復變函數論中的解析函數教學探析

李曉焱

【摘要】在針對復變函數展開研究的過程中，較為關鍵的內容之一就是解析函數，其具備較為關鍵的性質且應用范圍較為廣泛.因此，在學習復變函數論的過程中，一定要針對解析函數的概念與性質展開全面了解.基于此，在本篇文章中先闡明了如何理解解析函數的定義與判別，進而針對復變函數論中的解析函數教學展開全面分析，旨在為相關人員提供參考依據.

【關鍵詞】復變函數論;解析函數教學;研究

【基金項目】雙解析函數與解析函數一些問題的研究與應用（2016CXY-12）.

在計算機、電子等專業課程中復變函數是必修課之一，主要是由高等數學發展而來，如今其已經逐漸變成高等數學的延續.其實復變函數和實變函數這兩者較為相似，但卻有著很多不同之處，這樣在學習時就會認為復變函數的內容會更加抽象，而且復變函數的教學時間遠比高等數學的教學時間短，這就會導致學生無法充分學習復變函數的相關知識.而在復變函數中，較為關鍵的內容就是針對解析函數展開研究，因此，在學習復變函數的過程中，一定要針對其中的解析函數教學展開全面探析.

一、理解解析函數的定義與判別

復變函數屬于一種定義一類復數集合到另一類復數集合的映射關系，而解析函數則是定義在某一復數領域中處處可微的復變函數.復變函數無論在某一點解析或某一復數集合內解析，都可以針對某一個區域內處處可微.因此，復變函數可微并不等價于函數解析，除非是在特定的區域內，但是從基礎上而言，復變函數與實變函數之間的可微性具備較大的區別.解析函數所對應的兩個二元實變函數屬于一個非獨立體，而在實際應用這類定義或定理的過程中，部分學生會將對復變函數定義的記憶轉變為定理，這時在實際運用的過程中就會出現較大的偏差，最終就會影響到實際解題的準確性，而這時教師就需要教授學生多種復變函數解題的定義與定理，并確保學生可以靈活運用這類定義與定理，從根本上確保學生可以靈活運用不同的方式判別函數的解析性，這也是研究解析函數的主要基礎[1].

二、解析函數的微分性質與積分性質

（一）解析函數的微分性質

一個解析函數不僅具備一階導數，同時其還包含了各個高階導數，這一特點與實變函數的特點之間存在著較大的不同之處.解析函數高階導數存在的證明，不能完全通過簡單的定義與定理來獲取，而是通過解析函數的積分性質來推算出解析函數的高階導數.通過解析函數的無窮次可微性可以進一步了解到二元函數u（x，y），v（x，y），這樣一來就可以更加有效地了解到解析函數的性質與特殊關系.u（x，y），v（x，y）所有一次偏導數會處處可微并且可以充分滿足柯西-黎曼方程，這時就可以得知u（x，y），v（x，y）之間均可以變化為調和函數.諸如此類，就可以在實際教學的過程中了解到更多關于u（x，y），v（x，y）的高階偏導數性質.而在理解解析函數的過程中可以充分運用解析函數具備高階導數的特點，這樣就可以得到更多的解題結論，例如，劉維爾定理、積分均值定理、代數學基本定理等.由此可見，解析函數具備著特殊的性質，同時其也可以成為解決諸多問題的有效方式，而在實際應用解析函數的過程中，可以充分激發出學生對學習函數知識的興趣與探索動力，這樣一來就可以有效提高函數知識在學生解題過程中的運用效率，最終為學生的學習以及學生的未來發展起到良好的推動作用.

三、解析函數的級數性質與保角性

（一）解析函數的級數性質

當復變函數處在某個圓域或圓環之內處處解析時，這時就需要該函數在圓域或圓環內的任意一點函數值，可以寫成以圓環為中心的級數形式.由于函數不同的解析性，相對應的級數形式主要包括泰勒級數與洛朗級數.在實際教學的過程中需要學生可以精準確定函數展開所對應的中心點，同時還需要確保學生對圓域或圓環有著全面的了解，并且使學生知道函數所在確定的圓域或圓環內可以實現處處解析.與此同時，在實際教學的過程中，需要確保學生可以掌握部分基本解析函數之間的級數形式，并且可以將這些級數形式套用在解決函數問題中.此外，在實際教學的過程中教師需要充分向學生教授如何收斂級數的部分基本性質，以便可以確保學生在面對這類函數問題時，可以將所學的基本性質套用在問題中.級數在函數中占據著極為重要的位置，是函數的主要因素，所以學生在掌握與理解這類內容之后，對其掌握解析函數而言有著極為重要的意義.

（二）解析函數的保角性

復變函數從幾何的角度而言，可以將其解釋為兩個復平面內中點數交集之間的變換，而通過解析函數所形成的變換性質也較為重要，例如，保角性.保角性：當函數在某一點解析時，通過該點的任意兩條曲線內的夾角，在其通過函數映射之后可以保持方向與大小不會發生變化.其在解決流體力學、彈性力學、電力學等學科內的實際問題時，屬于一種可以使問題簡化的有效方式.對理科學生而言，教師可以在教學的過程中讓學生自己預習這方面的知識點，而后在實際教學的過程中可以通過學生提問、教師解答的方式，來實現讓學生全面掌握這類知識的目的，最終為學生全面掌握并靈活運用這類知識提供良好的基礎保障[2].

四、結束語

綜上所述，在學生針對復變函數展開學習時，最為關鍵的一部分就在于，如何能夠使其深入了解解析函數，因此，在針對復變函數展開實際教學時，如果針對解析函數的應用與性質展開全面講解的話，不僅可以加深學生對復變函數的印象，還可以加強學生對解析函數的認知，最終為學生靈活運用解析函數定理提供良好的基礎保障.

【參考文獻】

[1]張瓊芬，封全喜，宋奇慶.信息與計算科學專業復變函數課程教學改革探索[J].教育教學論壇，2017（13）：91-92.

[2]李春龍，寶音特古斯.關于復變函數論教育教學改革的探討[J].內蒙古民族大學學報（自然蒙古文版），2017（2）：38-40.