一種新的多渦卷混沌模型在圖像加密中的應用

劉 嵩， 韋亞萍， 劉靜漪， 張國平

(1.華中師范大學物理科學與技術學院， 武漢 430070；2.湖北民族大學新材料與機電工程學院， 湖北 恩施 445000)

混沌是非線性動力系統的一種運動形式，描述了確定性非線性系統中的復雜現象.自Lorenz于1963年首次在確定性方程中發現混沌現象以來，學者們對混沌系統展開了廣泛深入的研究，其理論已廣泛的應用于生物醫學、信息科學、氣象學、圖像處理、天文學、經濟學等領域[1-3]．

混沌系統具有遍歷性、有界性、對初始條件敏感等特征，非常符合數字圖像加密的需求，引起了圖像加密領域研究者的密切關注[4-5].文獻[6]改進了Logistic混沌，采用擴散-置亂-擴散的方法對圖像進行加密，降低了有限精度效應，提高了密鑰空間.文獻[7]生成了四維多翼超混沌吸引子，采用混合加密方法，消除了確定的明文密文映射關系.文獻[8]分析了AES算法在處理大尺寸圖像時效率不高，需要增加額外的計算時間.文獻[9]設計了一種基于塊加密認證的圖像加密算法.文獻[10]首先置亂明文圖像的像素，然后通過混沌映射得到偽隨機序列，再利用得到的偽隨機序列與置亂圖像進行異或操作實現像素擴散，最后通過S-Box進行像素灰度值替換得到密文圖像，取得了較好的加密效果.文獻[11]提出一種彩色圖像加密方案，首先將彩色圖像的3個分量合成為一個灰度圖像，然后對圖像像素分別進行行置亂和列置亂，實現圖像加密．

采用軌跡簡單的混沌系統組成的密碼直接加密明文，能夠相對較容易的被破解.與單渦卷混沌系統或者雙渦卷混沌系統相比，多渦卷混沌系統控制參數更多，相應的密鑰參數也就更多，而且在相空間中能呈現出復雜的多方向分布的網格狀渦卷，渦卷的數量和形狀等性能也可以由系統的參數來控制調整，因此具有更加復雜的動力學行為[12-15]，更有利于圖像加密.鑒于此，本文從研究5階線性系統出發，通過引入分段線性函數構造一個多渦卷混沌系統，將該混沌系統應用于一種新的“置亂+擴散”加密算法，獲得了較為優越的加密效果．

1 一種新的多渦卷混沌系統的構建

首先構建一個新的5階線性系統，該系統的雅克比矩陣為滿秩，保證系統唯一的平衡點屬于指標2的鞍焦平衡點[16].新的五階線性系統描述為：

(1)

基于線性系統(1)，引入分段線性函數構建多渦卷混沌系統:

(2)

其中，fi(xi)是分段線性函數，為簡便起見，選擇階躍函數構建分段線性函數，其表達式如式(3)和(4)，其中式(3)可以擴展的渦卷數目為 2Ni+2，式(4)可以拓展的渦卷數目為2Mi+1．

sgn(xi+2nAi)]，

(3)

sgn(xi+(2n-1)Ai)].

(4)

如選擇Ai=1，Mi=1，即

fi(xi)=sgn(xi-1)+sgn(xi+1).

(5)

系統可以在每一維空間方向上擴展3個渦卷，在MATLAB上的數值仿真如圖1所示．

圖1 五階系統的相圖Fig.1 Phase diagram of five-dimensional chaotic system

2 系統的基本動力學分析

2.1 系統的對稱性與耗散性

從系統(2)可以看出，系統滿足(x，y，z，w，u)→(-x，-y，-z，-w，-u)，因此該系統是關于坐標原點對稱，從而為擴展多渦卷吸引子提供了可能.由于

(6)

所以系統(2)是耗散的，且以指數形式收斂，其運動軌跡被固定在一個吸引子上， 也說明混沌吸引子是存在的[17-18]．

2.2 平衡點

(7)

2.3 Lyapunov指數和維數

選擇適當的初值，利用Wolf算法可以計算系統(2)的5個Lyapunov指數如下：

L1=0.1815，L2=0.1671，L3=-0.2208，

L4=-0.2212，L5=-0.5622，

系統有2個Lyapunov指數大于0，由此說明系統(2)是一個超混沌系統[19]．

系統(2)的維數計算如下.

