數形結合之中職數學“2.3一元二次不等式”知識小結

尤悅秋

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在中職《數學（基礎模塊）》修訂版上冊中，第2章 第3節一元二次不等式的教學中，圍繞一元二次函數、一元二次方程以及一元二次不等式之間的關系及其應用，以一元二次函數為中心，從代數角度及幾何圖形角度，利用數形結合，由圖像直觀感知揭示規律，解決不等式問題。

[關? ? 鍵? ?詞]? 二次函數;圖像;一元二次不等式;一元二次方程

[中圖分類號]? G715? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）31-0102-02

由于中職生的文化基礎較差，初中階段對數學的學習缺漏多，數學基礎知識很薄弱。在《數學（基礎模塊）》修訂版上冊中，第2章 第3節一元二次不等式的教學中感觸特別強烈，學生對于初中所學的一元二次方程、一元二次函數的知識極其不熟悉。一元二次方程、一元二次函數在初高中甚至中職的數學中，都占有重要的地位，有著廣泛的應用，緊密聯系中職數學，起橋梁、紐帶的作用。中職數學教材中，從初中一次函數、一元一次方程與一元一次不等式出發，利用一元一次函數圖象，引出一元二次函數圖象與之進行對比，并提出問題、解決問題，引導學生利用已學過的知識解答，從而達到教育教學的目的。

一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數，這三種題型，最終都可以歸結為對一元二次函數的研究。從代數的角度來看，一元二次方程是令函數值為0時，自變量的取值;一元二次不等式則是令函數值大于0（或小于零）時，自變量的取值范圍。從幾何角度看，通過畫出二次函數的圖象，判斷函數圖象（拋物線）在直角坐標系中，圖象與x軸、y軸之間的位置關系判斷函數的性質，一元二次方程則是，圖象與x軸交點的x的值;一元二次不等式則是，圖象與x軸的位置關系，如果圖象在x軸上方函數值大于0，否則反之。利用數形結合形象直觀地告訴學生，“一元二次”三者之間的聯系。

下面我們就對三者之間的知識進行一個總結。

一、二次方程、二次函數、二次不等式基礎代數知識

1.一元二次方程一般式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數且a≠0）

③當Δ=b2-4ac<0時，ax2+bx+c=0，無實數根。

（3）根與系數的關系，韋達定理：

2.一元二次函數一般式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數且a≠0）

（1）函數其他形式。

①頂點式：f（x）=a（x-h）2+k（a≠0）

②兩根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

（2）函數的圖象是對稱軸平行于y軸的拋物線。

a的符號決定拋物線的開口方向：當a>0時，開口向上;當a<0時，開口向下。

（3）一般式的頂點、對稱軸。

3.一元二次不等式一般式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，（其中a>0）

設ax2+bx+c=0（a≠0）時，當Δ=b2-4ac>0，兩個根分別為x1、x2，且x1

（1）ax2+bx+c>0

①Δ>0 解集為{x|xx2}

③Δ<0 解集為R

（2）ax2+bx+c<0

①Δ>0 解集為{x|x1

②Δ=0 解集為Φ

③Δ<0 解集為Φ

二、二次方程、二次函數、二次不等式幾何意義

1.一元二次方程標準式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數且a≠0）

根的判別式Δ=b2-4ac

（1）當Δ=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根，圖象與x軸有兩個交點。

（2）當Δ=b2-4ac=0時，有兩個相等的實數根，圖象與x軸只有一個交點。

（3）當Δ=b2-4ac<0時，無實數根，圖象與x軸無交點。

2.一元二次函數標準式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數且a≠0）

（1）當a>0時，y=f（x）的圖象是開口向上的拋物線，

（2）當a<0時，y=f（x）的圖象是開口向下的拋物線，

3.一元二次不等式標準式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，（其中a>0）

（1）ax2+bx+c>0（其中a>0）

①圖象與x軸有兩個交點

解集為{x|xx2}

②圖象與x軸有一個交點

③圖象與x軸沒有交點

解集為R

（2）ax2+bx+c<0（其中a>0）

①圖象與x軸有兩個交點

解集為{x|x1

②圖象與x軸有一個交點

解集為Φ

③圖象與x軸沒有交點

解集為Φ

從以上對三者之間基礎知識的對比，我們發現二次函數、二次方程及不等式中需要記憶的知識、公式太多、太繁雜，對于中職生的實際學習能力，及數學知識的基礎不扎實來說，確實是一個難度很大的學習過程。我們通過借助一元二次函數圖象，利用拋物線在直角坐標系中體現出的直觀性，結合函數、方程以及不等式的基礎知識，從而讓學生更輕松地掌握知識。

學生通過對函數基礎知識的學習，利用基礎一元二次函數的頂點公式，對稱軸的求解，畫出大致拋物線的草圖，再通過草圖準確掌握函數的性質，從而學會一元二次方程、一元二次不等式的解法。在科技高速發展的今天，學生對于手機軟件、電腦軟件的學習能力較強，也可以通過許多大家都熟悉的數學軟件，如幾何畫板、GeoGebra等數學軟件制作準確的函數圖象，并從中掌握一元二次函數、一元二次不等式、一元二次方程的解題規律，以達到更好的學習效果。

實例分析：

例題：畫出一元二次函數y=x2-4x+3的圖象。

說一說，①當x取哪些值時，y=0？②當x取哪些值時，y>0？③當x取哪些值時，y<0？

分析：方法一：可以利用幾何畫板畫出函數圖象，從圖象可知，對稱軸x=2，與y軸的兩個交點分別為（1，0）、（3，0）所以

①當x=1或x=3時，y=0

②當{x|x<1或x>3}時，y>0

③當{x|1

方法二：①令y=0，即x2-4x+3=0，利用因式分解（x-1）（x-3）=0，解得x1=1，x2=3，利用口訣“大于在兩邊，小于夾中間”

②當{x|x<1或x>3}時，y>0

③當{x|1

在中職數學“2.3一元二次不等式”的教學中，我們常常以一元二次函數的知識點為基礎，一元二次方程及一元二次不等式分別是以函數與x軸的位置關系，與x軸有兩個交點、一個交點或者是沒有交點，通過二次函數的函數圖象和基本性質來解決問題，在數形結合的反復練習中，應掌握函數的基本性質，從而提高熟練解決二次方程及二次不等式的解題能力。

◎編輯 馬燕萍