關于一個三元變系數歐拉函數方程的正整數解

張明麗， 高 麗

(延安大學數學與計算機科學學院， 陜西 延安 716000)

對于任意的正整數n，Euler函數φ(n)定義為在序列1 ， 2 ， … ，n-1中與n互素的整數的個數.Euler函數是數論中一個重要的函數，倍受學者們的關注.文獻[1]提出了關于它的一些重要性質以及與它相關的不定方程的正整數解問題.在所有的數論函數中，歐拉函數是一類重要的積性函數，即對任意的正整數m，n，當m和n互素時，有φ(mn)=φ(m)φ(n).近期，文獻[1-10]分別討論了當k=2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 12時，歐拉方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性問題；文獻[11-13]分別討論了當k=3 ， 4 ， 5時，三元歐拉函數方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整數解；對于二元變系數歐拉函數方程φ(ab)=mφ(a)+nφ(b)，張四保[14]討論了當m=5，n=7 時的可解性問題， 白繼文[15]討論了當m=7，n=9 時的可解性問題.本文基于楊張媛[16]的關于三元變系數歐拉函數方程φ(abc)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)的全部正整數解和袁和才[17]的關于三元變系數歐拉函數方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)的全部正整數解，以一組較為特殊的勾股數作為系數，研究三元變系歐拉函數方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)的可解性問題，利用初等方法給出了該方程的所有40組正整數解.

1 引理

引理2[17]對于任意的正整數m與n，有

其中d=(m，n)，表示m與n的最大公約數．

顯然，若(m，n)=1，則有

φ(mn)=φ(m)φ(n)．

引理3[17]當1≤n≤2時，有φ(n)=1；當n≥3時，有φ(n)

引理4[17]在歐拉函數方程φ(abc)=k+lφ(c)中，若

φ(ab)≥k+l+1，

則該方程無正整數解．

證明因為

(k+1)φ(c)≥k+1，

因此φ(abc)=k+lφ(c)不成立．

2 主要結論及其證明

定理1三元變系歐拉函數方程

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)

共有下述40組正整數解：

(a，b，c)=(3，8，4)，(4，8，3)，(3，10，4)，(4，10，3)，(4，5，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(3，16，3)，(3，20，3)，(3，15，4)，(4，15，3)，(7，1，23)，(9，1，23)，(7，1，46)，(7，2，23)，(14，1，23)，(9，1，46)，(9，2，23)，(18，1，23)，(15，1，12)，(39，1，5)，(52，1，5)，(56，1，5)，(35，1，8)，(39，1，8)，(72，1，5)，(45，1，8)，(78，1，5)，(39，1，10)，(39，2，5)，(84，1，5)，(35，1，12)，(7，3，3)，(9，3，4)，(9，4，3)，(7，3，6)，(7，6，3)，(14，3，3)，(19，3，4)，(19，4，3)．

證明對于歐拉函數方程

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c).

(1)

由引理2得

(2)

由引理3有

3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)=

φ(abc)≥φ(a)φ(b)φ(c)，

即

3φ(a)+4φ(b)≥(φ(a)φ(b)-5)φ(c)≥

φ(a)φ(b)-5.

對于上述不等式在φ(a)φ(b)-5<0時的情況進行討論：當φ(a)φ(b)-5<0時，即φ(a)φ(b)<5，有如下幾種情況：

1)當φ(a)=1時，φ(b)=1 ， 2 ， 4；

2)當φ(a)=2時，φ(b)=1 ， 2；

3)當φ(a)=4時，φ(b)=1；經檢驗此情況不成立(由引理3和引理4可證)，故有

(φ(a)-4)(φ(b)-3)≤17.