圖2 指標2的鞍焦平衡點分布Fig.2 The saddle-focus equilibrium distribution of index 2

(8)

因此，系統(2) 的Lyapunov維數為分數維數，也驗證了系統(2)為混沌[20]．

3 多渦卷混沌系統在圖像加密中的應用

3.1 圖像加密原理

混沌系統具有初值敏感性和不可預測性，是其能夠應用于圖像加密的根本原因.采用系統(2)構造的多渦卷混沌系統，用于圖像加密的方案原理如圖3所示．

圖3 圖像加密的方案原理圖Fig.3 Schematic diagram of image encryption scheme

本加密算法采用的密鑰為key={x0y0z0w0u0}，主要步驟如下：

Step1: 讀入待加密圖像P，設圖像大小為：M×N；

Step2: 錄入混沌系統參數值和初值，通過迭代生成5個混沌序列x，y，z，w，u；

Step3: 利用公式(9)從x序列中截取10個M長的混沌序列row[10，M]，用于圖像行置亂.利用公式(10)從y序列中截取10個N長的混沌序列column[10，N]，用于圖像列置亂.舍去前10 000個元素以消除混沌序列的暫態效應；

row(i，∶)=x(i*1000+

10001∶i*1000+10000+M)，

(9)

column(i，∶)=y(i*1000+

10001∶i*1000+10000+N).

(10)

Step4: 按照式(11)將矩陣row(i，∶)按從小到大的順序進行排序，得到一個位置序列L1，通過式(12)對圖像P進行行置亂，得到圖像P1；

[y1，L1]=sort(row(i，∶))，

(11)

P1(j，∶)=P(L1(j)，∶).

(12)

Step5: 同理，將矩陣column(i，∶)按從小到大的順序進行排序，得到一個位置序列L2，通過式L2對圖像P1進行列置亂，得到圖像P2；

Step6: 重復Step4和Step5，依次對圖像進行行置亂和列置亂，經過10輪得到置亂圖像P3；

Step7: 通過式(13)、(14)首先提取z(10000+1，10000+M×N)、w(10000+1，10000+M×N)兩個偽隨機序列元素中小數點后第9～12位的二進制數字，再將提取的兩個二進制數求模后加1，得到兩個隨機整數序列，最后將兩個隨機整數序列轉換成M×N的矩陣

K1={k1(i，j)}，K2={k2(i，j)}；

K1=reshape(mod(mod(floor(z(10000+1∶10000+M×N)*1012)，1000)，M)+1，M，N)，

(13)

K2=reshape(mod(mod(floor(w(10000+1∶10000+M×N)*1012)，1000)，M)+1，M，N)，

(14)

Step8: 通過式(15)取u(10000+1，10000+M×N)元素中小數點后9～12位數字，對256求模，得到一個0～255的隨機整數序列，將其轉換成M×N的矩陣K3；

K3=reshape(mod(mod(floor(u(10000+1:10000+M×N)*1012)，1000)，M)+1，M，N).

(15)

Step9: 通過式(16)對圖像P3進行像素值擴散，得到加密圖像．

P3(i，j)=bitxor(bitxor(P3(i，j)，K3(i，j))，

P3(k1(i，j)，k2(i，j))).

(16)

當k1(i，j)=i且k2(i，j)=j時，式(16)修正為式(17)：

P3(i，j)=bitxor(P3(i，j)，K3(i，j)).

(17)

3.2 算法仿真結果

分別選取256×256的Lena、pepper和bridge灰度圖作為初始實驗圖像，實驗結果如圖4所示，說明本算法可以完成圖像的加密和解密操作．

圖4 圖像的加密結果仿真Fig.4 Image encryption simulation results

3.3 密匙空間分析

該算法密匙由5個狀態變量的初值組成，假設計算機存儲精度為10-15，則該算法的密匙空間為1015×1015×1015×1015×1015=1075.如果增加系統參數密匙，算法密匙空間將變得更大，也就具有更強的抵抗窮舉暴力攻擊的能力．

3.4 灰度直方圖分析

直方圖反映了數字圖像像素的各個灰度級與其出現概率的關系，直方圖分布越均勻，圖像數據越隨機，加密效果越好[21].圖5給出了明文圖像和密文圖像的灰度直方圖，從圖5可以看出，經過加密運算，圖像的灰度均勻性明顯優于原始明文圖像，且密文的像素值在整個像素取值范圍內出現的概率趨于均等，有效地掩蓋了明文圖像像素值的分布情況，給攻擊者利用統計分析方法破解密文圖像增加了難度．

