以能力為導(dǎo)向的大學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究

侯江霞 劉德民

摘? 要：文章討論了在大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的若干思想方法與能力培養(yǎng)方面的問題。首先探討了大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的三種思想方法：逼近的思想與方法，由簡入繁思想方法和化繁為簡的思想與方法;再次討論了五種基本能力的培養(yǎng)：具體問題數(shù)學(xué)化的能力、定性描述與定量表述的能力、數(shù)學(xué)對象具體化的能力、數(shù)學(xué)理論應(yīng)用推廣的能力及數(shù)學(xué)語言的使用能力。

關(guān)鍵詞：大學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想和方法;數(shù)學(xué)能力

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）07-0114-04

Abstract： In this paper， we talk about some methods of mathematical thoughts and the development of mathematical abilities. The approximation idea， the methods from simple to complicate and from complicated to simple are three methods on teaching advanced mathematics. The abilities of transforming concrete problems to mathematical problems， qualitative description and quantitative description， make the pure mathematical object to special problems， application of mathematical theory and mathematical notation.

Keywords： Advanced Mathematics; methods of mathematical thoughts; Mathematical abilities

引言

眾所周知，現(xiàn)代高等教育的四大職能是教育教學(xué)、科學(xué)研究、服務(wù)社會和文化傳承，而促進(jìn)人的全面發(fā)展是高等教育的終極目的。在現(xiàn)代高等教育的實(shí)施過程中，也即人才的培養(yǎng)過程中，尤其是理工科人才的培養(yǎng)方面，數(shù)學(xué)知識與理論的教學(xué)是重中之重。正如李大潛院士所述[1]：“數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的語言和工具，是眾多科學(xué)與技術(shù)的基礎(chǔ)，而且是一門博大精深的科學(xué)，更是一種先進(jìn)的文化，在人類認(rèn)識世界和改造世界的過程中一直發(fā)揮著重要的作用與影響。”數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)的目的正是通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，理解數(shù)學(xué)的重要性，領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法，提高并具備將數(shù)學(xué)應(yīng)用于解決實(shí)際問題的能力。

大學(xué)階段的理工科數(shù)學(xué)教學(xué)主要以高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)為基礎(chǔ)，結(jié)合工程數(shù)學(xué)及復(fù)變函數(shù)等內(nèi)容而展開;文科專業(yè)主要以一元函數(shù)微積分和概率統(tǒng)計(jì)初步知識為基礎(chǔ)進(jìn)行講授。在具體的課程學(xué)習(xí)階段，由于課程內(nèi)容、師資力量與教學(xué)水平、學(xué)生人數(shù)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、以及教學(xué)軟、硬件設(shè)施等多方面的原因，使得大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)并不總能收到滿意的效果。甚至于很多大學(xué)生僅能做到會求導(dǎo)數(shù)、會算積分、會求解簡單的常微分方程等簡單的操作，不理解數(shù)學(xué)的思想與方法，更不能在其它課程與學(xué)科的學(xué)習(xí)中起到促進(jìn)作用。因此，大學(xué)數(shù)學(xué)課程的有效講授與學(xué)習(xí)至關(guān)重要，尤其是高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)。

一、三種重要的數(shù)學(xué)思想與方法

作為數(shù)學(xué)學(xué)科的教育與科研工作者，我們深切的體會到數(shù)學(xué)課程的思想與方法的重要性，一旦領(lǐng)會了思想與方法，便能舉一反三，融會貫通。結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，這里首先談一談高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的三點(diǎn)思想與方法，即逼近的思想與方法、由簡入繁的思想與方法，以及化繁為簡的思想與方法。

（一）逼近的思想與方法

“逼近”，簡單的說就是逐步靠近，包含近似與逐步細(xì)化兩個(gè)內(nèi)容，它既是解決問題的思想之一，也是解決問題的方法之一。“逼近”可以起到化抽象為具體、化繁為簡、化難為易等作用，它可以有效的促進(jìn)人腦對抽象知識的理解和推廣，提高人的認(rèn)知能力。

