在本科物理專業(yè)教學(xué)中引入隨機(jī)矩陣?yán)碚摰谋匾约翱尚行苑治?/h1>
2020-03-04 04:18:42徐震宇
高教學(xué)刊 2020年7期 關(guān)鍵詞：教學(xué)
徐震宇
摘? 要：隨機(jī)矩陣?yán)碚撌?0世紀(jì)發(fā)展起來的重要數(shù)學(xué)理論，目前被廣泛應(yīng)用于物理、生物、通訊、金融等領(lǐng)域。近十年來，隨機(jī)矩陣?yán)碚撆c物理前沿研究結(jié)合更為緊密，是研究開放量子系統(tǒng)、拓?fù)浣^緣體、反德西黑洞等領(lǐng)域的一個有力工具。然而，目前物理學(xué)本科生或研究生很少有接觸過這一理論。文章將通過介紹隨機(jī)矩陣?yán)碚摰幕靖拍睿源朔治鰧㈦S機(jī)矩陣?yán)碚撘氡究莆锢斫虒W(xué)中的必要性及可行性。
關(guān)鍵詞：隨機(jī)矩陣?yán)碚?數(shù)學(xué)物理;教學(xué)
中圖分類號：G642? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）07-0072-03
Abstract： Random matrix theory is an important mathematical theory developed in the 20th century. It is widely used in physics， biology， communication， finance and other fields. In the past decade， the combination of random matrix theory and physical frontier research has become a powerful tool for the study of open quantum systems， topological insulators， and anti-de Sitter space. However， physics undergraduates or graduate students are rarely exposed to this theory. This paper will introduce the basic concepts of random matrix theory， and then analyze the necessity and feasibility of introducing random matrix theory into undergraduate physics teaching.
Keywords： random matrix theory; mathematical-physics; education
引言
隨機(jī)矩陣?yán)碚摚≧andom Metrix Theory）誕生于1928年，在上世紀(jì)50年代末首次應(yīng)用于物理學(xué)中，用來模擬重原子核的哈密頓量。近年來，隨機(jī)矩陣?yán)碚撛陂_放量子系統(tǒng)、反德西時空中的黑洞物理，凝聚態(tài)物理中的拓?fù)浣^緣體等物理前沿研究領(lǐng)域，以及在無線通訊、生態(tài)穩(wěn)定性及金融數(shù)學(xué)等其它領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用。為了紀(jì)念及進(jìn)一步發(fā)展隨機(jī)矩陣?yán)碚摚?018年國際著名數(shù)學(xué)物理雜志《Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical》專門開辟了一個專輯，用來發(fā)表隨機(jī)矩陣?yán)碚摰淖钚卵芯窟M(jìn)展[1]。然而，國內(nèi)本科或研究生物理專業(yè)目前卻很少有開設(shè)隨機(jī)矩陣?yán)碚撨@門課程。事實上，初等隨機(jī)矩陣?yán)碚撋婕按罅烤仃嚰疤厥舛囗検降膬?nèi)容，是綜合運(yùn)用已學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)物理知識的一個非常好的載體。況且隨機(jī)矩陣?yán)碚摫旧碛峙c大量前沿研究相關(guān)，因此，在本科物理教學(xué)上應(yīng)該有所體現(xiàn)。本文將首先簡單介紹隨機(jī)矩陣的發(fā)展歷史、基本概念及最新研究方向，然后簡要分析在數(shù)學(xué)物理課程教學(xué)中引入初等隨機(jī)矩陣?yán)碚摰目尚行浴?/p>
一、隨機(jī)矩陣?yán)碚?/p>