(3)

下面根據φ(a)，φ(b)的不同取值分19種情況進行討論．

情形1：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)<0時，則有φ(a)=1 ， 2，φ(b)≥4或者φ(a)≥6，φ(b)=1 ， 2．

Ⅰ 當φ(a)=1，φ(b)≥4時，此時φ(abc)=3+4φ(b)+5φ(c)，又由引理3可知，當φ(c)≥2時，φ(abc)為奇數，所以只考慮φ(c)=1的情況，即φ(abc)=8+4φ(b)≥φ(b)，此時由不等式推得φ(b)任意，與φ(b)≥4矛盾，故此時式(1)無解．

Ⅱ 當φ(a)=2，φ(b)≥4時，有

6+4φ(b)+5φ(c)=φ(abc)≥φ(b)φ(c)，

即(φ(b)-5)(φ(c)-4)≤26．

1) 當φ(a)=2，φ(b)=4時，φ(c)任意取值，此時式(1)為：

此時φ(c)-2≤5，即φ(c)=1 ， 2 ， 4 ， 6．

當φ(c)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=27，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=32，即abc=51，64，68，80，96，102，120，又a=c=3，4，6，b=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)的解為(a，b，c)=(3，8，4)，(4，8，3)，(3，10，4)，(4，10，3)，(4，5，4)，(4，5，6)，(6，5，4)．

當φ(c)=4時，φ(abc)=42，即abc=43，49，86，98，又a=3，4，6，b=c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=6時，φ(abc)=52，即abc=53，106，又a=3，4，6，b=5，8，10，12，c=7，9，14，18，經檢驗此時式(1)無解．

2)當φ(a)=2，φ(b)=6時，此時φ(c)-2≤2，即φ(c)=1，2，4．

當φ(c)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=35，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=40，即abc=41，55，75，82，88，100，110，132，150，又a=c=3，4，6，b=7，9，14，18，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=50，故此時式(1)無解．

3)當φ(a)=2，φ(b)=8時，此時φ(c)-2≤1，即φ(c)=1，2．

當φ(c)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=43，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=48，即abc=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210，又a=c=3，4，6，b=15，16，20，24，30，經檢驗此時式(1)的解為(a，b，c)=(3，16，3)，(3，20，3)，(3，15，4)，(4，15，3)．

4)當φ(a)=2，φ(b)=10時，此時φ(c)-2≤1，即φ(c)=1，2．

當φ(c)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=51，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=56，即abc=87，116，174，又a=c=3，4，6，b=11，22，經檢驗此時式(1)無解．

5)當φ(a)=2，φ(b)≥12時，此時φ(c)-2≤0，即φ(c)=1，2．

當φ(a)=2，φ(c)=1時，代入式(1)有φ(abc)=11+4φ(b)，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(a)=2，φ(c)=2時，φ(abc)=16+4φ(b)≥4φ(b)，此時可得φ(b)任意，與φ(b)≥12的前提條件矛盾，故此時式(1)無解．

Ⅲ 當φ(b)=1，φ(a)≥6時，有

4+3φ(a)+5φ(c)=φ(abc)≥φ(a)φ(c)，

即(φ(a)-5)(φ(c)-3)≤19．

1)當φ(b)=1，φ(a)=6時，有22+5φ(c)=φ(abc)≥6φ(c)，即φ(c)-3≤19．

當φ(c)=1時，φ(abc)=27，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=32，即abc=51，64，68，80，96，102，120，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=3，4，6，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=42，即abc=43，49，86，98，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=6時，φ(abc)=52，即abc=53，106，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=7，9，14，18，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=8時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=62，故此時式(1)無解．

當φ(c)=10時，φ(abc)=72，即abc=73，91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=11，22，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=12時，φ(abc)=82，即abc=83，166，a=7，9，14，18，b=1，2，c=13，21，26，28，36，42，故此時式(1)無解．

當φ(c)=16時，φ(abc)=102，即abc=103，206，a=7，9，14，18，b=1，2，c=17，32，34，40，48，60，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=18時，φ(abc)=112，即abc=113，145，226，232，290，348，a=7，9，14，18，b=1，2，c=19，27，38，54，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=20時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=122，故此時式(1)無解．

