高等代數中多項式理論的教學實踐與思考

鄧凱，王小剛，朱立軍

（1. 北方民族大學 數學與信息科學學院，寧夏 銀川 750021；2. 寧夏科學計算與智能信息處理協(xié)同創(chuàng)新中心，寧夏 銀川 750021）

高等代數是大學一年級數學類相關專業(yè)的一門學科基礎課，對學生后續(xù)的課程學習和專業(yè)發(fā)展有著重要影響．高等代數的教學內容主要包括多項式理論與線性代數2部分，其中多項式的研究起源于一元多項式的求根問題，是早期代數學研究的主要對象．北方民族大學選用的教材是北京大學數學系編著的《高等代數》（第4版）[1]，考慮到多項式在線性代數部分有諸多應用，教學計劃安排先學習多項式理論，主要包括一元多項式的定義與運算、帶余除法、因式分解理論、多項式函數與根等內容．中學時期多項式的學習主要涉及二次方程的求根和二次函數的分析性質等方面，學習內容具體，注重解題技巧的訓練．高等代數中多項式理論是中學代數的繼續(xù)提高和升華，注重討論一般性的結果，內容抽象，不僅要求掌握具體的解題技巧，具備一定的運算能力，更重要的是培養(yǎng)邏輯推理能力、抽象分析能力和創(chuàng)新能力，學習難度大、要求高．教師對剛入學的新生沒有全面了解，教學方式和方法不容易把握，加之一年級新生缺乏學習經驗，導致教學過程中學生反映難學、教師反映難教．這些實際問題促使我們對多項式理論的教學進行研討，以教學實踐為基礎，探索普遍適用的教學方式與方法，以期提高教學質量，為學生的后續(xù)學習和專業(yè)發(fā)展夯實基礎．本文從培養(yǎng)學生自學習慣，激發(fā)學習興趣，提高教學效率，加強數學思維訓練和信息技術輔助教學等5個方面展開討論．

1 培養(yǎng)學生自學習慣

高等代數課程的突出特點是理論知識多、內容抽象，除了課堂學習之外，還需要花費課余時間完成學習任務，這就要求學生要自主學習．高等代數教材每個章節(jié)的內容信息量大，章節(jié)之間聯(lián)系緊密，知識抽象，具有一定難度，初學者往往容易產生挫敗感，課程初期就會有部分學生產生畏難情緒，影響后續(xù)知識的學習．因此，課程一開始就要引導學生學會自學，盡快地了解學習內容，掌握學習方法．閱讀教材是自學的基本環(huán)節(jié)[2]，可以此為抓手，培養(yǎng)學生的自主學習能力．

以一般多項式的求根問題為主線，在課程伊始就結合教材對知識框架做一個完整的介紹，雖然一些概念和定義學生之前并不清楚，但是這樣做的主要目的是讓學生熟悉教材，了解要學習的內容，為閱讀教材打好基礎．在具體的學習實踐中，要求學生課前要預習，課中要提問，課后要總結，利用這種模式逐步地形成“學教材”到“用教材學”的轉變．高等代數知識高度抽象的特點，使得初學者難以在短時間內理解和掌握所學知識，課前預習的目的是通過閱讀教材了解課程主要內容，熟悉基本概念、定理和符號，記錄疑惑或問題，為課堂學習做好準備．根據實際教學情況，教師要制定預習提綱，為學生自學教材提供幫助和指導．如一開始就要求學生閱讀教材附錄二中關于整數的可除性理論的介紹，整數作為具體而熟悉的對象容易被學生掌握，為后面類比學習多項式環(huán)上的整除性理論做好了鋪墊，也使學生感受到了類比學習是一種有效的數學學習方法．鼓勵學生在課堂上隨時向教師提問，通過這種方式高效地解決問題，消除學生的疑惑，在課堂教學中起到以點帶面的作用，有利于形成良好的課堂氛圍，提升學生學習的主動性．課后要做好學習總結，總結不是教條地再看幾遍教材，而是要結合課堂學習成果，厘清概念和定理的來龍去脈，加深對相關內容的理解，凝練知識，建立自己的認知體系，養(yǎng)成主動學習的習慣．教師通過課堂表現、提問、小測驗、談話和學習小結等多種形式了解學生自學的情況，并將自學情況作為平時成績的觀測點，促進學生自學習慣的養(yǎng)成．

