粒子概率假設密度平滑器異常平滑問題的解決方法

何祥宇，于 斌，夏玉杰

(1.洛陽師范學院 物理與電子信息學院，河南 洛陽 471934; 2.國家電投集團南陽熱電有限責任公司 發電運行部，河南 南陽 473000)

0 引言

多目標跟蹤的任務就是從測量值集合中獲取目標的個數及位置。在復雜的多目標跟蹤環境中，測量值不但受到噪聲的影響，而且存在雜波和漏檢現象[1]，因此，在復雜的跟蹤環境中，如何有效地跟蹤多個目標在理論和應用方面都是一個富有挑戰性的研究課題。

大多數傳統的多目標跟蹤算法如數據關聯[2-3]和多假設跟蹤算法[4-5]等都需要對測量值與目標進行關聯；然而，在實際應用中，這種測量值與目標之間的關聯過程需要耗費大量的時間進行處理。近年來，越來越多的專家學者利用基于隨機有限集(Random Finite Set， RFS)的濾波與平滑理論實現復雜場景中多個運動目標的跟蹤之目的。概率假設密度(Probability Hypothesis Density，PHD)多目標濾波器[6]和帶勢估計的概率假設密度(Cardinalized PHD，CPHD)多目標濾波器[7]是基于RFS理論的兩種有效的貝葉斯多目標濾波算法，這兩種濾波器不需要關聯計算確定目標與傳感器測量值之間的關系，從而降低了算法的計算量，提高了算法的運行速度。

粒子濾波算法是一種應用廣泛的信號處理算法[8-9]，如應用于目標定位的粒子濾波算法[10-12]和目標跟蹤的粒子濾波算法[13-15]等。基于粒子實現的PHD濾波器稱為粒子PHD濾波器[16]，用于處理PHD濾波器遞歸中存在的積分運算。此外，高斯混合PHD濾波器[17]是PHD濾波器另一種實現算法，用于處理線性高斯假設條件下的多目標跟蹤問題。在高斯混合PHD濾波器的基礎上，根據擴展目標PHD濾波器，通過定義增廣的狀態變量，文獻[18]中提出了一種改善的目標跟蹤算法，該算法在跟蹤多目標的同時對傳感器的系統誤差進行補償，可有效地處理存在測量偏差的目標跟蹤問題。最近，文獻[19]和文獻[20]先后采用不同的理論提出了一種前后向PHD平滑器，與PHD濾波器相比，可有效地提高目標的位置估計精度。類似于PHD濾波器，PHD平滑器有兩種實現算法，分別稱為粒子PHD平滑器[19-20]和高斯混合PHD平滑器[21]。

粒子PHD平滑器包含一個前向濾波過程和一個后向平滑過程，其前向濾波使用的是標準的粒子PHD濾波算法；在后向平滑過程，當前時間步的平滑PHD分布由當前時間步及將來時間步的濾波結果計算得到。在粒子PHD平滑過程中，由于存在著目標消失及漏檢等情況，致使某些時間步的目標量測出現丟失的現象。在某一時間步，某目標一旦未被檢測到，則粒子PHD濾波器的濾波結果中就會馬上遺棄該目標的相關信息[22]。在平滑過程中，濾波結果的丟棄將導致后向平滑不能獲取正確的平滑PHD分布，從而產生異常的平滑問題；也即是粒子PHD平滑器獲得錯誤的目標個數平滑估計值及丟失相應的目標狀態。

針對粒子PHD平滑器存在的異常平滑問題，本文提出了一種改進的粒子PHD平滑算法。該算法利用修正的前向濾波公式進行計算存活目標的濾波估計值，并利用存活目標的濾波估計值作為目標消失或漏檢發生判據，確定平滑迭代計算過程中的存活概率值，進而改進平滑權值的計算公式以獲取所跟蹤目標的平滑PHD分布函數。

