圓錐曲線的切線問題研究

肖翔

【摘 要】 圓錐曲線的切線問題是高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)理解圓錐曲線的一個(gè)難點(diǎn)，以圓錐曲線的切線性質(zhì)為背景的題目頻頻出現(xiàn)，引起廣大教師和考生的廣泛關(guān)注。如何正確作出切線，計(jì)算出切線方程已經(jīng)成為高三學(xué)生應(yīng)考的一個(gè)必備知識(shí)。

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線;切線

過圓錐曲線上一點(diǎn)作切線，并求其切線方程，是學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)的過程中一個(gè)頭疼的問題。學(xué)生在代入過程中容易犯錯(cuò)，同時(shí)計(jì)算過程也容易出錯(cuò)。針對(duì)圓錐曲線的切線問題，需要總結(jié)出規(guī)律，以便學(xué)生在高考中能輕松應(yīng)對(duì)，提高解決圓錐曲線的題型的能力。

一、橢圓的切線問題

過橢圓上一定點(diǎn)作橢圓的切線方程與過橢圓外的一點(diǎn)作橢圓的兩條切線的切線弦。

1.過橢圓上的一點(diǎn)作橢圓的切線

例1：已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓上的任意一點(diǎn)，求橢圓的切線方程。

解：當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為y=kx+m，

代入橢圓方程得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2-b2）=0，

∴，即k=-，

，，

，即。

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程同樣滿足上式。

綜上所述，橢圓的切線方程為。

2.過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)弦直線方程

例2：已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓外一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求過兩切點(diǎn)A，B的直線方程。

解：設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），

則點(diǎn)A，B都在直線上，

∴此直線為切點(diǎn)弦AB所在的直線方程。

【典型例題】過橢圓3x2+4y2=12上的點(diǎn)P（1，）作橢圓的切線，求這條切線方程。

二、雙曲線的切線問題

過雙曲線上一定點(diǎn)作雙曲線的切線方程與過雙曲線外的一點(diǎn)作雙曲線的兩條切線的切線弦。

1.過雙曲線上一定點(diǎn)作雙曲線的切線

例3：已知點(diǎn)P（x0，y0）是雙曲線上的一點(diǎn)，求過這點(diǎn)的切線方程。

解：當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為y=kx+m，

代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)整理得a2k2-m2-b2=0，

，

∴，即k=-，則m=-，

，即。

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程同樣滿足上式。

綜上所述，切線方程為。

2.過雙曲線外一點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)弦直線方程

例4：已知點(diǎn)P（x0，y0）是雙曲線外一點(diǎn)，過P作雙曲線的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求過兩切點(diǎn)A，B的直線方程。

解：設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），

點(diǎn)A，B都在直線上，

∴此直線為切點(diǎn)弦AB所在的直線方程。

三、拋物線的切線問題

過拋物線上一定點(diǎn)作拋物線的切線方程與過拋物線外的一點(diǎn)作拋物線的兩條切線的切線弦。

1.過拋物線上的一點(diǎn)作拋物線的切線

例5：已知點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p>0） 上的任意一點(diǎn)，求拋物線的切線方程。

解：過拋物線y2=2px（p>0） 上的一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為：y0y=p（x+x0）

同理可得，

過拋物線y2=-2px（p>0） 上的一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為：y0y=-p

（x+x0），

過拋物線x2=2py（p>0） 上的一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為：x0x=p（y+y0），

過拋物線x2=-2py（p>0） 上的一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為：x0x=-p

（y+y0）。

2.過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)弦直線方程

例6：已知點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p>0）外一點(diǎn)，過P作拋物線的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求過兩切點(diǎn)A，B的直線方程。

解：設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2）

則點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在直線y0y=p（x+x0）上，

∴此直線為切點(diǎn)弦AB所在的直線方程。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鐘建新，一道圓錐曲線問題的探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（8）：7-8.

[2]周偉林，圓錐曲線切點(diǎn)線的一個(gè)性質(zhì)[J].參考周刊，2007（3）：49-50.