基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的最優(yōu)導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

顧 凱，金 岳，劉新宇

（北京航天微系統(tǒng)研究所，北京100094）

0 引言

研究與實(shí)踐表明，比例導(dǎo)引法形式簡單，調(diào)整方便，技術(shù)上易于實(shí)現(xiàn)，是目前應(yīng)用最為廣泛的導(dǎo)引技術(shù)[1]。但是在打擊動(dòng)目標(biāo)時(shí)，由于缺乏目標(biāo)的機(jī)動(dòng)信息，在攔截末端視線角速率快速旋轉(zhuǎn)，從而易導(dǎo)致末端過載突變的情況[2]。為了解決這一問題，眾多學(xué)者進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[3]提出了一種基于目標(biāo)機(jī)動(dòng)補(bǔ)償?shù)脑鰪?qiáng)型比例導(dǎo)引方法，該方法在比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上增加了目標(biāo)加速度補(bǔ)償項(xiàng)，從而降低了彈道末段的需用過載，但該方法需要高質(zhì)量的目標(biāo)加速，當(dāng)目標(biāo)加速度估計(jì)誤差較大時(shí)，制導(dǎo)性能便急劇下降。文獻(xiàn)[4]提出了一種滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律對參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾不敏感，目標(biāo)機(jī)動(dòng)對其影響不大，但其存在抖振的問題，影響制導(dǎo)性能。文獻(xiàn)[5]提出了一種H∞制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律無需目標(biāo)加速度信息，但Hamilton-Jacobi微分不等式的求解比較困難，工程應(yīng)用尚難實(shí)現(xiàn)。

分?jǐn)?shù)微積分把微積分的階次推廣到了分?jǐn)?shù)領(lǐng)域，其反映的不再是點(diǎn)或局部的性質(zhì)，而是綜合考慮了歷史和全局分布式的信息，即分?jǐn)?shù)階微積分具有記憶性。本文利用這一特點(diǎn)，同時(shí)結(jié)合最優(yōu)控制理論，設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律。該導(dǎo)引律繼承了比例導(dǎo)引法良好的跟蹤性能，且能夠抑制視線角速率的快速旋轉(zhuǎn)，從而能夠解決比例導(dǎo)引法末端過載突變的問題。

1 分?jǐn)?shù)階微積分的定義

一般分?jǐn)?shù)階微積分的表達(dá)式為[6]

式（1）中，為微分或積分操作算子；α為微積分的階次，可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)；Re（α）為α的實(shí)部。

不同數(shù)學(xué)家給出的分?jǐn)?shù)階微積分定義形式有所不同，應(yīng)用較多的三種微積分定義分別為Grünwald-Letnikov定義、 Riemann-Liouville定義和Caputo定義。

1.1 Grünwald-Letnikov（GL）定義

1.2 Riemann-Liouville（RL）定義

1.3 Caputo定義

式（4）中，m－1≤α≤m，Γ為gamma函數(shù)。當(dāng)t＞0時(shí)，若f（t）具有m+1階導(dǎo)數(shù)，則GL定義和RL定義是完全相等的。GL定義采用極限求和的方式定義分?jǐn)?shù)階微積分，更適用于分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值求解。Caputo定義采用求導(dǎo)和積分運(yùn)算，更適用于理論分析。

1.4 分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的定義，可以得到分?jǐn)?shù)階微積分具有如下性質(zhì)[7]:

1）分?jǐn)?shù)階微積分具有記憶性質(zhì)。由分?jǐn)?shù)階微積分的定義式，函數(shù)f（t）在某一點(diǎn)上的分?jǐn)?shù)階微分與整數(shù)階微分是不同的。分?jǐn)?shù)階微分并不是在這一點(diǎn)處求極限，而是與初始時(shí)刻到該點(diǎn)以前所有時(shí)刻的函數(shù)值有關(guān)，故分?jǐn)?shù)階微積分具有記憶性。

2）分?jǐn)?shù)階微積分具有線性性質(zhì)，即

3）分?jǐn)?shù)階微積分具有疊加性質(zhì)，即

4）解析函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對t和α都是解析的。

5）當(dāng)α＝n、n為整數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分與整數(shù)階n階微分結(jié)果是一樣的。

6）當(dāng)α＝0時(shí)，

2 分?jǐn)?shù)階微積分算子的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)通常無法用確定的解析表達(dá)式表達(dá)，因此在仿真分析或工程實(shí)際應(yīng)用中，需要采用數(shù)值求解的方法。目前，常用的數(shù)字實(shí)現(xiàn)算法包括:基于GL定義的短記憶法，基于Euler算子的PSE展開法，基于Tustin算子、Simpson算子和Al-Alaoui算子的 CFE展開法，以及遞歸式展開法。這些算法雖然在幅頻特性上獲得了較好的近似，但在相頻特性上的近似精度不高。Oustaloup濾波器在頻率響應(yīng)中的幅頻特性及相頻特性均具有很好的近似，但在頻率段端點(diǎn)附近的擬合效果并不理想。有學(xué)者研究了一種改進(jìn)算法，提高了分?jǐn)?shù)階模型的擬合精度。本文采用改進(jìn)的Oustaloup數(shù)字算法來實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分算子s±α的數(shù)值計(jì)算。

