多孔介質球向滲流的滲透率分形模型

王世芳，吳 濤，夏 坤

(1.湖北第二師范學院物理與機電工程學院， 武漢 430205;2.光學信息與模式識別湖北省重點實驗室， 武漢工程大學數理學院， 武漢 430205)

流體在多孔介質球向滲流問題廣泛存在于諸如油氣藏工程、地下水資源的合理利用、地熱的開發與利用、生物體組織與器官等實際應用工程領域，越來越多地引起了廣大科研工作者的關注.滲透率是表征流體在多孔介質中輸運特性的重要參數之一，該參數對于油田、地下水資源等工程應用領域有重大的研究意義.目前有諸多文獻利用分形理論的方法研究了流體在多孔介質中的流動特性，取得了一定的研究進展[1-6].員美娟[7]基于毛細管模型，研究了牛頓流體在分形多孔介質中的平面徑向流和平面平行流，分別得出了平面徑向流和平面平行流的流量、流速及滲透率的表達式.張斌等人[8]基于平行毛細管模型研究了冪律流體在多孔介質中平面平行流的流動特性，提出了冪律流體平面平行流的滲透率模型.徐鵬等人[9]利用蒙特卡羅數值模擬的方法研究了牛頓流體在多孔介質中流向井中心的徑向流滲透率模型，并通過與滲透率解析模型比較從而驗證數值模型的正確性.截止目前，雖然人們對流體在多孔介質輸運特性的研究取得了較大進展，但是上述文獻主要研究的是各種流體在多孔介質中的平面平行流和平面徑向流時的流動特性，對于流體在多孔介質中球向滲流的研究卻不多.苗同軍等人[10]利用分形理論研究了考慮毛細壓強效應影響后多孔介質球向滲流的相對滲透率，得到相對滲透率是飽和度、濕相與非濕相分形維數、多孔介質的微結構參數和毛細壓強的函數.然而，苗同軍的模型認為多孔介質是由一束平行的圓形毛細管組成，沒有考慮毛細管的截面形狀.在自然界中大部分多孔介質孔隙形狀多樣化，存在著圓形毛細管、矩形毛細管、三角形毛細管甚至非規則形狀的毛細管.本文主要工作是基于分形理論，提出牛頓流體在由任意形狀毛細管組成的多孔介質中球向滲流的滲透率分形模型.

1 多孔介質球向滲流的滲透率的分形模型的提出

三維多孔介質的球向滲流廣泛存在于油氣藏儲集層，當油氣藏儲集層只打開很小一部分層段時，流動區域存在沿球面徑向流動情況，即流體從外向井筒中心流動，如圖1所示.其中r為儲層中的某點到井中心的徑向距離，r0為井筒半徑.

圖1 多孔介質的球向滲流示意圖[10]Fig.1 The sketch of spherical seepage in porous media[10]

假設多孔介質孔隙分布服從分形分布特征，孔隙的累積數與其大小的分布滿足以下的標度關系[1-2]：

(1)

其中,λ為孔隙半徑，λmax為最大孔隙半徑，Df為孔隙分形維數；一般來說，在二維中0

對(1)式兩邊微分，得到λ到λ+dλ區間的孔隙數目：

(2)

當-dN>0時，則表明孔隙毛細管數目隨孔隙尺寸的增大而減少.

多孔介質孔隙總面積為：

(3)

根據孔隙率的定義，一個代表性單元面積為：

(4)

由哈根-泊松方程可以得到牛頓流體通過水力直徑為Dh、橫截面為任意形狀單根毛細管的體積流量為[11]：

(5)

其中,c1是形狀因子.對于圓形毛細管c1=1；正方形截面的毛細管c1=1.43；三角形截面的毛細管c1=1.98.Dh為水力直徑，其大小由下式給出：

(6)

式中,A，C為流動橫截面積和濕周長.對于橫截面積為非圓形毛細管，假設其等效毛細管直徑λ與水力直徑Dh成正比，于是將(5)式重新改寫，可則得到任意形狀毛細管的廣義Hagen-Poiseuille方程[11]：

(7)

式中，α為毛細管形狀因子，根據方程(7)，可以確定其值大小：圓形橫截面的毛細管α=1；正方形橫截面的毛細管α=1.09；三角形橫截面的毛細管α=1.19.

由于流體在多孔介質中流動的流線是彎彎曲曲的，所以實際毛細管長度rt大于或等于其直線距離長度r，它們之間滿足如下關系[1-3]：

rt=rDTλ1-DT.

(8)

DT是迂曲度分形維數，一般來說其值大于1.大量文獻表明多孔介質中毛細管大小分布滿足分形標度律，因此，通過橫截面面積為Ar=4πr2的球面多孔介質的總流量可以通過下面積分式得到[10]：

(9)

將方程(7)和(8)代入(9)式中可得：

(10)

(11)

根據流體球面徑向流動的達西定律：

(12)

聯立(11)式和(12)式，可以得到球面徑向滲透率的表達式：

(13)

(13)式表明牛頓流體在各向同性多孔介質球向流動時，其滲透率不僅與多孔介質微結構參數(A0，Df，λmax，DT，α)有關，還與徑向距離r有關，徑向距離越大，滲透率越小.這是因為隨著徑向距離增大，毛細管占多孔介質橫截面的比例越少，導致流動阻力越來越大，最終導致滲透率越來越小.滲透率解析模型(13)式不含任何經驗常數，每個參數都有具體的物理意義，能夠揭示影響牛頓流體球向滲透率的物理機理，物理意義清晰明確.

