透過現象背后的本質究竟在哪里

劉華為

【摘 要】透過現象看本質是教師研究教材、教法與學法的必備技能，而透過現象挖掘出什么樣的本質與教師的專業基礎、教學經驗和剖析角度密不可分。這需要教師平時多閱讀、多反思、多積累，以完善認知方式，豐富教學策略，提升研學能力，進而提高自己透過現象挖掘本質的科學性與綜合性能力。

【關鍵詞】透過現象看本質;內角和定理;輔助線

筆者拜讀了孟瑩和張昆兩位老師發表在《中小學課堂教學研究》雜志2019年第7期的《三角形內角和定理教學設計的新視角——透過培養“數學辯證思維”的視點》（以下簡稱文[1]）一文后深受啟發，懂得了如何透過現象挖掘本質，并依據本質內涵設計突出知識生成過程的探究性教學，以激發學生的學習興趣，培養其數學辯證思維。但對文[1]關于“三角形內角和定理”的教學設計和部分觀點，筆者也有一些不同的想法，與大家共同探討。

一、問題回顧

文[1]認為，常規方法是運用圖1（過點A作直線DE∥BC）與圖2（延長BC至點D，過點C作CE∥AB）兩種添輔助線的做法來證明三角形的內角和為180°，均存在一定弊端。因為輔助線是“無中生有”畫出來的，是借助“操作與觀察”由教師告知的，不是學生“探究發現的結果”，因而學生“只知其然而不知其所以然”。鑒于此，文[1]對該定理教學進行了如下“二次開發”。

第一步：由兩副直角三角尺三個內角度數之和，得出特殊直角三角形的內角和為180°。

第二步：以“是否所有的直角三角形內角和都是180°？理由是什么？”問題，引導學生通過添加如圖3的輔助線（過點A作AD∥CB）加以證明（具體過程請參閱文[1]，下同）。

第三步：由直角三角形內角和為180°推廣到一般三角形，并通過作三角形一邊BC上的高AD（如圖4）構造直角三角形進行證明。

第四步：通過在△ABC外構造Rt△BCE（如圖5），再讓點D在邊BC上動起來，進行一般化處理，得到圖6的輔助線證法。特別地，當點D與點B重合時，得到圖2的輔助線添法。

從表象來看，上述設計確實給人耳目一新之感，由特殊的直角三角形入手，引導學生經歷猜想、驗證與探索的過程，使輔助線的生成自然流暢、層層遞進，環環相扣，突出了從特殊到一般的轉化過程，似乎揭開了輔助線生成與問題解決的本源。可筆者認為有一些地方還是值得探討的。

二、啟發之處

1.關于教學設計

其一，正如文[1]所說，學生在四年級已經經歷度量或拼圖操作，驗證了三角形的內角和為180°。換言之，學生早已知曉三角形的內角和為180°，那么文[1]讓學生由兩副直角三角尺的內角和為180°猜想直角三角形的內角和也為180°，是否有明知故問之嫌？

其二，如果說圖1和圖2的輔助線是“無中生有”畫出來的，那么在圖3中又怎么想到過點A作BC的平行線AD呢？是否有強加之意？倘若把輔助線的作法表述為“過點A作AC的垂線DA”或許還可以解釋，因為要得到180°，既然∠C=90°，那么再構造一個直角也就順理成章了。當然，單從知識轉化角度切入，圖3的輔助線生成也有合理生成之處，因為要得到180°，自然會想到“兩直線同旁內角互補”，進而過點A作AD∥BC。只是如此一來，過△ABC任一頂點作其對邊的平行線皆可直接證明。更何況，筆者認為文[1]也沒能透過現象發現“知識轉化”這一本質。

其三，圖3的輔助線一旦生成，從方法遷移角度而言，對于非Rt△ABC作出圖7的輔助線（其中AD∥BC）豈不更加自然流暢？何必舍近求遠地借助圖4、圖5、圖6繞一大圈呢？當然如果到圖4為止也無可厚非，因為把一般三角形轉化成剛證明的直角三角形來處理也是水到渠成。可是文[1]為了凸顯圖2輔助線的生成“本質”，強行借助圖5與圖6過渡，筆者認為有過度開發之嫌。在△ABC外構造Rt△BCE，再作BC邊上的高（如圖5），然后讓點D動起來（如圖6），即作一般化處理，再借助點D與點B重合而得到圖2的輔助線，恐怕是學生的能力難以達到的。