關(guān)于隨機(jī)矩陣的研究最早可追溯到上世紀(jì)二十年代。蘇格蘭統(tǒng)計學(xué)家John Wishart首次提出了后來以其名字命名的Wishart分布。此分布是一種半正定矩陣隨機(jī)分布，在矩陣分析中有重要作用。
顧名思義，隨機(jī)矩陣的矩陣元可以是各種類型的隨機(jī)變量。那么，作為一個數(shù)學(xué)上引入的抽象概念，隨機(jī)矩陣?yán)碚撚质窃鯓优c物理學(xué)產(chǎn)生聯(lián)系的呢？為什么某些物理系統(tǒng)的哈密頓量可以用隨機(jī)矩陣來描述呢？能夠用隨機(jī)矩陣描述的物理系統(tǒng)對隨機(jī)矩陣本身又有什么樣的限制呢？盡管在二十世紀(jì)上半葉，廣義相對論和量子力學(xué)已經(jīng)建立，但可嚴(yán)格求解的物理系統(tǒng)是非常有限的，絕大多數(shù)都是單體系統(tǒng)。但實際的量子物理系統(tǒng)往往是多體問題。這個多體可能是兩體、三體、甚至上百。比如在上世紀(jì)50年代，物理學(xué)家們開始關(guān)注重原子核的能級問題。而重原子核是由大量質(zhì)子和中子組成的多體系統(tǒng)，這樣復(fù)雜的系統(tǒng)往往連哈密頓量也很難準(zhǔn)確寫出來，更不用說理論上去精確計算其能級了。在1956年橡樹嶺國家實驗室舉辦的一次會議中，物理學(xué)家們提出了這樣一個問題：對于重原子核，它們的能級間隔分布究竟是怎樣的？此時，作為聽眾的匈牙利-美國理論物理學(xué)家及數(shù)學(xué)家Eugene Wigner教授，起身在黑板上寫下了這個公式：
從圖1中可以看出，這種分布有別于泊松分布，重原子核的能級之間不會無窮靠近，也不會無窮遠(yuǎn)分離。能級間的排斥效應(yīng)和吸引效應(yīng)達(dá)到平衡，最大概率是一個有限大小的數(shù)值。
以隨機(jī)矩陣的一種——高斯正交系綜（Gaussian Orthogonal Ensemble，簡稱GOE）為例，相鄰兩能級之間的距離為s的概率分布。排斥和吸引達(dá)到平衡。
Wigner教授當(dāng)時并沒有做過多解釋，因此后來人們就把此能級間隔的概率分布函數(shù)稱之為“Wigner的猜測”[2]。Wigner教授的理論其實是將哈密頓量用隨機(jī)矩陣來描述。這一想法聽起來有點(diǎn)瘋狂，但其預(yù)言的諸多理論隨后都在實驗上得到了證實，使得隨機(jī)矩陣?yán)碚撆c量子物理之間看似沒有關(guān)聯(lián)的兩個理論聯(lián)系了在一起。
雖然Wigner給出了重核原子相鄰能級間隔概率分布的公式，但當(dāng)時物理學(xué)家們并不清楚隨機(jī)矩陣與量子系統(tǒng)的哈密頓量的具體聯(lián)系。然而隨機(jī)矩陣的種類有很多種，什么樣的隨機(jī)矩陣可以用來描述量子系統(tǒng)的哈密頓量呢？在上世紀(jì)60年代，美國物理學(xué)家及數(shù)學(xué)家Freeman Dyson發(fā)表了一系列關(guān)于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰恼撐模瑸殡S機(jī)矩陣?yán)碚撛谖锢硐到y(tǒng)中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。Dyson教授根據(jù)物理系統(tǒng)時間反演下的變換性質(zhì)將隨機(jī)矩陣分成三種類型：高斯正交系綜（Gaussian Orthogonal Ensemble，簡稱GOE），高斯酉系綜（Gaussian Unitary Ensemble，簡稱GUE）和高斯辛系綜（Gaussian Symplectic Ensemble，簡稱GSE）[3]。這里我們采用一種不是很嚴(yán)格但比較簡化的處理方法來說明問題[2]，我們希望哈密頓量的本征概率密度不會隨著相似變換而改變，即
當(dāng)H為實矩陣時，U為正交矩陣，而H的矩陣元都是采用高斯分布，故把這種類型叫做高斯正交系綜;當(dāng)H為復(fù)厄米矩陣時候，U為酉矩陣，此時H被稱為GUE;同理，當(dāng)H為對偶四元數(shù)時候，U為辛矩陣，故稱GSE。更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義可參考文獻(xiàn)[3]。
對于一個N×N維的隨機(jī)矩陣H而言，我們往往對其本征值的概率分布感興趣（對應(yīng)于物理系統(tǒng)能量本征值的概率分布）。N個本征值的聯(lián)合概率密度可以表示為[3]：
其中內(nèi)核KN（λk，λl）可以表示為
其中？準(zhǔn)j（λk）：=eπj（λk），π（·）是大家熟知的厄米多項式[4]。比如，譜密度分布就可以通過相應(yīng)的積分得來，