當φ(c)=22時，φ(abc)=132，即abc=161，201，207，268，322，402，414，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=23，46，經檢驗此時式(1)有解為(a，b，c)=(7，1，23)，(9，1，23)，(7，1，46)，(7，2，23)，(14，1，23)，(9，1，46)，(9，2，23)，(18，1，23)．

2)當φ(b)=1，φ(a)=8時，有28+5φ(c)=φ(abc)≥8φ(c)，即φ(c)-3≤6．

當φ(c)=1時，φ(abc)=33，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=38，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=48，即abc=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210，又a=15，16，20，24，30，b=1，2，c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)有解為(a，b，c)=(15，1，12)．

當φ(c)=6時，φ(abc)=58，即abc=59，118，又a=15，16，20，24，30，b=1，2，c=7，9，14，18，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=8時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=68，故此時式(1)無解．

3)當φ(b)=1，φ(a)=10時，有34+5φ(c)=φ(abc)≥10φ(c)，即φ(c)-3≤3．

當φ(c)=1時，φ(abc)=39，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=44，即abc=69，92，138，又a=11，22，b=1，2，c=3，4，6，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=54，即abc=81，162，又a=11，22，b=1，2，c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=6時，φ(abc)=64，即abc=85，128，136，160，170，192，204，240，又a=11，22，b=1，2，c=7，9，14，18，經檢驗此時式(1)無解．

4)當φ(b)=1，φ(a)=12時，有40+5φ(c)=φ(abc)≥12φ(c)，即φ(c)-3≤2．

當φ(c)=1時，φ(abc)=45，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=50，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=60，即abc=61，77，93，99，122，124，154，186，198，又a=13，21，26，28，36，42，b=1，2，c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)無解．

5)當φ(b)=1，φ(a)=16時，有52+5φ(c)=φ(abc)≥16φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=57，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在在這樣的a，b，c使得φ(abc)=62，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=72，即abc=73，91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，又a=17，32，34，40，48，60，b=1，2，c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)無解．

6)當φ(b)=1，φ(a)=18時，有58+5φ(c)=φ(abc)≥18φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=63，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=68，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=78，即abc=79，158，又a=19，27，38，54，b=1，2，c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)無解．

7)當φ(b)=1，φ(a)=20時，有64+5φ(c)=φ(abc)≥20φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=69，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=74，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=84，即abc=129，147，172，196，258，294，又a=25，33，44，50，66，b=1，2，c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)無解．

8)當φ(b)=1，φ(a)=22時，有70+5φ(c)=φ(abc)≥22φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=75，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=80，即abc=123，164，165，176，200，220，246，264，300，330，又a=23，46，b=1，2，c=3，4，6，經檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=90，故此時式(1)無解．

9)當φ(b)=1，φ(a)=24時，有76+5φ(c)=φ(abc)≥24φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=81，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=86，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=96，即abc=97，119，153，194，195，208，224，238，260，280，288，306，312，336，360，390，420，又a=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，b=1，2，c=5，8，10，12，經檢驗此時式(1)的解為(a，b，c)=(39，1，5)，(52，1，5)，(56，1，5)，(35，1，8)，(39，1，8)，(72，1，5)，(45，1，8)，(78，1，5)，(39，1，10)，(39，2，5)，(84，1，5)，(35，1，12)．

10)當φ(b)=1，φ(a)≥26時，則φ(c)-3≤0．

當φ(c)=1時，φ(abc)=9+3φ(a)，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=14+3φ(a)≥2φ(a)，經檢驗此時式(1)無解．

