處處可見的二次函數

胡榮光

二次函數是初中數學的一個重要內容，是難點，也是重點，更是高中學習的重要基礎。二次函數的應用非常廣泛，它能客觀地反映現實世界中變量之間的數量關系和常見的數學模型，所以很多實際問題可以用二次函數來解決。下面我們以兩個實際問題來分析，希望對大家二次函數的學習有所幫助。

例1 如圖1，劉爺爺用鐵柵欄及一面墻（墻為足夠的長度）圍成一個長方形兔舍，在AB和BC邊各有一個2米寬的小門。劉爺爺共用鐵柵欄40米。設矩形ABCD垂直墻的邊AD長為x米，矩形的面積為S平方米。

（1）寫出S與x的函數表達式;（請寫出取值范圍）

（2）如果要圍成192平方米的場地，AD的長是____;

（3）能圍成248平方米的場地嗎？

【解析】（1）本小題的難點是準確地表示出AB的長度，然后根據長方形面積公式得到函數表達式，最后需利用不等式組求出自變量的取值范圍。

根據題意，

得S=x[40-x-（x-2）+2] =-2x2+44x.

∵x- 2>0，

40 -x-（x- 2》0，

∴2

∴S與x的函數表達式為S=_2x2+44x（2

（2）將S=192代入，得一元二次方程，解出方程的根，但要檢驗是否在（1）的范圍內。

當S=192時，-2x2+44x=192。

解得x1=6，x2=16。

∴要圍成192平方米的場地，AD的長是6米或16米。

（3）將S=248代入，得一元二次方程，方程無解，說明不能圍成248平方米的場地。本小題也可以求函數的最大值，發現最大值小于248，即說明不能圍成248平方米的場地。

方法一：當S=248時，-2x2+44x=248。

化簡為x2-22x+124=0。

∵△=62—4ac<0.

∴方程無解，

∴不能圍成248平方米的場地。

方法二：∵S=-2x2+44x=-2 （x-ll）2+242，

∴當x=ll時，S有最大值，最大值為242平方米，

∴不能圍成248平方米的場地。

例2 如圖2，某廣場要建一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子OA，0恰好在水面的中心，OA =1.25米。由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下。為使水流形狀美觀，要求水流在離OA距離1米處達到距水面的最大高度2.25米，建立如下坐標系。

（1）求水流的拋物線路線在第一象限內對應的函數表達式;（不要求寫取值范圍）

（2）若不計其他因素，則水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落到池外？

（3）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池半徑為3.5米，要使水流不落到池外，水流距水面的最大高度應達到多少米？

（4）在直線OB上有一點D（靠點B一側），BD=0.5米，豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶，試圖讓水落入桶內。圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.2米（圓柱形桶的厚度忽略不計）。①如果豎直擺放5個圓柱形桶，水能不能落入桶內？②直接寫出當豎直擺放多少個圓柱形桶時，水可以落入桶內。

【解析】（1）本小題由題意易得頂點坐標，所以可設函數表達式為頂點式。

∵頂點為（1，2.25），

∴設函數表達式為y=a（x-l）2+2.25。

∵函數過點A（0，1.25），

∴將A點坐標代入函數表達式，

解得a=-l，

∴函數表達式為y=-（x-l）2+2.25。

（2）首先理解題意，水落在地上，就是當y=0時，求x的值，要注意取舍。

由（1）知y=- （x-l）2+2.25，

令y=0，則一（x_l）2+2.25=0，

解得x1=2.5，x7=-0.5（舍去）。

∴花壇的半徑至少為2.5m。

（3）我們知道表達式y=ax2+bx+c中的a確定拋物線形狀，所以題意暗示我們a=-l。

由題意可設y=-x2+bx+c，把點（0，1.25）、（3.5，0）代入，

∴水池的半徑為3.5m。要使水流不落到池外，此時噴出的水流最大高度應達729m。

（4）本小題很靈活，我們要能理解（2，1.25）、（1.5，2）這兩個點在拋物線上。如果水能夠落在桶里，桶的高度應在1.25m到2m之間。

①由題意得（2，1.25）、（1.5，2）在拋物線上，豎直擺放5個桶的高為Im。

∵1<2且1<1.25，

∴水不能落入桶內。

②設豎直擺放圓柱形桶n個時，水可以落人桶內。由題意得1.25≤0.2n≤2，解得6.25≤n≤10

∵n為整數，∴n的值為7、8、9、10，

∴當豎直擺放圓柱形桶7、8、9、10個時，水可以落入桶內。

用二次函數解決實際問題是對二次函數學習的綜合應用，我們不僅需要根據題意用適當的方法求出函數的表達式及最值，還需要與方程、不等式聯系在一起靈活應用。我們更要從題目中體會數形結合、數學建模等數學思想。

（作者單位：江蘇省泗陽致遠中學）