縱觀數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)逼近無處不在，甚至可以毫不夸張的說，沒有逼近就沒有現(xiàn)代微積分理論及其發(fā)展應(yīng)用。尤其在大學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容中，以下幾類逼近思想與方法尤為突出[2]。

1. 以直代曲（或以平代曲），即以平直的線（或者曲面）代替曲線（或曲面）。

例如，小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)圓面積的計(jì)算公式S=？仔r2，其求法可如圖1所示。將圓的面積歸結(jié)為若干個(gè)扇形面積的和，進(jìn)一步利用直邊三角形代替扇形得到每個(gè)扇形的近似面積，通過對圓弧的進(jìn)一步細(xì)分，得到圓面積的公式。這里用到了最簡單的逼近“以直代曲”，該方法在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中比比皆是。例如，再求曲線的弧長（如圖2），曲線所圍圖形的面積（如圖3），曲頂六面體的體積（如圖4）等等。

2. 以勻代變，即以均勻的量代替變化的量。

例如在學(xué)習(xí)變力（x，y）沿著由點(diǎn)A至點(diǎn)B的曲線l做功時(shí)，如圖5所示，通常是先將曲線l劃分為很多段（以直代曲），在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下可以認(rèn)為在每一段上力（x，y）的變化不大，從而可以某一點(diǎn)的力（？孜，？濁）作為該段上力

（x，y）的近似值（以勻代變）。例如沿著弧? ?所做的功近似等于（？孜，？濁）。

3. 以熟代生，即以熟悉的數(shù)學(xué)形式代替陌生的數(shù)學(xué)形式。

例如，無窮小量的等價(jià)替換。簡單的線性函數(shù)x及冪函數(shù)xi，i=2，3，...，的表達(dá)形式及幾何直觀是大家熟知的，從而當(dāng)x→0時(shí)，通過無窮小等價(jià)替換可以得到sinx～x，tanx～x，cosx～1-x2，～1x等，利用這些關(guān)系可以更好地了解這些函數(shù)的局部性質(zhì)。又如指數(shù)函數(shù)ex和多項(xiàng)式函數(shù)是學(xué)生所熟悉的。雖然求ex的函數(shù)值是困難的，但是學(xué)習(xí)了泰勒展式之后，知道ex可以用熟悉的多項(xiàng)式函數(shù)來近似，ex=1+x++…++…，x∈（-∞，+∞），困難的問題也會變得容易解決了。

（二）由簡入繁的思想與方法

“由簡入繁”即由簡單的數(shù)學(xué)對象過渡到復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象;或由簡單的數(shù)學(xué)理論過渡到復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論;或由一個(gè)數(shù)學(xué)分支過渡到另外的數(shù)學(xué)分支等。“由簡入繁”同樣既是研究問題的思想之一，也是研究問題的方法之一。“由簡入繁思想與方法”可以建立良好的知識架構(gòu)和思維規(guī)律，并形成完備的知識體系。

結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，我們可以看到很多“由簡入繁”的例子。例如，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的安排上，由一元函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)，微分、積分等過渡到多元函數(shù)的相應(yīng)內(nèi)容;由數(shù)列、函數(shù)到數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)、三角級數(shù)等;由點(diǎn)、向量、直線、平面到曲線、曲面、體等;由數(shù)量函數(shù)到向量函數(shù)、場論等。

在學(xué)習(xí)無窮級數(shù)時(shí)，已知有限項(xiàng)的和比較容易，對于級數(shù)這類無窮多項(xiàng)和的數(shù)學(xué)對象就變的困難多。將級數(shù)求和轉(zhuǎn)化為部分和序列的極限問題，即先求有限項(xiàng)的和，再求這有限項(xiàng)和的極限。部分和序列有極限，則級數(shù)收斂，此時(shí)通常可以用一個(gè)解析的關(guān)系表達(dá)級數(shù)的和。相對于級數(shù)的復(fù)雜形式，級數(shù)和的解析形式就簡單很多，如