2 激發(fā)學生學習興趣

興趣是對學習內容的一種力求認識的傾向，伴有積極的情感色彩，是學生獲得成功的關鍵[3]．如果說專業(yè)設置要求必修高等代數課程是學生學習的外因，那么興趣就是學習的內因．教學實踐表明，許多一年級新生仍處于應對考試的被動學習狀態(tài)，加之多項式的學習內容抽象、計算繁冗，容易導致學生失去學習興趣．如何激發(fā)學生的學習興趣一直是教學研究的熱點[4-5]，興趣的培養(yǎng)不是一蹴而就的，數學學習興趣的培養(yǎng)是多個方面共同作用、動態(tài)發(fā)展的過程．

為激發(fā)學生的學習興趣，在教學實踐中應注重以下幾點做法：（1）強調高等代數作為學科基礎課對后續(xù)學習及專業(yè)發(fā)展的重要影響，從客觀上要求學生重視高等代數的學習；（2）通過介紹學習經驗和課程特點，指出自主學習是大學學習的有效方式，舉例說明高等代數是中學代數的拓展和抽象，有一定難度，需要經過個人堅持不懈地努力才能理解和掌握，從主觀上促使學生端正學習態(tài)度；（3）教學實踐中教師要善于觀察學生的學習狀態(tài)，及時做好思想教育工作，加強課堂管理，改善學生的學習態(tài)度，自然就提升了學習興趣，在教學中往往會產生事半功倍的效果；（4）教學活動中要注意師生平等，教師應該成為陪伴學生學習的朋友，通過對學生的關心和幫助建立融洽的師生關系，營造良好的學習氛圍，使學生在學習過程中產生積極的情感，有利于增強學習興趣；（5）通過做好新舊知識的銜接，闡述概念的來龍去脈，揭示概念、定理的本質含義，穿插數學趣聞等方式吸引學生積極參與課堂教學；（6）通過舉例展示高等代數中特殊抽象為一般，再由一般解決特殊的實踐過程，讓學生感受到高等代數的抽象特征及其廣泛應用，在升華認知的同時激發(fā)學習興趣；（7）在高等代數實驗課中利用數學軟件演示帶余除法、求解最大公因式和多項式近似求根等問題，增強課程的實踐性和趣味性．

3 提高教學效率

多項式理論部分內容豐富、計算繁冗、抽象性高，優(yōu)化課堂教學是提升教學效率的有效途徑，學生的學習準備和教師的教學準備是優(yōu)化課堂的2個重要方面．學生應按照教師要求的預習提綱做好課堂學習準備，并將這一過程納入到課業(yè)評價中以保證完成質量．教學過程是一個動態(tài)發(fā)展的過程，教師的教學設計要靈活，要能夠結合課堂實際優(yōu)化教學．在最大公因式概念的教學中，在學生自學的基礎上可以先直接提問什么是2個多項式的最大公因式，借以了解學生是否已經熟悉概念，再根據實際情況引出定義．如果一上課就直接在黑板上寫出定義，不但缺失了師生互動，而且給學生一種刻板的印象，導致學生沒有興致參與課堂教學．中學階段學習過因式的概念，一般來說學生都能夠自學掌握最大公因式的基本定義，教師要察覺到這種課堂動態(tài)，不必要再花費時間咬文嚼字地去解釋定義，需要強調的是“最大”依賴于整除關系，是一種偏序．2個次數不小于1的多項式的情形學生也容易理解，難點在于對有零多項式和零次多項式這2種退化情形的認識．可以分別討論0與f(x)，a（a≠0）與f(x)的情形，以加深對最大公因式的理解，特別是有意識地例舉2個整數的情況．如多數學生知道16與24的最大公因式是8，這個答案是正確的，但卻是基于整數環(huán)上的理解，而多項式環(huán)上最大公因式的討論是基于數域上的討論，這是本質的差異，弄清楚這一點就容易理解任意一個非零數都是16與24的最大公因式，而且首1最大公因式（16，24）=1，這說明16與24是互素的．這樣的實例顛覆了學生之前在整數環(huán)上的認識，強烈的反差能使學生留下深刻的印象，加深了對概念的理解．這樣的教學設計避免了重復講解，抓住了關鍵，能夠吸引學生，提高教學效率．