在這里我們以N=20維的GUE為例。紅色（實線）代表譜密度的真實值，藍(lán)色（虛線）代表當(dāng)N→∞時候的漸進(jìn)值。這里我們采用了M. L. Mehta書上的習(xí)慣，對 （λ）的歸一化做了修改，使其歸一化為N[3]。
當(dāng)隨機(jī)矩陣的維度趨于無限大，即N→∞的時候，譜密度可以寫成如下形式：
ρ（λ）=
H的本征值分布落在區(qū)間[-，]上。如圖2所示，整個概率分布呈半圓狀分布，這就是著名的Wigner半圓定理。
類似地，兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)可以由多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)得到
而兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)中的KN（λ1，λ2）在N→∞的時候趨近于
這與著名的黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)直接相關(guān)。對黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)與隨機(jī)矩陣之間的關(guān)系感興趣的讀者，可以進(jìn)一步參考盧昌海教授所著的科普著作《黎曼猜想漫談》[5]。
二、隨機(jī)矩陣?yán)碚撛谖锢砬把刂械膽?yīng)用舉例
作為隨機(jī)矩陣?yán)碚撛谇把匮芯恐械膽?yīng)用，這里簡單介紹下作者與其合作者在今年年初關(guān)于隨機(jī)矩陣?yán)碚撆c量子退相干的一個工作。量子退相干是解釋量子-經(jīng)典過渡的重要途經(jīng)之一，也是量子信息與量子計算實現(xiàn)過程中必須要面對的基本問題。物理學(xué)中著名的薛定諤的貓就與量子退相干有重要聯(lián)系。退相干通常歸因于量子系統(tǒng)與周圍環(huán)境之間的相互作用。然而，它也可能來自系統(tǒng)演化中的隨機(jī)漲落，比如連續(xù)觀測和經(jīng)典噪聲。如果對噪聲過程進(jìn)行平均，退相干在整體視角中就會表現(xiàn)出來。因此，通常，退相干隨著系統(tǒng)尺寸而增加。這意味著對涉及大量粒子和自由度的復(fù)雜量子系統(tǒng)的量子信息處理，退相干是一個不得不面對的挑戰(zhàn)。雖然如前所述，退相干隨著系統(tǒng)的尺度增加而增加，但極限速率到底是多少呢？作者和合作者發(fā)現(xiàn)，由GUE描述的量子漲落混沌系統(tǒng)將展現(xiàn)出極端的退相干性質(zhì)[6]。與常見的k-體相互作用的物理系統(tǒng)相比，這種極端退相干率將隨粒子數(shù)呈指數(shù)方式增長，即
D∝d
其中，d代表系統(tǒng)的希爾伯特空間維度。這是一種全新的退相干方式，此理論結(jié)果將有助于理解波函數(shù)客觀塌縮機(jī)制，對黑洞物理學(xué)及量子計算的實現(xiàn)也有重要意義。
三、在物理專業(yè)教學(xué)中引入隨機(jī)矩陣?yán)碚摰目尚行苑治?/p>
除了在量子退相干方面的應(yīng)用，隨機(jī)矩陣?yán)碚撨€在量子光學(xué)、量子色動力學(xué)、二維量子引力中有重要應(yīng)用。除此之外，隨機(jī)矩陣?yán)碚撨€在數(shù)論、無限通訊、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、金融分析中有重要應(yīng)用。但據(jù)作者調(diào)研，很少有物理專業(yè)學(xué)生和教師了解或接觸過隨機(jī)矩陣?yán)碚摚@不得不說是件很遺憾的事情。
從初等隨機(jī)矩陣?yán)碚摶A(chǔ)來講，比如它只涉及微積分中的積分變量代換;線性代數(shù)中的Jacobi行列式;概率統(tǒng)計中的概率分布;特殊函數(shù)概論中的常用多項式性質(zhì)等等。因此，初等隨機(jī)矩陣?yán)碚摰慕榻B完全可以放到本科物理專業(yè)的《數(shù)學(xué)物理方法》或者《統(tǒng)計物理》課程中去。當(dāng)然，如果要做前沿研究，還必須掌握黎曼幾何，這可以在研究生階段單獨(dú)開課，或者放到研究生基礎(chǔ)課程，比如《高等統(tǒng)計物理》中去。因此，我認(rèn)為在物理專業(yè)教學(xué)中引入隨機(jī)矩陣?yán)碚撌峭耆尚幸约氨匾模彩墙o年輕的物理學(xué)學(xué)生將所學(xué)知識運(yùn)用到物理前沿研究的一個非常好的載體。
四、結(jié)束語
