利用不等式來處理的幾類函數問題

◇ 山東 郝云靜

不等式是中學數學的重點內容之一,不等式具有變通靈活、應用廣泛、知識綜合等特點,它可以滲透到中學數學很多章節的內容中,又是學習高等數學的基礎和重要工具,所以它一直是各級各類考試中考查的重點和熱點.下面就結合實例剖析利用不等式知識來處理的幾類常見的函數問題.

1 求解函數的定義域與值域

在求解函數的定義域與值域時,往往需結合函數中相應式子所滿足的條件,建立對應的不等式(組)來分析與求解.

分析定義域的實質是使函數有意義的x 的取值范圍,而求值域要在定義域的前提下考慮函數式的取值情況.

解要使函數有意義,則5＋4x－x2≥0,即(x＋1)(x－5)≤0,解得－1≤x≤5,故函數的定義域為[－1,5].

2 求解函數的最值問題

函數的最值是函數在定義域內對應的函數值中的最大值和最小值.在求解函數的最值問題時,往往通過基本不等式來達到求解最值的目的.

分析從函數解析式的結構來看,它與基本不等式結構相差太大,直接利用基本不等式求最值不易求得答案.事實上,我們可以把分母視作一個整體,用它來表示分子,原式即可展開.

解令t＝x2＋1,則t≥1,且x2＝t－1,因為而t≥1,所以,當且僅當t＝, 即t＝1時,等號成立.

綜上,當x＝0時,函數取得最小值3.

3 求解函數的參數范圍

在求解函數的參數范圍時,往往根據題目條件,通過函數的根與系數的關系、判別式等建立相應的不等式(組)來求解相應的參數問題.

分析題中沒有說明給定函數為二次函數,故應分別討論函數為“一次函數”或“二次函數”這兩種情況,再根據函數與不等式、方程的關系等,求解不等式(組).

解當k2＋4k－5＝0時,解得k＝－5或1,若k＝－5,則y＝24x＋3,對任意實數x,函數值不恒大于0；若k＝1,則y＝3,對任意實數x,函數值恒大于0.

當k2＋4k－5≠0時,由于y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3對于任意的實數x 函數值恒大于0,則有即

解得1＜k＜19.

綜上,實數k 的取值范圍為[1,19).