巧用二次函數對稱性解決問題

王寅

拋物線的軸對稱性，是二次函數的一個重要特征，往往也是解題的關鍵。我們如果能夠熟練并巧妙地運用，可使解題變得輕松。

一、利用對稱性求點坐標

例1 已知二次函數y=kx2-4kx+3k圖像上有一點（3，2），則該點關于圖像對稱軸的對稱點的坐標為（?）。

A.（2，3）

B.（l，2）

C.（2，2）

D.（l，3）

【分析】我們要求對稱點，就要先求出拋物線的對稱軸，然后利用對稱性求出另一點的坐標。

解：對稱軸為x=-b/2a=--4k/2k=2。設所求點的橫坐標為m，根據中點坐標公式可得m+3/2=2，解得m=l。由對稱性可知縱坐標不變，所以所求點的坐標為（1，2）。故選B。

【點評】靈活利用配方法或公式求出對稱軸是解題的關鍵。本題還可以利用十字相乘法，將表達式轉化為交點式y=k（x-1） （x-3），求出對稱點的坐標。

二、利用對稱性比較數值大小

例2 若點A（2，y，）、B（-3，Y2）、C（3，y3）三點在二次函數y=x2-4x-m的圖像上，則Y1、Y2、y3的大小關系是（?）。

A.Y1>Y2 >y3

B.Y2>Y1>Y3

C.Y2>y3 >Y1

D.y3>Y1>Y2

【分析】找出圖像對稱軸，利用增減性求解。

解：配方得y= （x-2）2-4-m，所以對稱軸為x=2。因為a>0，A點橫坐標為2，所以A為圖像頂點，即Y1最小。根據對稱性，可得點C關于對稱軸的對稱點C'的坐標為（1，y3），在對稱軸左側，y隨x增大而減小，所以Y2>Y3，即Y2>Y3>Y1。故選C。

【點評】借助拋物線的軸對稱性，把位于對稱軸兩側的點變換到同一側，這樣便于利用二次函數的增減性來進行比較。當然，本題也可直接代入求解。

三、數形結合解不等式

例3 已知拋物線y=ax2+bx+c的部分圖像如圖1所示，若y>0，則x的取值范圍是（?）。

A.x >1

B.x<-1

C.-l

D.x<-1或x>3

【分析】函數圖像與x軸有兩個交點，所以要先求出另一交點。

解：由圖可知，拋物線的對稱軸為x=1，一個交點為（一1，0），易求出另一交點為（3，0）。因為y>0，所以根據圖像可知對應的取值范圍應為x軸上方部分，即x<-l或x>3。故選D。

【點評】本題容易錯解為x<-l，忽視對稱軸另一側的情況。數形結合思想是解決函數取值范圍的主要方法，如本題，若問當y<0時，求x的取值范圍，則可根據圖像直接得到答案為-l

四、巧用對稱性求面積

例4 如圖2，把拋物線Y= 2/3x2平移得到拋物線m，拋物線m經過點A（-6，0）和原點O（O，0），它的頂點為P，對稱軸與拋物線y= 2/3x2交于點Q，則圖中陰影部分面積為（?）。

A.12

B.14

C.16

D.18

【分析】求不規則圖形面積應利用拼、割、補等方法轉化為規則圖形。

解：作QD⊥y軸于點D，設PQ與x軸交于點C。由拋物線m經過A（-6，0）、O（O，0），通過交點式可得m的表達式為y=2/3（x+6）（x-0），即y=2/3x2+4x，所以圖像m的對稱軸為x=-3，將x=-3代入y=2/3x2，得Q（-3，6），所以PC=QC，所以陰影部分面積可轉化為矩形CQDO面積，即3x6=18。故選D。

【點評】處理不規則圖形面積的關鍵是轉化。本題通過求出P、Q兩點坐標，結合對稱性，將陰影部分面積轉化為矩形面積。

例5 如圖3，拋物線y=x2， y=1/2x2， y=-1/4x2分別交矩形ABCD于F、E、A、D、C、B，若點A的橫坐標為-1，則圖中陰影部分面積的和為（?）。

A.l

B.2

c.3/4

D.4/3

【分析】已知的三個函數表達式都為y=ax2的形式，可知圖像頂點都為原點，對稱軸都為y軸。可將右側陰影部分移至左側，即求矩形ABCD面積的一半。

解：由圖可知，點A在拋物線y= 1/2x2上，點B在y=-1/4x2上，將x=-l分別代入，得A（一1，1/2）、B（一1，一1/4），所以AB=1/2+1/4=3/4，則左側矩形面積為lx3=3。故選C。

【點評】解題的關鍵點是判斷各點所對應的拋物線。因為點B所在拋物線開口向下，所以點B在y=- 4x-上;因為lal越大，拋物線開口越小，所以點A在y= 1/2x2上。

五、巧用對稱性求值

例6 如圖4，已知點C（O，2）、D（4，2）、F（4，0）。問題：

（1）請利用尺規作出拋物線的對稱軸，想一想能有幾種作法;

（2）若拋物線對稱軸上有動點P，求PC+PO的最小值。

【分析】（1）根據C、D兩點坐標，可知CD∥x軸，作CD的垂直平分線l，則l即為拋物線的對稱軸。

（2）動點P在對稱軸上，可找出點C（或點0）關于l的對稱點，利用線段垂直平分線性質，進行轉換。

解：（1）分別以點C、D為圓心，大于1/2CD為半徑畫弧，過兩弧上下交點作直線l，則直線l為拋物線的對稱軸。

（2）如圖5，連接OD，與l交于點P，所以PC=PD，即PC+PO=PD+PO=OD。因為OC=2，CD=4，所以OD=OC2+CD2=25。

【點評】問題（1）還可以利用矩形的對稱性質來解決，即連接CF、OD，過CF、OD的交點作x軸的垂線，則垂線為拋物線的對稱軸。問題（2）是典型的“將軍飲馬”問題，可利用二次函數的對稱性得出點C的對稱點為點D，根據線段垂直平分線性質轉化線段，構造三點共線，求出最小值。

（作者單位：江蘇省泗陽經濟開發區學校）