本科物理專業(yè)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)大多局限于《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》、《概率統(tǒng)計》及《數(shù)學(xué)物理方法》等課程，學(xué)生往往學(xué)了很多數(shù)學(xué)知識及技巧，可一旦接觸物理前沿研究卻又發(fā)現(xiàn)所學(xué)數(shù)學(xué)知識完全無法滿足需要。這有礙于培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力的新時代物理學(xué)專業(yè)人才。作者認(rèn)為若將隨機(jī)矩陣?yán)碚撘氲奖究莆锢韺I(yè)的數(shù)學(xué)教學(xué)中去，將是一次有意義的教學(xué)探索，將有助于學(xué)生了解物理研究的最前沿，極大提高學(xué)生今后從事科學(xué)研究的能力。
參考文獻(xiàn)：
[1]Giulio Biroli， Zdzis？覥awBurda， Pierpaolo Vivo. Random Matrices： the first 90 years[C].Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical， 2018.
[2]G. Livan， M. Novaes， and P. Vivo. Introduction to Random Matrices： Theory and Practice[M].Springer， New York， 2018.
[3]M. L. Mehta. Random Matrices[M].Elsevier， San Diego， 2004.
[4]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.
[5]盧昌海.黎曼猜想漫談[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.
[6]Zhenyu Xu， Luis Pedro García-Pintos， AurieliaChenu， and Adolfo del Campo. Extreme Decoherence and Quantum Chaos[J]. Physical Review Letters， 122， 014103 （2019）.
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徐震宇
摘? 要：隨機(jī)矩陣?yán)碚撌?0世紀(jì)發(fā)展起來的重要數(shù)學(xué)理論，目前被廣泛應(yīng)用于物理、生物、通訊、金融等領(lǐng)域。近十年來，隨機(jī)矩陣?yán)碚撆c物理前沿研究結(jié)合更為緊密，是研究開放量子系統(tǒng)、拓?fù)浣^緣體、反德西黑洞等領(lǐng)域的一個有力工具。然而，目前物理學(xué)本科生或研究生很少有接觸過這一理論。文章將通過介紹隨機(jī)矩陣?yán)碚摰幕靖拍睿源朔治鰧㈦S機(jī)矩陣?yán)碚撘氡究莆锢斫虒W(xué)中的必要性及可行性。
關(guān)鍵詞：隨機(jī)矩陣?yán)碚?數(shù)學(xué)物理;教學(xué)
中圖分類號：G642? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）07-0072-03
Abstract： Random matrix theory is an important mathematical theory developed in the 20th century. It is widely used in physics， biology， communication， finance and other fields. In the past decade， the combination of random matrix theory and physical frontier research has become a powerful tool for the study of open quantum systems， topological insulators， and anti-de Sitter space. However， physics undergraduates or graduate students are rarely exposed to this theory. This paper will introduce the basic concepts of random matrix theory， and then analyze the necessity and feasibility of introducing random matrix theory into undergraduate physics teaching.