1 粒子PHD平滑器

粒子PHD平滑器采用有限個隨機粒子的加權和形式描述跟蹤目標的濾波PHD分布函數和平滑PHD分布函數[19-20]，用于近似處理濾波與平滑過程中的積分計算問題，是前后向PHD多目標平滑器的一種實用近似算法。

在k-1時間步，假設粒子PHD平滑器的濾波PHD分布vk-1可用Lk-1個粒子表示為如下的粒子加權和形式：

(1)

此外，若k時間步分配給新目標的粒子個數為Jk，則k時間步的預測PHD分布vk|k-1可表示成Lk-1+Jk個存活目標粒子和新目標粒子的加權和形式為：

(2)

給定k時間步預測的PHD分布vk|k-1和測量集Zk，粒子PHD平滑器的更新PHD分布vk的計算公式為：

(3)

其中：

(4)

(5)

其中vk-l|k中的相關參數計算為：

(6)

(7)

2 本文算法

針對粒子PHD平滑器存在的異常平滑問題，本文提出了一種改進算法。該算法首先根據前向濾波過程得到的存活目標個數估計值，定義后向平滑計算用到的存活概率；然后利用此定義的存活概率計算后向平滑PHD分布。定義k-1時間步的單個目標狀態為xk-1，假定其狀態方程可表示為：

xk=φk-1(xk-1)+qk-1

(9)

其中φk-1(·)和qk-1分別為狀態轉移函數和狀態噪聲。

該算法包含前向濾波和后向平滑兩部分，過程詳述如下。

2.1 前向濾波

(10)

(11)

(12)

其中：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

2.2 后向平滑

(20)

(21)

據此，本文改進算法在k-l時間步的目標個數平滑估計值計算如下：

(22)

根據存活目標目標個數的濾波估計值，判斷跟蹤過程中是否有目標消失或者是漏檢產生，據此定義后向平滑的存活概率，進而計算相應的粒子PHD平滑分布，可很好地改善粒子PHD平滑器的目標跟蹤性能和解決后向平滑過程中產生的異常平滑估計問題。

3 仿真結果與分析

目標的狀態方程設置為：

(23)

ωk=ωk-1+Δuk-1

(24)

(25)

量測方程設置為：

(26)

新生目標的PHD分布γk|k-1設置為：

(27)

仿真實驗中，目標的檢測概率pD=0.98；標準差參數分別設置為σq=0.6 m/s2，σu=π/180 rad/s和σv=1 m。每一個存活目標或新生目標分配200個粒子。雜波設置為一均勻分布在跟蹤場景中的速率為r=5的泊松隨機集，平滑延時設置為l=3時間步。

仿真中不同多目標跟蹤算法的目標跟蹤性能采用最優子模式分配(Optimal SubPattern Assignment, OSPA)距離評價標準進行評估，其定義[23]如下：

(28)

其中：X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}表示任意子集，c>0，1≤p<∞，參數c和p設置為p=2，c=50 m。

為充分評估本文算法在復雜環境中跟蹤多個運動目標的有效性，仿真實驗場景內相繼有5個目標運動，且存在漏檢、目標出現和消失等情況。5個目標的x坐標與y坐標隨時間的變化情況如圖1所示，其中正方形表示每一個目標出現的時間步及對應位置，三角形表示每一個目標消失的時間步及對應位置。在此設定的跟蹤場景中，目標3和目標4分別出現在21時間步和31時間步；目標1、目標2和目標3分別在30時間步、20時間步和40時間步后消失；目標5的運行時間為整個跟蹤過程。

圖1 真實目標軌跡Fig. 1 True target trajectories

圖2為雜波環境中50個時間步的跟蹤持續時間內5個目標的真實運動軌跡和每個時間步接收到的量測，其中實線表示每一個目標的真實運動軌跡，交叉號表示的是每個時間步接收到的量測值。對于該設定的跟蹤場景，由于環境存在干擾和傳感器存在缺點等原因，三個不同的目標分別在時間步15、10和5未被傳感器檢到，相應目標沒有產生量測也即是發生了漏檢。在圖2中，圓圈標識的是漏檢產生的時間步。

