≠R且l(a2)≠R.再由l(a)?l(a2)，以及l(a)是R的極大左零化子，可得

l(a)=l(a2).

(1)

對上述0≠a∈J，及任意r∈R，定義：

f:Ra2→R;ra2ra.

若ra2=0，則r∈l(a2)，故由式(1)可得ra=0. 可以證明f是左R-同態.于是存在b∈R，滿足a=a2b，進而可得a(1-ab)=0.因為a∈J，所以1-ab可逆，故a=0.此與a≠0矛盾，故a2=0，a是非零冪零元.

定理2.5設R是左small-內射環，若對0≠a∈J，r(a)是R的極大右零化子，則a是非零冪零元.

證對0≠a∈J及0≠at∈J，易見l(a)?l(at). 若l(at)=R，則at=0，與at≠0矛盾，故l(at)≠R. 若r(a)是R的極大右零化子，則仍有l(a)=l(at). 事實上，若x?l(a)，即xa≠0，易見r(xa)≠R，r(a)?r(xa) ，再由r(a)是R的極大右零化子，得r(a)=r(xa). 由于at≠0，故t?r(a).因此xat≠0，x?l(at)，從而可得l(at)?l(a).l(a)?l(at)是顯然的，故l(a)=l(at). 由此證得，若0≠a∈R，r(a)是R的極大右零化子，則對任意0≠at∈R，有

l(a)=l(at).

(2)

對上述0≠a∈J，若a2≠0，則對任意r∈R，定義：

f:Ra2→R;ra2ra.

若ra2=0，則r∈l(a2)，故由式(2)可得ra=0. 類似定理2.4的證明可得a=0.此與a≠0矛盾，故a2=0，a是非零冪零元.