對一類不等式恒成立問題的探討

馮太平

【摘 要】 含絕對值不等式的處理方式以及含參不等式恒成立問題是不等式問題中的難點，通過一個具體的問題產生的錯因進行剖析，對這兩類問題進行解法總結。

【關鍵詞】 絕對值不等式;含參不等式恒成立;錯因分析;兩類絕對值不等式解法總結

一、問題的提出

在高三一輪復習中，備課組老師交流提出了一個問題：

已知實數，不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍。

此題的解法很多，正確的結果是：或，但按下面的方法求解，結果卻不對，為什么？

解：∵且，∴，

進而有或。

化簡整理得：或，

又因為，

所以有或，

依題意 或。

二、錯因分析

上述解法主要涉及兩類問題的解決方法：

一是含絕對值不等式的處理方式。或，這是解絕對值不等式常用的手段。

二是含參不等式恒成立問題。將不等式中的參數分離出來，將問題變為恒成立（或恒成立），上述問題等價于（或）。

分離參數法是解決不等式恒成立問題非常有效的方法，這種方法可以回避分類討論。

上題中的解法主要用到了這兩種解法，看起來沒有什么問題，但仔細分析會發現其算法是有問題的，主要問題是變形過程不等價。

錯誤的本質分析如下：

從解集相等的角度來說：與或是等價的。

不論是正還是負，上述兩組不等式的解集都是相同的。

但是在去掉絕對值后，再分離參數，而后的處理方法本質上是要求對恒成立或對恒成立。這與或對恒成立是不等價的。這樣處理后是加強了條件，所以得出來的結果比實際結果范圍小。

對于這類問題，要對的正負進行討論，其本質是：如果不對的正負進行討論，那么不等式的解集和的解集是有可能有交集的;而當為正時，上述兩不等式是沒有交集的。當它們沒有交集時，或對恒成立和對恒成立或對恒成立是等價的。解法也就正確了。

三、對本題解法的修正

解：∵且 ，∴。

①當，即時，，所以有或x-a

對任意恒成立。

化簡整理得：或，又因為，

所以有或，

對任意恒成立。

依題意或。

又因為，所以。

②當，即時，，此時不等式對任意恒成立。故。

綜上得，或。

四、兩類絕對值不等式解法總結

1.對恒成立。

（1）當時，對恒成立或對恒成立對恒成立或對恒成立。

（2）當時，對恒成立。

2.對恒成立對恒成立對恒成立且對恒成立。

【參考文獻】

[1]楊學枝.不等式研究[M].西藏：西藏人民出版社，2000.

[2]胡曉芬.含參數不等式恒成立的解法[J].數學通訊，2005（20）：12.

[3]黃俊珍.關于含參不等式的探討[J].中學理科，2007（2）：16～19.