4 加強數學思維方式訓練

高等代數課程的基礎性也表現在它是訓練數學思維方式很好的載體，通過學習可以提升邏輯推理能力、抽象分析能力和創(chuàng)新能力等基本素質，不僅對專業(yè)學習有幫助，而且對個人的發(fā)展十分有益．數學的思維方式是一個全過程：抓住客觀現象主要特征，抽象出概念；提出要研究的問題，運用舉例、直覺、歸納、類比、聯(lián)想和邏輯推理等進行探索，猜測可能有的規(guī)律；經過深入分析，只使用公理、定義和已經證明了的結論進行邏輯推理來嚴密論證，揭示出事物的內在規(guī)律，從而使紛繁復雜的現象變得井然有序[6]．從二次多項式和三次多項式抽象引出一般多項式的定義是常用的教學方法，但是要注意2個方面，一是多項式系數抽象到數域上討論，二是多項式是一種抽象的形式定義，包括運算也是如此．這樣學生不僅能體會到數學從具體到抽象的發(fā)展過程，而且從較高層次對中學的知識有了新的理解．由此學生自然也容易通過類比和聯(lián)想等方式將具體的問題推廣到一般情形，如一般多項式求根問題，基本的解決辦法是以帶余除法為基礎的代數方法和以余數定理為基礎的函數方法．教學過程中要用板書的形式嚴格證明帶余除法定理和余數定理，訓練學生的數學思維，加深其對基礎知識的理解．在掌握了帶余除法定理和余數定理之后，繼而討論因式分解問題，通過分析、推理和論證揭示出復系數多項式和實系數多項式的標準分解形式．有理系數多項式作為具體情形，既與復系數和實系數多項式的處理方式有聯(lián)系，又因其不可約多項式的復雜性需要新的思考，教學中要抓住本原多項式這個關鍵[7]，建立有理系數多項式與整系數多項式之間的聯(lián)系，從而引出求根定理．

雖然多項式求根問題是一條教學主線，但是高等代數課程并沒有過多涉及多項式求根方法．教學中應指出多項式求根的問題還遠沒有解決，但是伽羅瓦徹底解決了一元n次方程是否可用根式求解的問題，由此創(chuàng)立了伽羅瓦理論，引領代數學由研究方程的根為中心轉變?yōu)橐匝芯扛鞣N代數系統(tǒng)的結構及其態(tài)射為中心，開辟了新的代數學科．這樣的說明有承前啟后的作用，既解決了學生的疑惑，又為后續(xù)的代數學習做了鋪墊．另外，習題課上要注重解題思路分析，引導學生使用公理、定義和已經證明了的結論進行邏輯推理來嚴密論證，最終揭示規(guī)律或答案，以此達到訓練數學思維的目的．