（三）化繁為簡的思想與方法

“化繁為簡”是將待解決問題逐步劃分為幾個(gè)或一系列簡單的問題加以解決的思想和方法。“化繁為簡”是一個(gè)將問題拆分、知識點(diǎn)逐步細(xì)化、知識點(diǎn)綜合應(yīng)用、知識點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)形成系統(tǒng)的一個(gè)過程和方法。通過“化繁為簡”可以有效地促進(jìn)把握知識點(diǎn)、加深對知識點(diǎn)間內(nèi)部關(guān)聯(lián)、構(gòu)建一個(gè)系統(tǒng)的知識體系及解決大問題的能力。

“化繁為簡”通常包含細(xì)化知識點(diǎn)和綜合知識點(diǎn)的兩個(gè)過程。例如，要研究一個(gè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b]上的連續(xù)性。首先來進(jìn)行知識點(diǎn)的逐步細(xì)化。利用函數(shù)在一個(gè)區(qū)間連續(xù)的定義，則對函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b]上的連續(xù)性研究轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b]內(nèi)任一點(diǎn)x的連續(xù)性問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f（x）該點(diǎn)x處的左連續(xù)、右連續(xù)及函數(shù)在該點(diǎn)的取值問題，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）在該點(diǎn)x處的左極限、右極限及函數(shù)定義的問題。再次來看知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用。通過上述細(xì)化過程，發(fā)現(xiàn)如果能夠知道函數(shù)

f（x）在任一點(diǎn)x∈（a，b）處的左極限、右極限、函數(shù)的定義，以及f（x）在區(qū)間左端點(diǎn)a處的右極限及定義、f（x）在區(qū)間右端點(diǎn)b處的左極限和定義，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b]上的連續(xù)性就得到解決。

二、五種能力的培養(yǎng)

以上我們討論了高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的三種重要思想與方法，接下來談一談在教學(xué)中五種能力的培養(yǎng)。

（一）具體問題數(shù)學(xué)化的能力

具體問題數(shù)學(xué)化簡單的講就是將生產(chǎn)實(shí)踐中的具體問題用數(shù)學(xué)的形式表達(dá)出來。通常需要人為的引入相關(guān)的變量、函數(shù)、限定條件，建立相應(yīng)的圖表、公式、表達(dá)式等，將已知的量、條件與未知的量等用特定的數(shù)字?jǐn)?shù)學(xué)符號表達(dá)出來。

例如，《莊子·天下》記錄了莊子的好朋友、名家人物惠施的命題之“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”， 其含義是：一尺長的桿，每天截去它的一半，千秋萬代也截不完。數(shù)學(xué)上我們來看怎么解釋，假設(shè)桿的長度為1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位，通過引入變量n代表第n天，以及an表示第n天所取的桿的長度，則容易得到，

所以命題是在說

按照等比級數(shù)的求和，上述關(guān)系顯然是正確的，從而惠施的命題是成立的。

（二）定性描述與定量演繹的能力

以定量代替定性，即以一個(gè)確定的量的關(guān)系去表達(dá)一個(gè)性質(zhì)。

例如函數(shù)f（x）在一點(diǎn)x=x0的極限定義。定性描述為當(dāng)x趨近于x0時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f（x）無限趨近于某個(gè)確定的值A(chǔ)，就稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處的極限為A。定性描述總是很容易理解，但是卻不便于演繹推理。借助于？著-？啄語言的定量關(guān)系，則問題變得容易解決。

（三）數(shù)學(xué)對象具體化的能力

數(shù)學(xué)對象具體化即是將數(shù)學(xué)上的字母、數(shù)字、函數(shù)、矩陣等具體的數(shù)學(xué)對象轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)實(shí)際中具體研究對象。高等數(shù)學(xué)課程中會采用很多的字母、數(shù)字、符號等數(shù)學(xué)對象，而這些數(shù)學(xué)對象通常都是可以和生產(chǎn)實(shí)際中的具體對象相對應(yīng)的。

例如在區(qū)間[a，b]上的一個(gè)函數(shù)f（x）。可以將f（x）看做一個(gè)化學(xué)反應(yīng)從時(shí)刻a變化到時(shí)刻b的反應(yīng)物濃度，此時(shí)x是時(shí)間變量;也可以將f（x）看做是從河道的一端a到河道的另外一端b之間河道每一點(diǎn)處的寬度或深度等，此時(shí)x 是空間變量。一個(gè)矩陣A=0 12 0可以看做是一個(gè)線性變換x1=yy1=2x的變換矩陣;也可以看做是兩個(gè)機(jī)場I、II間的航班情況，如下圖：