Ⅳ 當φ(b)=2，φ(a)≥6時，此時8+3φ(a)+5φ(c)=φ(abc)≥2φ(a)φ(c)．

1)當φ(b)=2，φ(a)=6時，有φ(abc)=26+5φ(c)≥12φ(c)，即φ(c)-1≤2．

當φ(c)=1時，φ(abc)=31，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=36，即abc=37，57，63，74，76，108，114，126，又a=7，9，14，18，b=3，4，6，c=3，4，6，經檢驗此時式(1)的解為(a，b，c)=(7，3，3)，(9，3，4)，(9，4，3)，(7，3，6)，(7，6，3)，(14，3，3)．

2)當φ(b)=2，φ(a)=8時，φ(abc)=32+5φ(c)≥16φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=37，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=42，即abc=43，49，86，98，又a=15，16，20，24，30，b=c=3，4，6，經檢驗此時式(1)無解．

3)當φ(b)=2，φ(a)=10時，φ(abc)=38+5φ(c)≥20φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=43，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=48，即abc=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210，又a=11，22，b=c=3，4，6，經檢驗此時式(1)無解．

4)當φ(b)=2，φ(a)=12時，φ(abc)=44+5φ(c)≥24φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=49，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=54，即abc=81，162，又a=13，21，26，28，36，42，b=c=3，4，6，經檢驗此時式(1)無解．

5)當φ(b)=2，φ(a)=16時，φ(abc)=56+5φ(c)≥32φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=61，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=66，即abc=67，134，又a=17，32，34，40，48，60，b=c=3，4，6，經檢驗此時式(1)無解．

6)當φ(b)=2，φ(a)=18時，φ(abc)=62+5φ(c)≥36φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=67，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=72，即abc=73，91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，又a=19，27，38，54，b=c=3，4，6，經檢驗此時式(1)有解為(a，b，c)=(19，3，4)，(19，4，3)．

7)當φ(b)=2，φ(a)≥20時，有φ(c)-1≤0．

當φ(c)=1時，φ(abc)=13+3φ(a)，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

情形2：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=0時，則有φ(b)=3，φ(a)任意取值，或者φ(a)=4，φ(b)任意取值．

Ⅰ由于φ(b)=3(不存在)，故此時式(1)無解．

Ⅱ當φ(a)=4，φ(b)任意取值時，有φ(abc)=12+4φ(b)+5φ(c)≥4φ(b)φ(c)．

當φ(c)=1時，φ(abc)=17+4φ(b)，即φ(abc)為奇數，此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=22+4φ(b)≥8φ(b)，即φ(b)=1，2，4．

1)當φ(b)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=26，故此時式(1)無解．

2)當φ(b)=2時，φ(abc)=30，即abc=31，62，又a=5，8，10，12，b=3，4，6，c=3，4，6，經檢驗此時式(1)無解．

3)當φ(b)=4時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=38，故此時式(1)無解．

4)當φ(b)≥6時，不等式φ(abc)=22+4φ(b)≥8φ(b)推出φ(b)≤4，不存在這樣的a，b，c可使得φ(b)≤4與φ(b)≥6同時成立，故此時式(1)無解．

情形3：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=1時，則有φ(a)=5，φ(b)=4；或者φ(a)=3，φ(b)=2，由于φ(a)=3與φ(a)=5(由引理3，上述三種情況均無解，舍去)，故此時式(1)無解．

情形4：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=2時，則有φ(a)=6，φ(b)=4；或者φ(a)=5，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=3，φ(b)=1(同上，舍去)；或者φ(a)=2，φ(b)=2．

現考慮φ(a)=6，φ(b)=4的情況，則有φ(abc)=34+5φ(c)≥24φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=39，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(a)=2，φ(b)=2時，則有φ(abc)=14+5φ(c)≥4φ(c)，即φ(c)任意，經檢驗此時式(1)無解．

情形5：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=3時，則有φ(a)=7，φ(b)=4(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=6(同上，舍去)；或者φ(a)=1，φ(b)=2．

當φ(a)=1，φ(b)=2時，φ(abc)=11+5φ(c)，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