5 利用信息技術輔助教學

現代教育信息技術與數學教育的有機融合產生了“互聯(lián)網+數學教育”[8]，利用網絡和多媒體技術輔助高等代數教學也是大勢所趨[9-10]．多項式的內容抽象，注重理論分析和邏輯推理，學習難度大，以講授為主的傳統(tǒng)教學模式在課時限制和大班教學的現實情況下不利于因材施教和拓展學習，應該積極探索以網絡和多媒體技術為基礎的現代化教學手段輔助教學，加強個性化教學，提升學習層次．

多項式的定義與運算雖然教學內容多，但難度不大．高等代數精品課共享資源、視頻公開課、慕課等豐富的網絡資源提供了優(yōu)質的課程素材，教師通過QQ群等網絡交流平臺將整理好的學習資料發(fā)送給學生，以問題為導向，要求學生預先自學．課堂上利用翻轉課堂的形式分組討論，教師作為組織者和引導者，注意補充和糾錯，引導學生深刻認識多項式抽象的形式定義，理解變量符號的廣泛代表性，通過乘法結合律的證明反饋運算性質的學習情況，特別是對連加符號的掌握情況．最后，指出多項式及其運算構成了一個抽象的代數結構多項式環(huán)，結合整數環(huán)和多項式環(huán)這2個具體實例，進一步抽象提出環(huán)的概念，課后可以發(fā)布一些有關環(huán)的基礎代數知識供學生參考學習，既加深了學生對多項式環(huán)的理解又提升了其對抽象代數的認識．還有一個自然的問題就是多項式環(huán)上為什么沒有定義除法，引發(fā)學生討論，為后續(xù)學習做好鋪墊．為了將教學環(huán)節(jié)有效地拓展到課外，學生參與網絡學習和討論的情況應該納入到課程評價考核體系中，督促全體學生積極參與．教學實踐表明，這種以學生為主體的個性化學習方式確實有一定的效果，提高了教學效率．

理論性較強的部分不適合網絡自學，如帶余除法定理、最大公因式的存在性及組合表示、因式分解理論等．這些內容的學習通常需要通過板書一步一步地講解，引導學生同步進入抽象分析和邏輯推導的情境，體會數學思維的全過程，最終形成自己的認知和理解．但是這種教學模式也有局限性，為了提高課堂效率，教學設計常常是為了引導學生發(fā)現后續(xù)的一些結果或者是一些正確的結論，學生在課堂上總是順利地獲得知識．這樣的過程實際上是回避了學習探索中的失敗體驗，是由教師主導的總是向著正確結果發(fā)展的學習過程，這對學生獨立解決問題十分不利．因此，經常會出現學生課堂聽得懂，卻不會做習題，尤其是證明題，不會解決問題往往導致學生失去信心，從而喪失學習興趣．為解決此類教學問題，課后可以通過網絡發(fā)布一些與課程內容緊密相關的問題，提供必要的參考資料，由學生通過自我探索解決問題．如帶余除法中商式和余式是唯一的，那么2個多項式的首1最大公因式的組合是否唯一問題；多項式的整除關系不因數域的擴大而改變，但是數域的變化卻影響因子分解，分析思考，提出哪些多項式的性質是基于數域不變的．教材中沒有討論這些問題，限于課時課堂教學中往往也不涉及這些問題，可利用網絡引導學生討論，以課外實踐性作業(yè)的形式，由學生自己去探索答案．通過鉆研這些問題，不僅開闊了學生的視野，加深了對知識的理解，而且對培養(yǎng)科研創(chuàng)新能力十分有益，提升了學習層次．

6 結語

本文結合教學實踐，對高等代數課程中多項式理論的教學展開研討，探索有效的教學方式，提升教學質量．從培養(yǎng)學生自學習慣入手，采用多種方式激發(fā)學生學習興趣，在此基礎上通過優(yōu)化教學設計提高教學效率，遵循數學學科一般規(guī)律，注重數學思維訓練，利用信息技術加強個性化教學，提高學習層次．實踐表明，這種教學方式是有效的，在一定程度上提升了教學質量，也可以推廣到其它基礎數學課程的教學中．