當r→r0時，(13)式可以改寫成：

(14)

(14)式表示在井筒壁處多孔介質的球向滲透率.為了得到無量綱化球向滲透率表達式，將(13)式與(14)式相除，得到無量綱滲透率：

(15)

2 結果分析與討論

通過對式(13)的分析，可以發現球向滲透率是關于α，Df，DT,λmax，A0以及徑向距離r的函數，其中A0為代表性單元橫截面積的大小，與所選取的多孔介質樣品的大小無關，其大小由(4)給出.而孔隙面積分形維數可以由下式確定[1-4]：

(16)

最大孔隙直徑為[12]：

(17)

為了驗證本文所提出的球向滲透率模型的正確性，將無量綱滲透率模型(15)式與文獻中已有模型作比較.Chang和Yortsos[13]給出了徑向流動無量綱滲流模型：

(18)

其中,Df代表分形維數，θ為分形網絡的譜指數，反映了多孔介質的反常傳導性，其值越大，網絡的連通性越差，θ的大小一般可以通過蒙特卡洛模擬等數值模擬方法來確定；DE為歐氏空間維數，這里DE=3.

根據方程(13)作出了球向滲透率隨徑向距離r的變化趨勢，如圖2(a)和2(b)所示.這里需要說明一點的是，圖2(a)與圖2(b)分別采用正方形橫截面和三角形橫截面毛細管.從圖2(a)和圖2(b)可以看出，球向滲透率隨徑向距離的增加而逐漸減小，這與物理實際情況一致.另外，也可以發現：球向滲透率隨分形維數的增加而增加，即在同一徑向半徑r處，分形維數越大球向滲透率越大，這也是與實際情況相吻合.因為分形維數越大，說明毛細管所占的份額越大，越有利于流體流動，因此滲透率也就越大.

圖2 滲透率隨徑向距離的變化趨勢Fig.2 The radial permeability for spherical seepage in porous media versus the radial distance

圖3顯示了在井筒壁處半徑r0=0.1 m，距離井中心r=5 m處，牛頓流體在由不同橫截面毛細管組成的多孔介質中滲流時，球向滲透率隨孔隙率的變化.從該圖中可以看出，球向滲透率隨孔隙率的增加而增加.從該圖可以看出，在相同的孔隙率下，由圓形毛細管構成的多孔介質球向滲透率最小，三角形毛細管構成的多孔介質球向滲透率最大，這個結論也可從(12)式得出.

圖3 球向有效滲透率隨孔隙率的變化Fig.3 The radial permeability for spherical seepage in porous media versus the porosity

圖4表明了球向滲透率與迂曲度分形維數之間的變化關系.從圖4中可以看出迂曲度分形維數越大，球向滲透率越小.這是因為迂曲度分形維數越大，說明流體流動路徑越彎曲，流體所受的流動阻力越大，導致滲透率越小.

為了驗證本模型的正確性，圖5顯示了無量綱球向滲透率模型(15)與已有無量綱球徑向滲透率式(18)隨徑向距離變化趨勢.方程(15)中迂曲度分形維數DT=1.2，而Chang和Yortsos[13]給出了徑向流動無量綱滲流模型中分形維數Df由方程(16)確定，θ譜指數設為1.784[14].從圖5中可以看出：無量綱球向滲透率隨徑向距離的增加先急劇減小然后緩慢減小最后逐漸趨近于0；本文提出的無量綱滲透率模型與文獻Chang和Yortsos的理論模型吻合的很好，驗證了多孔介質球向滲透率模型的正確性.

圖4 徑向滲透率在不同迂曲度分形維數下隨孔隙率的變化趨勢(參數如下：r0=0.1 m，r=5 m，α=1.09)Fig.4 The radial permeability for spherical seepage in porous media versus the porosity at different tortuosity fractal dimensions at r0=0.1 m,r=5 m and α=1.09.

圖5 無量綱滲透率模型與Chang和Yortsos模型的比較 (Φ=0.18)Fig.5 Comparison of the present radial permeability model for spherical seepage in porous media and Chang and Yortsos’s model at Φ=0.18

3 結論

本文根據分形理論和達西定律，推導了牛頓流體在多孔介質球面徑向流動時球向滲透率分形模型.研究結果表明，徑向滲透率是分形維數、 孔隙度、 毛細管最小及最大直徑、毛細管形狀因子的函數，該模型不含經驗常數，并且每個參數都有明確的物理意義，揭示了影響球向滲透率的物理機制.通過分析表明球向滲透率隨孔隙面積分形維數和孔隙度的增加而增加；隨迂曲度分形維數的增加而減小；隨徑向距離r增加而減少的.這也與實際情況相符合.為了驗證該模型的正確性，比較現有模型與已有文獻給出的模型，發現兩者吻合很好，驗證了本文球向滲透率分形模型的正確性.