Keywords： random matrix theory; mathematical-physics; education
引言
隨機(jī)矩陣?yán)碚摚≧andom Metrix Theory）誕生于1928年，在上世紀(jì)50年代末首次應(yīng)用于物理學(xué)中，用來模擬重原子核的哈密頓量。近年來，隨機(jī)矩陣?yán)碚撛陂_放量子系統(tǒng)、反德西時空中的黑洞物理，凝聚態(tài)物理中的拓?fù)浣^緣體等物理前沿研究領(lǐng)域，以及在無線通訊、生態(tài)穩(wěn)定性及金融數(shù)學(xué)等其它領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用。為了紀(jì)念及進(jìn)一步發(fā)展隨機(jī)矩陣?yán)碚摚?018年國際著名數(shù)學(xué)物理雜志《Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical》專門開辟了一個專輯，用來發(fā)表隨機(jī)矩陣?yán)碚摰淖钚卵芯窟M(jìn)展[1]。然而，國內(nèi)本科或研究生物理專業(yè)目前卻很少有開設(shè)隨機(jī)矩陣?yán)碚撨@門課程。事實上，初等隨機(jī)矩陣?yán)碚撋婕按罅烤仃嚰疤厥舛囗検降膬?nèi)容，是綜合運(yùn)用已學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)物理知識的一個非常好的載體。況且隨機(jī)矩陣?yán)碚摫旧碛峙c大量前沿研究相關(guān)，因此，在本科物理教學(xué)上應(yīng)該有所體現(xiàn)。本文將首先簡單介紹隨機(jī)矩陣的發(fā)展歷史、基本概念及最新研究方向，然后簡要分析在數(shù)學(xué)物理課程教學(xué)中引入初等隨機(jī)矩陣?yán)碚摰目尚行浴?/p>
一、隨機(jī)矩陣?yán)碚?/p>
關(guān)于隨機(jī)矩陣的研究最早可追溯到上世紀(jì)二十年代。蘇格蘭統(tǒng)計學(xué)家John Wishart首次提出了后來以其名字命名的Wishart分布。此分布是一種半正定矩陣隨機(jī)分布，在矩陣分析中有重要作用。
顧名思義，隨機(jī)矩陣的矩陣元可以是各種類型的隨機(jī)變量。那么，作為一個數(shù)學(xué)上引入的抽象概念，隨機(jī)矩陣?yán)碚撚质窃鯓优c物理學(xué)產(chǎn)生聯(lián)系的呢？為什么某些物理系統(tǒng)的哈密頓量可以用隨機(jī)矩陣來描述呢？能夠用隨機(jī)矩陣描述的物理系統(tǒng)對隨機(jī)矩陣本身又有什么樣的限制呢？盡管在二十世紀(jì)上半葉，廣義相對論和量子力學(xué)已經(jīng)建立，但可嚴(yán)格求解的物理系統(tǒng)是非常有限的，絕大多數(shù)都是單體系統(tǒng)。但實際的量子物理系統(tǒng)往往是多體問題。這個多體可能是兩體、三體、甚至上百。比如在上世紀(jì)50年代，物理學(xué)家們開始關(guān)注重原子核的能級問題。而重原子核是由大量質(zhì)子和中子組成的多體系統(tǒng)，這樣復(fù)雜的系統(tǒng)往往連哈密頓量也很難準(zhǔn)確寫出來，更不用說理論上去精確計算其能級了。在1956年橡樹嶺國家實驗室舉辦的一次會議中，物理學(xué)家們提出了這樣一個問題：對于重原子核，它們的能級間隔分布究竟是怎樣的？此時，作為聽眾的匈牙利-美國理論物理學(xué)家及數(shù)學(xué)家Eugene Wigner教授，起身在黑板上寫下了這個公式：
從圖1中可以看出，這種分布有別于泊松分布，重原子核的能級之間不會無窮靠近，也不會無窮遠(yuǎn)分離。能級間的排斥效應(yīng)和吸引效應(yīng)達(dá)到平衡，最大概率是一個有限大小的數(shù)值。
以隨機(jī)矩陣的一種——高斯正交系綜（Gaussian Orthogonal Ensemble，簡稱GOE）為例，相鄰兩能級之間的距離為s的概率分布。排斥和吸引達(dá)到平衡。
Wigner教授當(dāng)時并沒有做過多解釋，因此后來人們就把此能級間隔的概率分布函數(shù)稱之為“Wigner的猜測”[2]。Wigner教授的理論其實是將哈密頓量用隨機(jī)矩陣來描述。這一想法聽起來有點(diǎn)瘋狂，但其預(yù)言的諸多理論隨后都在實驗上得到了證實，使得隨機(jī)矩陣?yán)碚撆c量子物理之間看似沒有關(guān)聯(lián)的兩個理論聯(lián)系了在一起。