情形6：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=4時，則有φ(a)=8，φ(b)=4；或者φ(a)=6，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=7(同上，舍去)；或者φ(a)=2，φ(b)=1．

現考慮φ(a)=8，φ(b)=4的情況，則有φ(abc)=40+5φ(c)≥32φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=45，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(a)=2，φ(b)=1時，φ(abc)=10+5φ(c)≥2φ(c)，即φ(c)任意，經檢驗此時式(1)無解．

情形7：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=5時，則有φ(a)=9，φ(b)=4(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=8(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形8：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=6時，則有φ(a)=5，φ(b)=9(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=6；或者φ(a)=7，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=10，φ(b)=4；或者φ(a)=1，φ(b)=1．

當φ(a)=6，φ(b)=6時，則有φ(abc)=42+5φ(c)≥36φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=47，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(a)=10，φ(b)=4時，則有φ(abc)=46+5φ(c)≥40φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=51，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(a)=1，φ(b)=1時，φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

情形9：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=7時，則有φ(a)=11，φ(b)=4(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=10(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形10：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=8時，則有φ(a)=5，φ(b)=11(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=7(同上，舍去)；或者φ(a)=8，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=12，φ(b)=4．

當φ(a)=12，φ(b)=4時，則有φ(abc)=52+5φ(c)≥48φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=57，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

情形11：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=9時，則有φ(a)=5，φ(b)=12(同上，舍去)；或者φ(a)=7，φ(b)=6(同上，舍去)；或者φ(a)=13，φ(b)=4(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形12：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=10時，則有φ(a)=5，φ(b)=13(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=8；或者φ(a)=9，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=14，φ(b)=4(由于不存在這樣的a使得φ(a)=14，舍去)．

當φ(a)=6，φ(b)=8時，則有φ(abc)=50+5φ(c)≥48φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=55，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

情形13：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=11時，則有φ(a)=15，φ(b)=4(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=14(由于不存在這樣的b使得φ(b)=14，舍去)，故此時式(1)無解．

情形14：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=12時，則有φ(a)=5，φ(b)=15(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=9(同上，舍去)；或者φ(a)=7，φ(b)=7(同上，舍去)；或者φ(a)=8，φ(b)=6；或者φ(a)=10，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=16，φ(b)=4．

當φ(a)=8，φ(b)=6時，則有φ(abc)=48+5φ(c)≥48φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=53，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(a)=16，φ(b)=4時，則有φ(abc)=64+5φ(c)≥64φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=69，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

情形15：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=13時，則有φ(a)=5，φ(b)=16(同上，舍去)；或者φ(a)=17，φ(b)=4(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形16：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=14時，則有φ(a)=5，φ(b)=17(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=10；或者φ(a)=11，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=18，φ(b)=4．

當φ(a)=6，φ(b)=10時，則有φ(abc)=58+5φ(c)≥60φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=63，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

當φ(a)=18，φ(b)=4時，則有φ(abc)=70+5φ(c)≥72φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=75，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

情形17：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=15時，則有φ(a)=5，φ(b)=18(同上，舍去)；或者φ(a)=7，φ(b)=8(同上，舍去)；或者φ(a)=9，φ(b)=6(同上，舍去)；或者φ(a)=19，φ(b)=4(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形18：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=16時，則有φ(a)=5，φ(b)=19(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=11(同上，舍去)；或者φ(a)=8，φ(b)=7(同上，舍去)；或者φ(a)=12，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=20，φ(b)=4．

當φ(a)=20，φ(b)=4時，則有φ(abc)=76+5φ(c)≥80φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=81，即φ(abc)為奇數，故此時式(1)無解．

情形19：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=17時，則有φ(a)=5，φ(b)=20(同上，舍去)；或者φ(a)=21，φ(b)=4(同上，舍去)，故此時式(1)無解.對以上解進行歸納即得本文結論．