“從三角形內(nèi)角和到多邊形內(nèi)角和”的探討

葉巧玲

(廣東省惠州市惠陽崇雅實驗學(xué)校 516213)

一、創(chuàng)設(shè)歡樂情境，提出議題

1.猜謎語

(1)形狀似座山,穩(wěn)定性能堅.三竿首尾連,學(xué)問不簡單.——(謎底：三角形)

(2)四個兄弟一樣長,兩兩相對圍成框,閱兵隊形常用到,對稱軸兒有四條.——(謎底：正方形)

(3)雖說是方塊，卻長四個角，四角一樣大，對面一樣長，鄰邊等不等，不必計長短.——(謎底：長方形)

設(shè)計意圖：觀看視頻猜謎語，不但讓學(xué)生在歡樂中快速進入課堂，還能拉近學(xué)生與老師的距離.

2.引出議題

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容,鼓勵學(xué)生積極回答問題，為新知識的學(xué)習(xí)營造良好的氛圍.

二、課堂推理論證，激活思維

1.探索任意四邊形的內(nèi)角和

(1)測量法：誤差

(2)分割法：嚴謹

將四邊形分割成三角形可有以下三種情況，分別是：

點在內(nèi)部 點在頂點處 點在邊上

以上三種分割方法都可以將四邊形分割成若干個三角形，進而將四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為若干個三角形內(nèi)角和問題來探索，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知，可以借助此方法來探索n邊形的內(nèi)角和.

2.探索多邊形內(nèi)角和，從四、五、六邊形入手探究，采用不同分割方法進行， 進而推出n邊形內(nèi)角和.

第一組：在多邊形紙片上，連接內(nèi)部任一點與所有頂點的線段，完成相應(yīng)表格.

多邊形邊數(shù)連接多邊形內(nèi)任一點(非頂點)與所有頂點的線段三角形個數(shù)內(nèi)角和4444×180°-360°=360°5555×180°-360°=540°6666×180°-360°=720°……………………nnnn×180°-360°=(n-2)×180°

第二組：在多邊形紙片上，從一個頂點出發(fā)連接所有對角線，完成表格.

多邊形邊數(shù)從某頂點引出的對角線數(shù)三角形個數(shù)內(nèi)角和4122×180°=360°5233×180°=540°6344×180°=720°……………………nn-3n-2(n-2)×180°

第三組：在多邊形紙片上，連接某邊上任一點(非頂點)與其他頂點，完成表格.

多邊形邊數(shù)連接某邊上任一點(非頂點)與其他頂點的線段三角形個數(shù)內(nèi)角和4233×180°-180°=360°5344×180°-180°=540°6455×180°-180°=720°……………………nn-2n-1(n-1)×180°-180°=(n-2)×180°

思考：以上三種情況的點在多邊形內(nèi)部或者邊上，能不能在多邊形外部取一點探究？

3.小結(jié)

教師點撥：以上方法均可推出多邊形內(nèi)角和公式，其中點在多邊形內(nèi)部應(yīng)該是學(xué)生最容易想到的，對角線的情況則對學(xué)生來說最容易記憶，但對角線的條數(shù)與分得三角形的個數(shù)又很容易混淆.

設(shè)計意圖：借助輔助線將多邊形轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和解決，是把未知轉(zhuǎn)化為已知，從特殊情況到一般情況、從簡單問題深入到復(fù)雜問題等方法的體驗，同時提高學(xué)生的表達能力、動手能力及歸納能力.

三、例題深入學(xué)習(xí)，學(xué)以致用

例1

例2已知在四邊形ABCD中有一組對角互補.求證：另一組對角互補.

證明如圖，∠C+∠A=180°.

∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,

∴∠B+∠D=360°-180°=180°.

即另一組對角互補.

變式訓(xùn)練：在四邊形ABCD中，BA⊥AD，CB⊥DC,求∠B與∠1的關(guān)系.

解∠B=∠1.理由如下：

∵AD⊥AB，CD⊥CB,

∴ ∠A+∠C=180°.

∵∠A+∠C+∠B+∠ADC=(4-2)×180°=360°,

∴∠ADC+ ∠B=360°-180°=180°.

而∠ADC+∠1=180°，∴ ∠B=∠1.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在歡樂探索后，深入學(xué)習(xí)例題并學(xué)以致用，體驗應(yīng)用結(jié)論的成就感，同時考查學(xué)生對多邊形內(nèi)角和的掌握程度及運用公式的能力.

四、自主針對測評，鞏固新知

(1)(2017·廣州)如圖1，四邊形ABCD中, ∠A=110 °，∠B=70 °, ∠D=120 °, 則∠C= (60 °).

(2)(2017·湖南) 如圖2，多邊形ABCDE的每個內(nèi)角都相等，則每個內(nèi)角為(108°) ．

(3)(2017·江蘇)如圖3， 在五邊形ABCDE，若∠1=60°，那么∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D=(420°).

設(shè)計意圖：預(yù)測“歡樂課堂”的教學(xué)效果，達到鞏固新知的目的，與中考緊密聯(lián)系，讓學(xué)生有針對性地學(xué)習(xí).

五、自主高效歸納，升華新知

知識回顧:1.從n邊形的一個頂點出發(fā)，作出(n-3)條對角線，所分成的三角形個數(shù)是(n-2)個.

2.多邊形內(nèi)角和公式：(n-2)×180°.

設(shè)計意圖：回顧本節(jié)課的重點，體會本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想.

六、趣味作業(yè)布置，課后反饋

1.復(fù)習(xí)本課知識、回顧探索問題的思路與方法.

2.趣味思考： 2019年國慶來臨之際，小晴想設(shè)計一個內(nèi)角和是2019°的多邊形圖案,她能實現(xiàn)嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧知識點，最后以一個有趣的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生思考并靈活運用本節(jié)課知識點.

七、課后總結(jié)經(jīng)驗，查漏補缺

以“歡樂課程”為線索，注重培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力、邏輯思維能力、動手能力等，采用師評、互評、自評三種方法對教學(xué)效果進行評價.

設(shè)計意圖：為提高學(xué)生的表達能力、歸納能力等，鼓勵學(xué)生暢所欲言，形成個人的知識框架.