將該濾波器在Matlab上進(jìn)行模塊封裝，如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階微積分算子Fig.1 Diagram of fractional calculus operator

3 彈目相對運(yùn)動(dòng)模型

導(dǎo)彈的三維制導(dǎo)模型可以通過忽略耦合并將其分解到兩個(gè)相互垂直的平面進(jìn)行解決，本文以縱向平面為例建立了彈目相對運(yùn)動(dòng)模型，如圖2所示，并做如下假設(shè):

圖2 彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.2 Diagram of relative motion relationship between missile and target

1）將導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為質(zhì)點(diǎn)；

2）導(dǎo)彈的速度和目標(biāo)的速度大小保持不變。

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系，可以推導(dǎo)出導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)方程

對式（12）求導(dǎo)并將式（11）代入， 可得

式（13）中，Vm和Vt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，q和˙q分別為彈目視線角和彈目視線角速率，θm和θt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度方向角。

在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)過程中，可將˙θm視為控制系統(tǒng)的輸入，將含有目標(biāo)未知信息的耦合量視為外部的擾動(dòng)。因目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息難以獲取，在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)過程中無法完成對擾動(dòng)的補(bǔ)償，從而導(dǎo)致傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法在打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)會(huì)出現(xiàn)由于在彈道末端彈目視線角速率迅速增加而使所需過載過大的問題。為了解決這一問題，根據(jù)1.4節(jié)中分?jǐn)?shù)階微積分的記憶性和疊加性，設(shè)計(jì)了基于分?jǐn)?shù)階微積分的最優(yōu)控制導(dǎo)引律。該方法以最小過載為性能指標(biāo)，能夠抑制彈道末端視線角速率的迅速增加，解決了末端過載過大的問題。

4 制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

將含有目標(biāo)的未知信息當(dāng)作外界擾動(dòng)，則制導(dǎo)模型如下[9]

相比傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法，本文所設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律含有視線角速率的分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)。由分?jǐn)?shù)階微積分記憶性可知，視線角速率的分?jǐn)?shù)階微分不只是某一點(diǎn)的微分項(xiàng)，而是包含了視線角速率從初始時(shí)刻到現(xiàn)在的所有歷史信息[10]，從而能夠抑制視線角速率的突變，解決了比例導(dǎo)引法在打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)末端過載迅速增加的問題。

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階微積分最優(yōu)導(dǎo)引律的正確性和有效性，本文在Matlab環(huán)境下進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法進(jìn)行了比較，導(dǎo)引律中的分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)通過上述封裝的Oustaloup濾波器來近似實(shí)現(xiàn)。

仿真條件如表1所示。

表1 仿真條件Table 1 Simulation conditions

比例導(dǎo)引系數(shù)K的取值范圍為（2，6）[11]，分?jǐn)?shù)階微分的階次μ在（0，1）內(nèi)取值。由分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)可知，當(dāng)微分階次取整數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分與整數(shù)階微分的結(jié)果是一樣的。參數(shù)選取設(shè)為k1＝K、k2＝1－μ，即分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律的邊界情況可以歸結(jié)為比例系數(shù)K和K+1的情況，以此與傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法進(jìn)行對比。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，將本次仿真中的K設(shè)為3，采用遍歷尋優(yōu)法，μ的取值為0.8。

進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 攔截曲線Fig.3 Diagram of interception curves

圖4 彈的過載曲線Fig.4 Diagram of missile overload curves

由圖3可以看出，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律能夠保持傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法良好的跟蹤性能，能夠準(zhǔn)確地命中目標(biāo)。

由圖4可以看出，在15s之前，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律下的過載大于比例導(dǎo)引法；在15s之后，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律下的過載明顯小于比例導(dǎo)引法下的過載。由此可見，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律的過載分布更為合理。在導(dǎo)彈命中末端，比例導(dǎo)引法過載值會(huì)突然增大，這在實(shí)際情況下往往無法達(dá)到，從而會(huì)導(dǎo)致脫靶。而分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律能夠很好地解決這一缺陷，彈的過載在飛行的后半段幾乎趨近于0，且在末端沒有突變。分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律的命中時(shí)間為40s，K＝3時(shí)的比例導(dǎo)引法的命中時(shí)間為42s，K＝4時(shí)的比例導(dǎo)引法的命中時(shí)間為40.9s。由此可知，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律能夠更快地命中目標(biāo)。

6 結(jié)論

本文將分?jǐn)?shù)階微積分理論與最優(yōu)控制理論相結(jié)合，設(shè)計(jì)出了一種新的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律。該導(dǎo)引律繼承了比例導(dǎo)引法良好的跟蹤性能，同時(shí)解決了比例導(dǎo)引法在打擊動(dòng)目標(biāo)時(shí)末端過載突然增大的問題。仿真結(jié)果表明，相比比例導(dǎo)引法，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)導(dǎo)引律命中時(shí)間短，過載分布更為合理，且末端過載無突變，趨近于0。