雖然Wigner給出了重核原子相鄰能級間隔概率分布的公式，但當(dāng)時物理學(xué)家們并不清楚隨機(jī)矩陣與量子系統(tǒng)的哈密頓量的具體聯(lián)系。然而隨機(jī)矩陣的種類有很多種，什么樣的隨機(jī)矩陣可以用來描述量子系統(tǒng)的哈密頓量呢？在上世紀(jì)60年代，美國物理學(xué)家及數(shù)學(xué)家Freeman Dyson發(fā)表了一系列關(guān)于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰恼撐模瑸殡S機(jī)矩陣?yán)碚撛谖锢硐到y(tǒng)中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。Dyson教授根據(jù)物理系統(tǒng)時間反演下的變換性質(zhì)將隨機(jī)矩陣分成三種類型：高斯正交系綜（Gaussian Orthogonal Ensemble，簡稱GOE），高斯酉系綜（Gaussian Unitary Ensemble，簡稱GUE）和高斯辛系綜（Gaussian Symplectic Ensemble，簡稱GSE）[3]。這里我們采用一種不是很嚴(yán)格但比較簡化的處理方法來說明問題[2]，我們希望哈密頓量的本征概率密度不會隨著相似變換而改變，即
當(dāng)H為實矩陣時，U為正交矩陣，而H的矩陣元都是采用高斯分布，故把這種類型叫做高斯正交系綜;當(dāng)H為復(fù)厄米矩陣時候，U為酉矩陣，此時H被稱為GUE;同理，當(dāng)H為對偶四元數(shù)時候，U為辛矩陣，故稱GSE。更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義可參考文獻(xiàn)[3]。
對于一個N×N維的隨機(jī)矩陣H而言，我們往往對其本征值的概率分布感興趣（對應(yīng)于物理系統(tǒng)能量本征值的概率分布）。N個本征值的聯(lián)合概率密度可以表示為[3]：
其中內(nèi)核KN（λk，λl）可以表示為
其中？準(zhǔn)j（λk）：=eπj（λk），π（·）是大家熟知的厄米多項式[4]。比如，譜密度分布就可以通過相應(yīng)的積分得來，
在這里我們以N=20維的GUE為例。紅色（實線）代表譜密度的真實值，藍(lán)色（虛線）代表當(dāng)N→∞時候的漸進(jìn)值。這里我們采用了M. L. Mehta書上的習(xí)慣，對 （λ）的歸一化做了修改，使其歸一化為N[3]。
當(dāng)隨機(jī)矩陣的維度趨于無限大，即N→∞的時候，譜密度可以寫成如下形式：
ρ（λ）=
H的本征值分布落在區(qū)間[-，]上。如圖2所示，整個概率分布呈半圓狀分布，這就是著名的Wigner半圓定理。
類似地，兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)可以由多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)得到
而兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)中的KN（λ1，λ2）在N→∞的時候趨近于
這與著名的黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)直接相關(guān)。對黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)與隨機(jī)矩陣之間的關(guān)系感興趣的讀者，可以進(jìn)一步參考盧昌海教授所著的科普著作《黎曼猜想漫談》[5]。
二、隨機(jī)矩陣?yán)碚撛谖锢砬把刂械膽?yīng)用舉例
作為隨機(jī)矩陣?yán)碚撛谇把匮芯恐械膽?yīng)用，這里簡單介紹下作者與其合作者在今年年初關(guān)于隨機(jī)矩陣?yán)碚撆c量子退相干的一個工作。量子退相干是解釋量子-經(jīng)典過渡的重要途經(jīng)之一，也是量子信息與量子計算實現(xiàn)過程中必須要面對的基本問題。物理學(xué)中著名的薛定諤的貓就與量子退相干有重要聯(lián)系。退相干通常歸因于量子系統(tǒng)與周圍環(huán)境之間的相互作用。然而，它也可能來自系統(tǒng)演化中的隨機(jī)漲落，比如連續(xù)觀測和經(jīng)典噪聲。如果對噪聲過程進(jìn)行平均，退相干在整體視角中就會表現(xiàn)出來。因此，通常，退相干隨著系統(tǒng)尺寸而增加。這意味著對涉及大量粒子和自由度的復(fù)雜量子系統(tǒng)的量子信息處理，退相干是一個不得不面對的挑戰(zhàn)。雖然如前所述，退相干隨著系統(tǒng)的尺度增加而增加，但極限速率到底是多少呢？作者和合作者發(fā)現(xiàn)，由GUE描述的量子漲落混沌系統(tǒng)將展現(xiàn)出極端的退相干性質(zhì)[6]。與常見的k-體相互作用的物理系統(tǒng)相比，這種極端退相干率將隨粒子數(shù)呈指數(shù)方式增長，即