2.關于輔助線的添加

其實，小學撕角拼圖的操作（如圖8）除了驗證三角形的內角和為180°，還突出了轉化思想，即要證明三角形的內角和定理，只需利用圖形的等量變換（平移、翻折與旋轉）把三角形三個內角轉化為度數為180°的平角，這就是圖1和圖2輔助線的生成點。顯然，圖1就是把∠B繞AB中點旋轉180°到∠BAD位置，∠C則是繞AC中點旋轉180°到∠CAE位置，此時AD∥BC且AE∥BC，而由“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”得AD與AE共線，故“過點A作DE∥BC”的輔助線添法應運而生。當然，圖2 的輔助線生成就是把∠B向右平移至∠DCE位置（或把∠A繞AC中點旋轉180°至∠ACE位置）。由此可見，圖1與圖2的輔助線并非“無中生有”。

3.關于輔助線的生成點

表面上看，圖1與圖2的輔助線生成是受小學拼角的啟發，但透過現象看本質，其實不借拼圖，依然可以挖掘出輔助線的生成點。眾所周知，從轉化思想來看，所有數學問題都是運用所學過的知識加以解決的。因此，欲證三角形的內角和為180°，則之前學過的與180°有關的知識源“平角的意義（含鄰補角）”與“兩直線平行同旁內角互補”才是解決問題的方向。若用知識源“平角的意義”處理，借助圖形的等量變換便可得圖1與圖2的兩種證法;若用知識源“兩直線平行同旁內角互補”處理，則易得圖7的輔助線構造方法。由此可見，與180°有關的兩大知識源才是證明三角形內角和定理時所添輔助線的生成點。

值得指出的是，構造平角證明三角形內角和定理時，所構造平角的頂點可以是△ABC所在平面內任意一點（如圖9）。有的教師喜歡把平角頂點O放在△ABC的頂點、邊上、三角形內與三角形外逐一證明，其實意義不大，因為這些方法都是統一的（即構造平角來處理），只是選點位置不同或過程表述稍有差異而已。

綜上所述，文[1]的新穎設計雖然凸顯了從特殊到一般的認知規律，筆者卻覺得未能抓住現象背后的本質。

三、設計建議

鑒于以上分析，筆者覺得關于三角形內角和定理的教學不必過多糾結，不妨借助下列驅動問題引導學生學會思考和轉化。

問題1：在小學我們就知道三角形的內角和為180°，請問是怎么得到的？（度量和拼圖）

問題2：限于認知水平不同，小學只需驗證即可，但到了初中一定要進行嚴格的推理證明，那么如何證明呢？（若學生難以回答，教師可作如問題3的引導）

問題3：一般地，數學問題都是運用學過的知識來解決。那么，我們學過的與180°有關的知識點有哪些？（“平角的意義”和“兩直線平行同旁內角互補”）

至此，過三角形某一頂點作其對邊的平行線（如圖7），運用“兩直線平行同旁內角互補”來證明“三角形內角和定理”已是水到渠成;而如何運用“平角的意義”來證明還需教師做進一步的啟發。