（四）數(shù)學(xué)理論應(yīng)用推廣的能力

數(shù)學(xué)理論應(yīng)用推廣能力主要包含兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是將簡單問題上的數(shù)學(xué)理論推廣到復(fù)雜問題上;第二是指將數(shù)學(xué)理論推廣應(yīng)用到具體的實(shí)際問題。

關(guān)于第一點(diǎn)，例如學(xué)習(xí)了一階導(dǎo)數(shù)的求法，則二階導(dǎo)數(shù)就是對一階導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo);n階導(dǎo)數(shù)就是對n-1階導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)。再比如講完一元函數(shù)的積分，則二元函數(shù)的積分可以先將其中一個(gè)被積變量看做固定，而關(guān)于另外一個(gè)被積變量做一元函數(shù)的積分，所得積分結(jié)果再關(guān)于剛才假設(shè)固定的變量做積分，這個(gè)思想很容易推廣到三重積分及更高維數(shù)的積分概念當(dāng)中。

關(guān)于第二點(diǎn)，更多的體現(xiàn)在利用數(shù)學(xué)的定理、性質(zhì)去解決生產(chǎn)實(shí)際問題。例如利用極值理論解決用料最省體積最大問題;利用隱函數(shù)定理解決非線性方程的求解問題等。

（五）數(shù)學(xué)語言的使用能力

數(shù)學(xué)語言分為符號語言、文字語言、圖表語言和公式語言等，是表達(dá)數(shù)學(xué)思想的專門語言，具有抽象性、準(zhǔn)確性、簡約性和形式化等特點(diǎn)[3，4，5]。有效地使用數(shù)學(xué)語言，能夠促進(jìn)知識點(diǎn)的掌握、改善數(shù)學(xué)思維、增強(qiáng)數(shù)學(xué)表達(dá)和交流、提高學(xué)習(xí)的興趣與能力、提升理論與實(shí)際的轉(zhuǎn)化能力等。

符號語言是在人類數(shù)學(xué)思維長期發(fā)展過程中不斷使用并凝練下來的一種語言表達(dá)形式，往往具有確定的意義與通用的使用規(guī)則。2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將符號意識作為10個(gè)核心素養(yǎng)之一[6]。從中小學(xué)的初等數(shù)學(xué)介紹的“+”、“-”、“×”、“÷”，取對數(shù)符號“l(fā)og”到高等數(shù)學(xué)介紹的導(dǎo)數(shù)符號“” ，“”，積分符號“∫”、以及“？坌”，“？堝”等符號，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中更要有意加強(qiáng)學(xué)生對符號的寫法、意義的理解，并鼓勵(lì)使用。

數(shù)學(xué)中的文字語言是指數(shù)學(xué)理論中經(jīng)過對自然語言加工改造后具有精確的意義及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厥褂靡?guī)則的一類語義單位。例如“區(qū)域”、 “極限”、“微分”、“洛必達(dá)法則”、“積分中值定理”等。圖表語言指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖、表。例如“柱面”、“單葉雙曲面”、“馬鞍面”、“函數(shù)導(dǎo)數(shù)表”、“一元函數(shù)積分表”等。公式語言是指包含特殊的關(guān)系及明確意義的表達(dá)式。如歐拉公式：eix=cos（x）+isin（x）;格林公式、高斯公式等。

在《教育部關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見》中提到“課程是人才培養(yǎng)的核心要素，課程質(zhì)量直接決定人才培養(yǎng)質(zhì)量”。大學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)既是為學(xué)好專業(yè)課打基礎(chǔ)，又是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力的重要時(shí)期。對教師而言，在教學(xué)過程中除了要講好必要的知識點(diǎn)，還要注重以能力為導(dǎo)向，將數(shù)學(xué)思想和方法融會貫通，杜絕單純知識傳遞，才能真正將大學(xué)數(shù)學(xué)課程起到培養(yǎng)創(chuàng)新型、復(fù)合型人才的作用。

參考文獻(xiàn)：

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