D∝d
其中，d代表系統(tǒng)的希爾伯特空間維度。這是一種全新的退相干方式，此理論結(jié)果將有助于理解波函數(shù)客觀塌縮機(jī)制，對黑洞物理學(xué)及量子計算的實現(xiàn)也有重要意義。
三、在物理專業(yè)教學(xué)中引入隨機(jī)矩陣?yán)碚摰目尚行苑治?/p>
除了在量子退相干方面的應(yīng)用，隨機(jī)矩陣?yán)碚撨€在量子光學(xué)、量子色動力學(xué)、二維量子引力中有重要應(yīng)用。除此之外，隨機(jī)矩陣?yán)碚撨€在數(shù)論、無限通訊、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、金融分析中有重要應(yīng)用。但據(jù)作者調(diào)研，很少有物理專業(yè)學(xué)生和教師了解或接觸過隨機(jī)矩陣?yán)碚摚@不得不說是件很遺憾的事情。
從初等隨機(jī)矩陣?yán)碚摶A(chǔ)來講，比如它只涉及微積分中的積分變量代換;線性代數(shù)中的Jacobi行列式;概率統(tǒng)計中的概率分布;特殊函數(shù)概論中的常用多項式性質(zhì)等等。因此，初等隨機(jī)矩陣?yán)碚摰慕榻B完全可以放到本科物理專業(yè)的《數(shù)學(xué)物理方法》或者《統(tǒng)計物理》課程中去。當(dāng)然，如果要做前沿研究，還必須掌握黎曼幾何，這可以在研究生階段單獨(dú)開課，或者放到研究生基礎(chǔ)課程，比如《高等統(tǒng)計物理》中去。因此，我認(rèn)為在物理專業(yè)教學(xué)中引入隨機(jī)矩陣?yán)碚撌峭耆尚幸约氨匾模彩墙o年輕的物理學(xué)學(xué)生將所學(xué)知識運(yùn)用到物理前沿研究的一個非常好的載體。
四、結(jié)束語
本科物理專業(yè)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)大多局限于《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》、《概率統(tǒng)計》及《數(shù)學(xué)物理方法》等課程，學(xué)生往往學(xué)了很多數(shù)學(xué)知識及技巧，可一旦接觸物理前沿研究卻又發(fā)現(xiàn)所學(xué)數(shù)學(xué)知識完全無法滿足需要。這有礙于培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力的新時代物理學(xué)專業(yè)人才。作者認(rèn)為若將隨機(jī)矩陣?yán)碚撘氲奖究莆锢韺I(yè)的數(shù)學(xué)教學(xué)中去，將是一次有意義的教學(xué)探索，將有助于學(xué)生了解物理研究的最前沿，極大提高學(xué)生今后從事科學(xué)研究的能力。
參考文獻(xiàn)：
[1]Giulio Biroli， Zdzis？覥awBurda， Pierpaolo Vivo. Random Matrices： the first 90 years[C].Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical， 2018.
[2]G. Livan， M. Novaes， and P. Vivo. Introduction to Random Matrices： Theory and Practice[M].Springer， New York， 2018.
[3]M. L. Mehta. Random Matrices[M].Elsevier， San Diego， 2004.
[4]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.
[5]盧昌海.黎曼猜想漫談[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.
[6]Zhenyu Xu， Luis Pedro García-Pintos， AurieliaChenu， and Adolfo del Campo. Extreme Decoherence and Quantum Chaos[J]. Physical Review Letters， 122， 014103 （2019）.
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