Logistic方程混沌周期點與精度研究

宋大華 宋大全 章慧鳴

摘 要：Logistic方程存在不動點和短周期現象，為了研究Logistic方程在軌道中的特點，選取初始狀態值為0.75進行迭代，方程在控制參數值等于4時，存在著不動點.本文對不動點附近的短周期軌道進行混沌周期研究，目標是揭示不動點與短周期之間的關系，通過研究不動點附近軌道的規律深入研究混沌軌道的特性.實驗結果表明，在低精度時，初始狀態值為0.75處存在著短周期現象;高精度迭代也存在短周期現象.

關鍵詞：Logistic方程;不動點;短周期;精度

[中圖分類號]TP399 ? [文獻標志碼]A

Abstract：Logistic equation has the phenomenon of the fixed point and the short period. In order to study the property of Logistic equation in trajectories the initial status value of 0.75 is selected for the iteration. When the value of the control parameter is equal 4 in Logistic equation， there is a fixed point. This paper introduces the research of chaotic period with short periodic orbits near the fixed point. The goal is to reveal the relationship between the fixed point and the short period. Regularity of the orbit near the fixed point makes a profound study on the property of chaotic trajectories. Experimental results show that there is the short period at the initial status value of 0.75 with low precision. Besides， the situation of the short period exists with high precision in Logistic equation.

Key words：logistic equation; fixed point; short period; precision

Logistic方程是典型的混沌動力學方程.在混沌動力學理論研究領域，當Logistic方程的軌道在連續的實數域中隨著時間變化時，Logistic方程展現了自身復雜的變化，特別是其非周期、不可預測的以及具有良好的隨機性特點.Logistic方程在連續實數域的真實軌道中所表現出的現象和特點被計算機模擬實現后，由于計算機中運算使用離散的數值表示軌道的變化，因此導致一些在真實軌道中的特性退化現象.

計算機中數值模擬的Logistic方程軌道存在二個部分，一部分是具有真實軌道特點的過渡軌道.隨著計算機的有限計算精度的限制，最終Logistic方程的軌道在離散化的計算下進入循環軌道，在這個部分，軌道的變化出現有規律的重疊.現有的文獻中，對于計算機模擬下軌道的研究從理論上還沒有統一的結論——因為沒有任何一臺計算機能夠提供無限的精度來模擬計算Logistic方程——所以，數值模擬計算的軌道的特點也難以真正接近真實軌道.典型的例證在文獻[1]中已經進行了一些研究，理想的混沌軌道在離散的數值計算的計算機中受到精度的影響很大，目前還沒有關于過渡軌道與循環軌道的深入研究，特別是過渡軌道和循環軌道哪一個更加能夠表現軌道的特點.

Logistic方程在計算機領域被廣泛用于隨機數發生器中，例如產生隨機數，生成哈希值等.Logistic方程也存在著不動點和短周期點的現象.由于不動點和短周期對于隨機數發生器具有重要的影響，因此，對于不動點和短周期的研究是混沌隨機數理論研究中重要的研究問題，也是混沌隨機數應用的關鍵問題.有效地避免離散域中軌道的不動點和短周期，對于產生良好隨機性混沌序列至關重要.從理論和實驗的角度分析是對混沌隨機數發生器的優劣進行評判的一種有效手段.本文主要研究Logistic方程軌道中的不動點以及在不動點附近的短周期現象.研究不動點附近的短周期現象是揭示短周期與不動點之間聯系的一個有效途徑，也是研究離散的數值模擬計算軌道中混沌方程特點的有效實驗方法.本文的第一部分闡述Logistic方程的數學定義形式以及在計算機中模擬數值計算的時間序列模型方法.第二部分介紹Logistic方程不動點的基本研究方法和主要的不動點區域，分別從理論和實驗方面進行闡述.第三部分介紹Logistic方程在初始狀態0.75處的周期特點以及在該不動點附近的短周期現象.通過實驗的方法與有限精度計算軌道的研究，揭示不動點附近軌道的特性，給出本文的結論與展望.

從實驗結果可以看出，時間序列t[1]與t[9]出現相同值.同理，t[2]與t[10]也是相同值，因此，過渡周期長度為0，循環周期長度為8.

顯然，提高計算精度來增加混沌周期的方法在一定的條件下是有效的，如果忽略了不動點，那么即使精度提高，也會存在短周期的現象.從現有的文獻研究中，對不動點的研究報道不多，主要原因在于不動點在軌道中不易發現，而且短周期的軌道篩選需要極大的計算量，如果不采取并行計算和高性能計算機操作，猶如大海撈針.理論研究還難以建立堅實的推理基礎，目前的實驗方法受到有限精度的局限，因此，對于短周期和不動點的研究還需要不斷的探索研究，發掘更好更快的方法，從理論上進行突破.

由于混沌方程的短周期現象不確定，也難以進行控制，因此，在利用混沌方程實現隨機數發生器時，應盡量避免使用短周期區域的軌道序列.隨著時間變化，大量的短周期序列將破壞混沌序列的隨機性.

4 結論

Logistic方程存在著不動點和短周期的現象，特別是在初始狀態t[0]=0.75處，當控制參數等于4時，Logistic方程軌道在0.75處不變化，存在不動點.在初始狀態等于0.75時，精度在2時，存在著短周期現象.隨著精度的增加，短周期現象得到一定的緩解.Logistic方程在高精度時也存在著短周期現象.本文從不動點附近的短周期軌道進行混沌周期研究，目標在于揭示不動點與短周期之間的關系.理論上當控制參數等于4時，Logistic方程軌道在0.75處存在不動點，但由于量化誤差的作用，使得計算軌道在不同的軌道之間跳躍，破壞了原軌道的真實特性，因此，如何從真實軌道的不動點研究短周期需要解決量化誤差和精度的限制.

如何降低量化誤差和精度對于計算軌道的影響是解決問題的關鍵，下一個任務可以采用低位迭代法進行深入研究.低位迭代法能夠解決量化誤差對軌道的影響，避免計算軌道在不同的軌道間跳躍的問題.但低位迭代法中對于精度的基因圖譜目前還未繪制完全，僅是局部的特征，因此，存在一定的困難.隨著研究的深入，相信在不動點的短周期現象在不久的將來會有解決問題的方法.

參考文獻

[1]劉嘉輝，張宏莉.基于可擴展精度的Logistic混沌隨機序列的并行計算方法[J].中國科技大學學報，2011（9）：837-846.

[2]穆愛霞.從有序到無序的混沌實例研究[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2013（3）：26-27.

[3]李佳.單向鏈式復雜網絡的自適應混沌同步[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2014（1）：7-9.