圖2 真實軌跡與量測Fig. 2 True trajectories and measurements

圖3為粒子PHD濾波器和粒子PHD平滑器的目標個數估計。從圖3可以看出，在5、10和15這些漏檢發生的時間步上，粒子PHD濾波器的目標個數估計值小于真實值。粒子PHD平滑器通過平滑計算，把目標個數估計值小于真實值的情況轉移到了2、7和12時間步。此外，由于目標1、目標2和目標3分別在30時間步、20時間步和40時間步后消失，粒子PHD平滑器在18～20、28～30和38～40這些時間步上產生了錯誤的目標個數估計值。

圖3 粒子PHD濾波器和粒子PHD平滑器的目標個數估計Fig. 3 Target number estimations of particle PHD filter and PHD smoother

圖4為粒子PHD平滑器和本文所提算法的目標個數估計。從圖中可以看出，本文所提算法很好地解決粒子PHD平滑器中由漏檢或目標消失導致的目標個數低估問題，并且本文所提算法在整個跟蹤過程中的目標個數估計值始終等于目標個數的真實值。

圖4 粒子PHD平滑器和本文算法的目標個數估計Fig. 4 Target number estimations of particle PHD smoother and proposed algorithm

圖5和圖6分別給出了3種算法的目標位置估計。從圖中可以看出，在5、10和15時間步，當漏檢發生時，由于目標信息的丟失使得粒子PHD濾波器未能獲取相應目標的位置估計。此外，對于粒子PHD平滑器來說，由于濾波輸出取決于以前的濾波結果，粒子PHD平滑器在其目標個數低估的那些時間步上丟失了相應的目標位置估計。圖6顯示，在整個跟蹤期間，本文所提算法在那些目標個數低估的時間步上不存在目標位置估計丟失的現象，能夠獲取5個運動目標連續完整的運動軌跡。

圖5 粒子PHD濾波器和粒子PHD平滑器的目標位置估計Fig. 5 Position estimations of particle PHD filter and PHD smoother

圖6 粒子PHD平滑器和本文算法的目標位置估計Fig. 6 Position estimations of particle PHD smoother and proposed algorithm

圖7為不同算法在每一個時間步上的OSPA距離。

圖7 不同算法的OSPA距離Fig. 7 OSPA distances of different algorithms

從圖7可以看出，粒子PHD平滑器的OSPA距離在其目標個數錯的那些時間步上出現了12個高峰值誤差，這些峰值誤差的最大值可達29.91 m。通過對比發現，本文所提算法的位置估計沒有較大的跟蹤誤差，在整個跟蹤過程中有著令人滿意的跟蹤精度。此外，目標跟蹤過程中，粒子PHD平滑器出現的12個高峰值誤差導致其時間平均的OSPA距離誤差高達7.75 m；但由于本文所提算法在整個跟蹤過程中沒有較大的跟蹤誤差，使得其時間平均的OSPA距離誤差低至1.05 m，相對于粒子PHD平滑器，本文所提算法的目標跟蹤性能有了明顯提升。

4 結語

為解決粒子PHD平滑器在處理復雜環境中多目標跟蹤問題時產生的異常平滑估計問題，提出了一種基于存活概率修正的改進粒子PHD平滑器。該算法根據存活目標的前向濾波估計值，通過定義存活概率修改了平滑權值的計算公式。仿真結果表明，所提算法可有效地解決粒子PHD平滑器的異常平滑問題。

本文算法在線性高斯條件下有待改進，其原因為參與濾波和平滑計算的粒子數目較多，對平滑算法的運行速度影響較大。在本文研究基礎之上，下一步將研究前后向PHD平滑器的高斯粒子實現算法。