一題七問

何宏政

我們在一次函數、正比例函數、反比例函數的基礎上來學習二次函數，是擁有一定經驗的。同時，二次函數和以前學過的一元二次方程、一元一次不等式有著密切的聯系，進一步學習二次函數，將為它們的解法提供新的方法和途徑，并能更深刻地理解數形結合的重要思想。二次函數題型多變、考點多、思維量大、計算復雜，怎樣從紛繁復雜的考題中找出二次函數考題的基本問題進行歸納總結，真正地掌握學的方向，并應用二次函數知識解決實際問題，是我們應當思考的。下面以一道典型例題為例，經過深入研究，我們可以挖掘出很多有意思的題型。

例題 已知：如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA=OC=3，頂點為D。

（1）求此函數的表達式。

先確定坐標，再用待定系數法求函數表達式。這是基礎中的基礎，要求我們人人掌握。

（2）在對稱軸上找一點P，使△BCP的周長最小，求出P點坐標及△BPC的周長。

最值問題，已知表達式，求拋物線的對稱軸。求直線表達式、交點坐標是解決函數問題的必備基礎技能。我們可以運用解決“將軍飲馬”問題的策略求兩點一線的最短距離，主要運用的數學方法為化折為直。當然，“將軍飲馬”問題還有許多變式，同學們可以自己嘗試。

（3）在AC下方的拋物線上有一點Ⅳ，過點Ⅳ作直線l∥y軸，交AC于點M。當點N坐標為多少時，線段MN的長度最長？最長是多少？

求線段的最值問題，要用到兩點間的距離公式。利用設點法求兩點間距離、線段最值是解決函數問題的基本技能。

（4）在y軸上是否存在一點E，使△ADE為直角三角形？若存在，求出點E的坐標;若不存在，說明理由。

本問考查定點與動點的判別與使用。兩條直線垂直即斜率k之積為一1。

（5）在對稱軸上有一點K，在拋物線上有一點L，若使A、B、K、L為頂點形成平行四邊形，求出K、L點的坐標。

利用平行四邊形對角線的特征（對角線互相平分、中點坐標公式、對角線頂點橫坐標之和相等、頂點縱坐標之和相等）能輕松解決兩動點平行四邊形問題。解決本問的關鍵是抓準定點與動點的關系及熟練掌握中點坐標公式。

（6）在線段AC上是否存在點M，使△AOM與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標;若不存在，說明理由。

使△AOM與△ABC相似，應考慮問題的多樣性（對應邊的變化）。我們可以利用設點法，以代數式表示線段的長度來解決形的問題。此題構建的是A字與反A字相似模型。

（7）點P是拋物線上一個動點，作PH⊥x軸t H，是否存在點P，使得△PAH與△OBC相似？若存在，求出點P的坐標;若不存在，說明理由。

△PAH與△OBC相似，只確定了一個直角，應考慮問題的多樣性（對應邊的變化）。我們依舊采用設點法，同樣用代數式表示線段的長度來解決形的問題。此題構建的是兩對應邊成比例夾角相等模型。

對于基本問題，我們要深入研究和拓展，要學會對題目中的規律進行總結，善于就題變題;要學會通過觀察分析探索交流解題的過程，尋找到規律進行學習，從而使知識轉化為能力;要學會運用函數思想，利用好數形結合思想，注意分類討論，最終掌握學習函數的方向和方法。

（作者單位：江蘇省泗陽致遠中學）