一類脈沖隨機泛函微分方程的分布穩定性分析

梁青

(海南師范大學數學與統計學院, 海南 海口 571158)

1 引言

隨機泛函微分方程的穩定性問題一直是許多學者關注的焦點, 已獲得很多好的結論[1?3].關于隨機泛函微分方程的穩定性, 許多文獻考慮的是方程解的依概率穩定、指數穩定或幾乎必然穩定.但事實上, 從任意初始狀態開始, 充分長時間后, 方程解可能收斂于一個隨機變量,即依分布穩定.換句話說, 無論系統的初始狀態是什么, 長時間后系統將處于平衡狀態, 此狀態用不變測度來刻畫.Hu 和Wang 在文獻[4]中討論了帶Markov 切換的中立型隨機泛函微分方程的依分布穩定性; Bao 等在文獻[5]中討論了帶Markov 切換的中立型隨機延遲微分方程的依分布穩定性.另一方面, 脈沖效應是自然界的普遍現象, 關于脈沖隨機泛函微分方程的穩定性已有許多好的成果.Pan 和Cao 在文獻[6]中研究了有限延時的脈沖隨機泛函微分方程的p 階矩指數穩定性和幾乎必然指數穩定性; Zhu 在文獻[7]中研究了帶Markov切換的脈沖隨機泛函微分方程的p 階矩指數穩定性; Kao, Zhu 和Qi 在文獻[8]中研究了帶Markov 切換的脈沖隨機泛函微分方程的p 階矩指數穩定性、幾乎必然指數穩定性和p 階矩指數不穩定性, 并指出了該方程可被脈沖指數穩定化的條件; 在文獻[9]中, Li 進一步討論了隨機泛函微分方程的穩定性問題, 通過利用方程的比較原理等技巧, 放寬了對擴散算子的限制, 引入方程系數的積分平均值和平均脈沖區間, 得到了新的Lyapunov 穩定性標準; 在文獻[10]和[11]中, Hu 和Zhu 提出了帶有依賴于分布延時的脈沖效應的隨機泛函微分方程和脈沖隨機延遲微分方程的Razumikhin 穩定性定理, 該穩定性標準的特點是Razumikhin 函數的導數是不確定的, 且對方程參數的限制進一步弱化.但是, 關于脈沖隨機泛函微分方程的分布穩定性的工作很少.本文從一個脈沖隨機泛函微分方程出發, 利用弱收斂方法、伊藤公式和隨機分析技巧, 給出了該方程依分布穩定的充分條件, 從而恰到好處地填補了這一空白.

2 準備工作

設(?,F,{Ft}t≥0,P) 是一個完備的帶流的概率空間, {Ft}t≥0是滿足通常條件的流.本文中所有的隨機變量和隨機過程都定義在這個概率空間上. Rn為n 維歐氏空間, 定義內積和范數分別為:若A 是矩陣, 則其跡范數為其中 AT表示 A 的轉置. B(t)=(B1(t),B2(t),··· ,Bm(t))T是 m 維標準布朗運動.設 τ >0, PC([?τ,0];Rn)={? :[?τ,0]→ Rn|?(t+) 和 ?(t?) 存在, 且 ?(t?)= ?(t)},這里 ?(t+),?(t?) 分別表示函數 ?(t) 在 t 處的右極限和左極限.

考慮以下脈沖隨機泛函微分方程

其中 ξ ∈ M, M 是 PC([?τ,0];Rn) 的有界子集且 ξ 是 F0可測的.方程 (2.1) 的解 x(t) 記作是脈沖時刻,表示 xξ(t) 在 tk處的跳躍幅度.f :PC([?τ,0];Rn)× R+→ Rn, g :PC([?τ,0];Rn)× R+→ Rn×m, Ik:R+× Rn→ Rn.

假設f, g 和Ik滿足一定的條件, 比如Lipschitz 條件和線性增長條件, 即存在三個正的常數K1,K2,K3, 使得

(i) 對任意正數 t 和 φ,ψ ∈ PC([?τ,0];Rn), 有 |f(φ,t)?f(ψ,t)|∨ |g(φ,t)?g(ψ,t)|≤

(ii) 對任意正數 t 和 φ ∈ PC([?τ,0];Rn), 有 |f(φ,t)|∨ |g(φ,t)|≤ K2(1+

(iii) 對任意正數 t, 自然數 k 和 x,y ∈ Rn, 有 |Ik(t,x)? Ik(t,y)|≤ K3|x ? y |.

