一道中考壓軸題引出的數學模型

戚文理

我們先來看一下2019年四川綿陽數學中考第24題：

在平面直角坐標系中，將二次函數y=ax-（a>0）的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖1所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），OA=1，經過點A的一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸正半軸交于點C，且與拋物線的另一個交點為D，△ABD的面積為5。

（1）求拋物線和一次函數的表達式;

（2）拋物線上的動點E在一次函數的圖像下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時點E的坐標：

（3）若點P為x軸上任意一點，在（2）的結論下，求PE+3/5PA的最小值。

【分析】（1）先寫出平移后的拋物線表達式，經過點A（一1，0），可求得a的值，由△ABD的面積為5可求出點D的縱坐標，代入拋物線表達式求出橫坐標，由A、D的坐標可求出一次函數表達式;

（2）作EM∥y軸交AD于M，如圖2，利用三角形面積公式，由S△ACE=S△AME-S△CME構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題;

（3）如圖3，作E關于x軸的對稱點F，過點F作FH⊥AE于點H，交x軸于點P，則∠BAE=∠HA P=∠HFE，利用銳角三角函數的定義可得出EP+3/2A P=FP+HP=FH，此時VH最小，求

出最小值即可。

【點評】本題主要考查了二次函數表達式的求法和數形結合的能力。要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，解決相關問題。第（3）問是本題的壓軸點，屬于“胡不歸”模型。

“胡不歸”模型是一個非常古老的數學模型，也是歷史上非常著名的難題，近年來逐漸成為各地中考的熱門考點，很多同學不易把握。下面結合幾個例子來說說這一模型。

一、“胡不歸”模型的建立

如圖4，點P是射線AM上一動點，點B是射線外一定點。求k·PA +PB取最小值時點P的位置（其中O

【分析】如圖5，將射線AM繞A點逆時針旋轉a0得射線AM'，使sina.=k。過點P作PE⊥AM'，垂足為E，那么有k·PA+PB=PE+PB。過點B作BF⊥AM，垂足為F，交AM于點P，易得，當點P與P'重合時，k·PA+PB有最小值BF。

【理論依據】點到直線間垂線段最短。

二、“胡不歸”模型的運用

例1 （2019·湖北恩施）如圖6，拋物線y=ax2-2ax+c的圖像經過點C（0，-2），頂點D的坐標為（1，一8、3），與x軸交于A、B兩點。

（1）求拋物線的表達式。

（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC一△AEB時，求點E的坐標和AE/AB的值。

（3）點F（0，y）是y軸上一動點，當y為何值時，5/5FC+BF的值最小，并求出這個最小值。

（4）點C關于x軸的對稱點為H，當5/5FC+BF取最小值時，在拋物線的對稱軸 5上是否存在點Q，使△QHF是直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由。

【分析】（1）將點C、D的坐標代入拋物線表達式，即可求解;

（3）連接BF，過點F作FG⊥AC于點G，當折線段BFG與BE重合時，取得最小值，即可求解;

（4）①當點Q為直角頂點時，由Rt△QHM—Rt△FQM得QM2=HM·FM;②當點H為直角頂點時，點H（O，2），則點Q（l，2）;③當點F為直角頂點時，同理可得點Q（l，一3/2）。

【點評】本題考查了二次函數的綜合運用，涉及一次函數、點的對稱性、三角形相似、圖形的面積計算等，其中第（4）問要注意分類求解，避免遺漏。第（3）（4）兩小問則是對“胡不歸”模型的應用。

例2 （2020·湖南湘西）已知直線y=kx-2與拋物線y=x2-bx+c（6、c為常數，b>0）的一個交點為A（一1，0），點M（m，0）是x軸正半軸上的動點。

（1）當直線y=kx-2與拋物線y=x2-bx+c（b、c為常數，b>0）的另一個交點為該拋物線的頂點E時，求k、6、c的值及拋物線頂點E的坐標：

（2）在（1）的條件下，設該拋物線與y軸的交點為C，若點Q在拋物線上，且點Q的橫

1坐標為6，當SAEQM= 2S△ACE時，求m的值;

（3）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為b+l，當2AM+2DM的最小值為27.2/4時，求b的值。

【分析】（1）將A點坐標代入直線與拋物線的表達式中求得k的值和b與c的關系式，再將拋物線的頂點坐標代入求得的直線的表達式，便可求得b、c的值，進而求得E點的坐標;

（2）先根據拋物線的表達式求得C、Q點的坐標，用m表示出△EQM的面積，再根據S△EQM=1/2S△ACE列出m的方程進行求解;

（3）取點Ⅳ（0，1），則∠OAN=45°，過點D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸交于點M，此時2A M+2DM=2DG的值最小，由2DC=27 2/4列出關于6的方程求解便可。

【點評】本題是二次函數的綜合題，主要考查了待定系數法、二次函數的圖像與性質、三角形面積公式、等腰直角三角形的性質等知識。第（2）小問的關鍵是由面積關系列出m的方程，第（3）小問的關鍵是利用“胡不歸”模型確定2AM+2DM的最小值為2DG的值。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學）