多種積分類型的統一形式

陳實 陳小藝 傅勤

【摘要】積分是高等數學和數學分析課程中的重要問題，多種積分類型有著不同的表達形式.本文通過分析定積分、重積分、曲線積分和曲面積分中的典型例題，探究各類積分之間的關聯性，由此構建多種積分類型的統一形式.

【關鍵詞】高等數學;各類積分;統一形式

【基金項目】蘇州科技大學2018年大學生創新創業訓練計劃項目“《數學分析》課程內容的擴展、思索、問題研究”（2018199）.

積分是高等數學[1]和數學分析[2]課程中的重要內容，是學習常微分方程和概率論等數學課程的基礎，也是大學數學教與學的重點.根據積分區域維數的不同，積分有多種形式，具體而言，為定積分、二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分等.在學習過程中，重積分、曲線積分和曲面積分的概念容易混淆，計算也較為煩瑣，這激發了我們的思考：能否運用重積分、曲線積分和曲面積分之間的關聯性，構建出統一的積分形式，以有助于這方面知識點的教與學工作.

本文從空間維數角度出發，借助于一些約束條件的設置，著重分析重積分、曲線積分和曲面積分之間的關聯性，并由此構建這幾類積分的一種統一表達形式.

一、問題分析

積分是在極限條件下，某種數量無限分割的求和.一般來說，積分由積分號、積分區域、積分變量和被積函數構成，其中被積函數可以含有不同的自變量個數，積分區域也可以是不同維度的空間集合，甚至為沒有直觀幾何意義的高維空間集合.具體而言，積分可分為一維空間集合上的積分、二維空間集合上的積分、三維空間集合上的積分乃至n維空間集合上的積分，與之相對應的是定積分、曲線積分、二重積分、曲面積分、三重積分乃至n重積分.因此，研究重積分、曲線積分和曲面積分之間的關聯性，也就是研究不同空間維數的積分之間的關聯性.

假設積分為∫Ωf（x）dΩ，其中Ω為積分區域，x為積分區域空間中對應的向量.

當Ω為一維空間中的區域時，積分是∫baf（x）dx，即為定積分.

當Ω為二維空間中的區域時，有兩種情形：① 確為二維問題：積分為∫Ωf（x，y）dxdy，即為二重積分;② 形式上為二維問題，實質上為一維問題，以第一類曲線積分為例，設L為平面上可求長度的曲線段，f（x，y）為定義在L上的函數，考慮L上的曲線積分∫Lf（x，y）ds，因為（x，y）在曲線段L上，所以滿足曲線方程y=y（x），a≤x≤b，此時曲線積分∫Lf（x，y）ds可化為

∫baf（x，y（x））1+（y′（x））2dx，

由此二維空間區域上的積分借助于約束條件化為了一維空間區域上的積分.

當Ω為三維空間中的區域時，有三種情形：① 確為三維問題：積分為∫Ωf（x，y，z）dxdydz，即為三重積分;② 形式上為三維問題，實質上為一維問題，以第一類曲線積分為例，設L為空間上可求長度的曲線段，f（x，y，z）為定義在L上的函數，考慮L上的曲線積分∫Lf（x，y，z）ds，因為（x，y，z）在曲線段L上，所以滿足曲線方程

F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0， a≤x≤b，

可從中解出y=y（x），z=z（x），

此時曲線積分∫Lf（x，y，z）ds可化為

∫baf（x，y（x），z（x））1+（y′（x））2+（z′（x））2dx，

由此三維空間區域上的積分借助于約束條件化為了一維空間區域上的積分;③ 形式上為三維問題，實質上為二維問題，以第一類曲面積分為例，設S是空間中可求面積的曲面，f（x，y，z）為定義在S上的函數，考慮S上的曲面積分Sf（x，y，z）ds，因為（x，y，z）在曲面S上，所以滿足曲面方程z=z（x，y），（x，y）∈D，此時曲面積分

Sf（x，y，z）ds，

可化為

Df（x，y，z（x，y））1+（zx（x，y））2+（zy（x，y））2dxdy，

由此三維空間區域上的積分借助于約束條件化為了一維空間區域上的積分.

綜上所述可知，二維空間區域上的積分借助于一個約束條件，可化為一維空間區域上的積分;三維空間區域上的積分借助于兩個約束條件，可化為一維空間區域上的積分，而三維空間區域上的積分借助于一個約束條件，可化為二

維空間上的積分，由此我們得知，高維空間上的積分可通過約束條件變成低維空間上的積分.將這樣的思維方式運用到n維空間區域上的積分上，就能得到本文的主要結論，即多種積分類型的統一形式.

二、主要結論

假設積分為∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ，其中Ω為n維空間中的積分區域，

設置約束條件為

g1（x1，x2，…，xn）=0，g2（x1，x2，…，xn）=0，…gn-m（x1，x2，…，xn）=0.

當n=m時，即無約束條件，此時

∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ

為n重積分;

當m=1時，即約束條件為

g1（x1，x2，…，xn）=0，g2（x1，x2，…，xn）=0，…gn-1（x1，x2，…，xn）=0，

此時∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ

為曲線積分;

當2≤m≤n-1時，此時

∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ

為m維的曲面積分.

三、結?語

本文通過研究重積分、曲線積分和曲面積分之間的關聯性，構建多種積分類型的統一形式，從而能夠將各類積分問題統一化、簡單化，也有助于在學習過程中，學生對積分問題內容的理解.此外，這種使多類問題統一化、簡單化的思維模式還能擴展應用于數學教學過程中的其他方面.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.