在這些條件下, 方程 (2.1) 存在唯一解 xξ(t),t ≥ 0,xξ(t) 在 (tk,tk+1) 上連續, 在 tk處左連續且存在右極限[6?9], f(0,t)≡ 0,g(0,t)≡ 0,Ik(t,0)≡ 0,k =1,2,···, 這蘊含 xξ(t)≡ 0 是(2.1) 的一個平凡解. f, g 和Ik滿足以下條件.

存在常數λ1> λ2>0,λ3>0 及[?τ,0]上的概率測度μ,對任意的?,ψ ∈ PC([?τ,0];Rn)和 t ≥ 0, 有

其中 L = {h : PC([?τ,0];Rn)× [0,+∞) → R,|h(ξ,ω)? h(η,ω)| ≤1,ξ,η ∈ PC([?τ,0];Rn),w ∈ [0,+∞)}.

下面先給出方程(2.1) 依分布穩定的定義.

定義1[12,14]隨機過程是分布穩定的是指存在一個概率測度π ∈P(L), 使得當t → +∞ 時,P(ξ,t,·)弱收斂于π,即對任意的ξ ∈ PC([?τ,0];Rn),有0, 此時也稱方程(2.1) 依分布穩定.

3 主要結果

為了證明本文的主要結果, 先給出以下引理.

引理1假設(2.2) 和(2.3) 式成立, 對任意的ξ ∈M, 有

證對任意的 δ1>0, t>0, ttk, k =0,1,2,···, 用伊藤公式, 有

把式(3.5) 代入式(3.4), 并且用式(3.1), 得

當 t ∈ (t1,t2]時, 注意到 xξ(t) 在 (tk?1,tk) 內連續, 在 tk處左連續有右極限, k = 1,2,3,···,用式(2.2), 得

用類似得到式(3.5) 的方法, 有

由式 (3.1) 和 (3.6), 得

把式 (3.8) 和 (3.9) 代入式 (3.7), 得當 t ∈ (t1,t2]時, 有

重復以上步驟, 注意到 0< α <1, 對 n=2,3,4,··· , 當 t ∈ (tn,tn+1]時, 有

如果 δ1? λ1+ λ2eδ1τ<0, 則此時

顯然式(3.12) 對t ∈(t1,t2]也成立.下面對任意自然數n, 限制t ∈(tn,tn+1], 分兩種情況討論.

(1) n<(N1+1)N2.此時

(2) n ≥ (N1+1)N2.對滿足 K ≥ (N1+1)N2的自然數 k, 因 tN1≤ τ < tN1+1, 故tk? tN1+1< tk? τ ≤ tk? tN1, 而 tk? tN1+1> tk? (N1+1)B2≥ tk? (N1+1)N2B1>tk?(N1+1)N2, 所以

無論哪種情況, 都有

顯然, (3.14) 式對 t ∈ [t0,t1]也成立, 故 (3.14) 式對 t ∈ [0,+∞) 成立, 利用 Gronwall 不等式,得

其中 C2,k是正的常數, k =0,1,2···, 由式 (3.17) 和 (3.18) 得

再由式(3.1), (3.16) 和(3.19), 得

對任意的t>0, 存在非負整數n0, 使得tn0

(1) n0≥(N1+1)N2.

由式 (3.16), (3.20) 和 (3.21) 得

其中C3>0 是常數.

(2) N1

(3) n0≤N1.

以下給出本文的主要結果.

定理1假設引理1 的條件都滿足, 則方程(2.1) 依分布穩定.

證設是方程(2.1) 滿足初始條件x0=η 的解, 其中η ∈M.由引理1,

由文獻 [12]的引理 2.4, P(t,ξ,·)t≥0是 P(L) 中的 Cauchy 列, 故存在唯一概率測度π(·)∈ P(L), 使得 dL(P(t,0,·),π(·))→ +∞,t → +∞. 所以

即 t → +∞ 時, 概率測度 P(t,ξ,·)t≥0弱收斂于 π(·), 故方程 (2.1) 依分布穩定.

4 示例

下面舉例說明第3 節中結論的正確性.考慮以下一維脈沖隨機泛函微分方程

其中 x0= ξ,ξ ∈ M, 這里 a,b 是常數, 且與前兩節一樣,假設式 (4.1) 有唯一解, 設為 xξ(t), 且式 (3.1) 成立.這時

設 B1=B2> τ,N1=0,N2=1,B3=1, 取則式 (3.2) 和 (3.3) 成立, 而

即式(2.2) 和(2.3) 成立.由定理1 知方程(4.1) 依分布穩定.