問題4：如何運用“平角的意義”來證明三角形內角和定理呢？小學的拼圖給你什么樣的啟發？（把三角形三個內角等量轉化到同一平角內）

問題5：如何進行角的等量轉化？（教師可從角的位置變化引出圖形變換，從而得出“平移、翻折和旋轉”）

運用轉化思想來驅動問題解決的最大益處是讓學生學會如何思考，這不僅讓學生知道怎么做，更知道為什么這樣做，從而有效地突出學法指導，強化解決問題的能力。

四、總結反思

透過問題現象看本質雖然不是當下的熱門話題，卻是一個經典話題，而且對提升教師的專業素養有著深遠的影響。那么，透過現象如何挖掘本質或者挖掘什么樣的本質呢？

1.透過眾多“發現”現象厘清認知規律的本質

關于三角形內角和定理的發現，不少研究者進行了教學設計，比較典型的有以下三種。

設計一：在圖10中，不妨設BC為△ABC最長的邊，分別在BC、CB延長線上各取一點N、M。借助幾何畫板動態演示，首先把直線MN繞點B按逆時針方向旋轉至∠ABC的度數，則點N在BA的延長線上且點M在AB的延長線上;再把旋轉后的直線MN繞點A按逆時針方向旋轉至∠BAC的度數，則點N在CA的延長線上且點M在AC的延長線上;最后把剛旋轉所得的直線MN繞點C按逆時針方向旋轉至∠ACB的度數，則點N在CB或CB的延長線上且點M在BC的延長線上。此時可以發現直線MN正好被旋轉了180°，由此得三次旋轉角之和（即三角形的內角和）等于180°。

此設計新穎獨特，動態感強，更能與現代化的多媒體技術相融合。但顯然比較晦澀難懂，有違深入淺出之教學設計原則，更何況本設計對定理的證明沒有任何啟發之處，只是為了發現而“發現”，似乎有過度設計之嫌。

設計二：如圖11，有的教師借助幾何畫板動態演示，當點A無限趨近于點O時，可發現△ABC的內角和接近于平角，從而猜想三角形的內角和為180°。還有的教師用自制的橡皮筋道具演示（橡皮筋起初與邊BC重合，然后從點O處沿OA拉到點A處放開），也很生動形象。

本設計只說明了三角形的內角和趨近于180°，并未能對定理做出證明。

設計三：如圖12，當點C沿著射線BC向無窮遠處運動時，∠ACB越來越小，越來越接近于0°，而∠BAC越來越大，越來越接近于∠BAD。特別地，當AC與BC沒有交點（即AC與AD重合）時，和為180°，進而猜想三角形的內角和為180°。

該設計的優越性在于把輔助線AD顯性化了，是上述三種設計中較為成熟的操作方法，但難免有“事后諸葛亮”之嫌。

應當指出的是，在設計二上點A與設計三上的點C運動時，有的教師默認變化中的△ABC內角和總是相等的（即每個變化后的三角形內角和都相等，從而依據終極圖形得到三角形的內角為180°）。這顯然不妥，因為在沒有證明三角形內角和定理前，還不知道三角形的內角和是個定值。換言之，當點A（或點C）運動時，△ABC的內角和是不變或變大或變小或忽大忽小都是未知的，只能說明兩種設計的結果都驗證了三角形的內角和趨近于180°，進而得出猜想。

其實，透過各種紛雜的精彩設計，筆者覺得從小學的“度量計算猜想”和“撕角拼圖驗證” 到中學的“作平行線推理證明”最契合學生的認知水平與認知規律，既通俗易懂又便于操作，而且融定理的發現與證明為一體。

2.透過眾多證法現象厘清轉化思想的本質

正如前文指出，有的教師把圖9中的點O設置在△ABC的某條邊上，或邊的延長線上，或三角形內，或三角形外，然后在課堂上引導學生逐一證明。其實，這就是沒有厘清轉化思想（即把三角形的三個內角通過圖形變換轉化為平角處理）的本質，只是追求形式上的創新，而忽視對學生轉化與遷移能力的培養。文[1]的設計雖然體現了從特殊到一般或化一般為特殊的轉化思想，但只涉及轉化思想之形，并未厘清轉化思想之本質，因為對“所有數學問題都是運用所學過的知識加以解決的”理解不透，從而導致未能從知識源入手，尋求解決問題的突破口，也使整個教學設計走了不必要的彎路。

總之，只有從探求知識生長點、難點和學生能力發展點入手，對教材進行深度挖掘與理性思考，才能看清定理生成的本質、透過輔助線作法看清知識轉化的本質、透過思路剖析看清學法指導的本質、透過思維訓練看清能力發展的本質。進而設計出符合學生認知基礎并遵循學生認知規律的教學流程，提升學生的發展性學力，全面落實核心素養。