圖5 原始圖像和加密圖像灰度值直方圖Fig.5 Histogram of gray value of original image and encrypted image

3.5 相鄰像素的相關系數

圖像加密的目標之一就是減少圖像相鄰像素的相關性，使相關系數趨于 0.為了評估加密圖像相鄰像素的相關性，在3幅實驗圖像的明文圖像和密文圖像上分別隨機選取1 000個像素，計算相關系數

(18)

其中，cov(x，y)、D(x)、E(x)分別為協方差、方差和均值：

(19)

圖6是Lena原圖和加密圖像在水平、垂直和對角線三個方向的相關性.表1給出明文圖像和密文圖像在水平方向、垂直方向和對角線方向的相關系數.從圖6可以看出明文圖像相鄰像素在水平方向、垂直方向和對角線方向上的相關性極強，而密文圖像相鄰像素在3個方向上相關性已經非常小，對應的相關系數非常接近0，說明明文圖像的統計特性已很好地擴散到密文圖像中．

表1 原始圖像與密文圖像相關系數的比較

圖6 Lena圖像相鄰像素相關性對比Fig.6 Correlation comparison of adjacent Lena pixels

3.6 密匙敏感性

密匙敏感性包括加密敏感性和解密敏感性，加密敏感性是用來表征在加密解密過程中，如果將加密密匙的某個參數值引入微弱的擾動，得到的密文圖像與原密文圖像的差異程度，解密敏感性是用來表征在解密同一密文圖像時，對密匙引入微弱擾動，得到的解密圖像與原明文圖像的差異程度.如果差異顯著，說明該算法具有較好的敏感性.像素變化比率(NPCR)和歸一化平均變化程度(UACI)可以用來評價算法的加密敏感性[22-23]，其計算方法如下:

(20)

其中，M，N為圖像大小，C1(i，j)，C2(i，j)為兩個密文圖像，NPCR和UACI的理想值為99.6094%和33.4635%.為評估該算法的加密敏感性，在圖像加密過程中，分別對五個初值加以微弱擾動，相應的測試結果如表2所示.從表2可以看出在加密過程中，計算得到密文圖像的NPCR和UACI均接近理想值，證明了該算法在加密過程中具有良好的敏感性．

表2 密文圖像密匙敏感性

在解密過程中，采用同樣的辦法對密匙加以擾動，相應的測試結果如圖7所示，從圖7可以看出：加入擾動后該算法不能正確解出原始圖像，同樣說明了該算法具有良好的解密敏感性．

圖7 解密密匙敏感性測試(解密圖像)Fig.7 Sensitivity test for decryption key (decryption image)

3.7 信息熵

圖像信息熵也可以反映圖像灰度值的分布，一般來說，圖像的灰度值分布越均勻，其信息熵就越大[24].其計算方法如下:

(21)

其中，L為像素的灰度級，p(xi)為灰度值xi出現的概率.表3給出了明文圖像和密文圖像的信息熵，從表3可以看出密文圖像的信息熵與理論值(8)非常接近.表4給出了本算法的信息熵與現有圖像加密方案得到的信息熵對比，從表4可以看出本算法的密文信息熵優于其他文獻，說明本算法具有更好的加密效果．

表3 明文圖像與密文圖像信息熵對比表

表4 信息熵對比分析表

3.8 抗剪裁分析

以Lena圖像為例，對密文圖像進行剪裁，即將其中部分像素值置成0.表5給出了經部分裁剪后的密文圖像及其對應的解密圖像.從表5可以看出密文圖像經過不同程度的裁剪后解密，得到的密文圖像雖然存在噪聲，但并不影響圖像的整體識別，說明本算法對圖像各點置亂均勻，雖然剪切了一定面積的加密圖像，解密后的圖像都基本能辨清其輪廓.因為有置亂操作，被剪切的解密圖像能均勻分散在整個圖像上，因此該算法可以抵抗剪切和噪聲污染的攻擊．

表5 剪裁的密文圖像及解密圖像

4 結論

本文設計了一種5階多渦卷混沌系統，分析了系統的基本動力學特性，包括平衡點、Lyapunov指數、Lyapunov維數等.同時將該系統應用于所提出的圖像加密算法，并對加密系統進行了數值仿真，仿真結果驗證了算法的有效性，因此，本文提出的數字圖像加密系統在信息安全領域有潛在的應用價值．