基于輔助數據的OFDM 時間同步算法①

汪 瑩, 張珮明, 施 展, 王 勁, 李家樑, 王潮雄

1(廣東電網有限責任公司 電力調度控制中心, 廣州 510600)

2(廣東省電信規劃設計院有限公司, 廣州 510630)

3(華南理工大學, 廣州 510641)

引言

正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)是一種應用十分廣泛的高速無線通信技術, 已經寫入多個無線通信標準當中, 例如: WiFi、WiMax 和LTE 等.OFDM 將寬帶系統劃分成多個相互正交的窄帶子信道, 只需要在每個子信道上進行簡單的單抽頭均衡就可克服信道的頻率選擇性問題, 實現高譜效的通信.OFDM 系統的對時間同步誤差非常敏感, 必須為其設計可靠的同步方法[1].通常, OFDM 系統中的定時方法分為兩類: 盲方法和基于輔助數據的方法.考慮到基于輔助數據方法在可靠性和計算復雜度方面都均優于盲同步算法, 本文研究基于輔助數據的定時同步算法.

在文獻[2]中, Schmidl 等提出了一種基于二段重復前導的定時和頻率估計方法, 算法計算復雜度低且魯棒性好.然而, 其定時測度函數中存在一個平臺, 使定時均方誤差較大.為了提高定時準確性, Minn 等在文獻[3]中通過將長度等于循環前綴的矩形與Schmidl的定時測度作卷積消除了測度函數中的平臺.Shi 等[4]擴展了Minn 的方法并利用所有可能的自相關乘積項來獲得更高的精度.然而, 由于定時測度函數存在旁瓣,文獻[3]和[4]所提方法的估計精度仍然受限.在文獻[5]中, Park 等提出了一種由兩個對稱部分組成的輔助數據前導, 通過對稱自相關操作, 得到一個非常尖銳的定時測度.文獻[2-5]所提算法都是基于自相操作運算, 這些算法對接收機的載波偏移不敏感且實現簡單.

在文獻[6-8]中, 幾種基于本地輔助數據與接收信號互相關操作的同步算法被提出, 這些算法的定時測度函數都具呈脈沖狀.文獻[6,7]的方法容易受到載波頻偏的影響.文獻[8]所提出的定時算法具備對抗微小頻偏的能力, 但當頻偏絕對值大于子載波間隔時, 算法不能穩健工作.

繼自相關類算法與互相關類算法之后, 多個基于自相關和互相關相結合的算法被提出[9-11].文獻[9]提出了一種偽噪聲序列加權的輔助序列, 利用輔助序列特定結構設計定時算法, 顯著提高了定時偏移估計的準確性.在文獻[10,11]中, Abdzadeh-Ziabari 等和Liu 等提出了一種與輔助數據結構無關的定時算法, 相關操作中所采用的乘積項數大大超過了其之前的算法, 使得定時精度大大增強.值得說明的是, 文獻[11]的算法與文獻[10]中的算法基本思想相同, 定時精度也一樣, 但前者計算復雜度更低.

為了進一步提高定時同步的性能, 本文研究基于最大似然 (Maximum-Likelihood, ML)準則的定時算法.在文獻[12-14]中, 已經提出了幾種ML 定時算法, 文獻[12,13]中的ML 估計器利用了輔助數據循環前綴中包含的冗余信息, 因而它們不適用于沒有循環前綴的OFDM 系統, 例如零前綴OFDM.文獻[14]中的ML 估計器則依賴于具有多段重復結構的輔助數據.與現有的ML 定時算法不同, 本文研究獨立于輔助數據結構的定時算法, 在無線通信工程中具有重要的應用價值.

1 信號模型

在OFDM 系統中, 發射機基帶輸出端的復值抽樣信號可以表示為:

其中, n 是時域抽樣索引, N是子載波總數, Nuse是活動的子載波數, Xk表示第k 個子載波上的調制數據符號.在實際應用中, x(n)是通過逆快速傅里葉變換(Inverse Fast Fourier Transformation, IFFT)計算的.為了避免多徑信道中的 符號間干擾(Inter-Symbol Interference,ISI)和載波間干擾(Inter-Carrier Interference, ICI), x(n)前面附加長度為G 的循環前綴, 如下所示:

其中, 循環前綴的長度應長于信道脈沖響應的可能長度.

參考文獻[12,14]的做法, 本文在平坦衰落信道下推導ML 定時算法.所得算法在頻率選擇性信道下的性能將在算法仿真環節進行充分評估.經過平坦衰落信道后的接收信號可以表示為:

其中, τ是時間偏移量, ε是被子載波間隔歸一化后的載波頻偏, θ是相位偏移, ω (n) 是均值為零, 方差為的加性高斯白噪聲.

假設一個機基于幀傳輸的OFDM 系統, 每個信號幀由輔助數據和M-1 個OFDM 符號組成.輔助數據位于幀的起始處, 用向量表示為 S= [s0,s1,···,sN-1], 其中sk是S 的第k 個元素.

2 同步算法

2.1 ML 同步

不失一般性, 將接收到的與數據幀等長的抽樣序列表示為:

其中, r(0) 和 r(τ)分別表示接收信號的第一個抽樣和輔助數據的起始點.考慮到循環前綴對互相關類算法性能影響不大, 為了使理論分析更為直觀, 下面的推導過程將忽略循環前綴.然后, 接收信號抽樣可以看作由(M-1)N 個數據抽樣點和 N輔助數據抽樣構成, 其索引分 別 為 Ip={n|τ ≤n ＜τ+N} 和Id={n|0 ≤n ＜τ}∪{n|τ+N ≤n ＜MN}. 當 N足夠大時, 這些數據抽樣可以視為隨機過程, 具體來說, 抽樣點間相互獨立, 且同服從復高斯分布, 方差為零, 方差為其中是x(n)的方差).因此, 在給定τ、ε和θ 的情況下, r (n)的條件概率密度函數可以表示為:

因而, τ、ε和θ 3 個參數的最佳估計能夠通過最大化自然對獲得, 現定義:

通過將式(5)和式(6)代入式(7)中, 忽略其中的常數項并乘以一個復常數得到如下簡化的似然函數:

不難發現, 對于任意給定的 τ 和ε, 式(9)的右邊可以最大化為:

其條件是:

其中, ∠表示對復數取復角操作.因此, 可以忽略式(11)中的常數c 來獲得參數 (τ,ε)的最佳估計:

在載波頻偏可以被忽略的OFDM 應用中, 例如數字用戶線(Digital Subscriber Line, DSL), 此時式(14)給出的時偏和頻偏的聯合估計 (τo,εo)可簡化為時間偏移估計.該時偏的估計可以通過搜索使[r(τ),r(τ+1),···,r(τ+N-1)]達 到峰值的τ 獲得.當CFO 不確定的時候,式(14)中的(τo,εo)估計值需通過二維聯合搜索來獲得,由于ε 是連續變量, 該聯合搜索的實現復雜度很高.

2.2 簡化的同步算法

可以發現, 式(14)右邊絕對值符號內的操作在本質上是對信號在頻率 2πε /N上做時間離散傅里葉變換(Discrete-Time Fourier Transformation, DTFT).另一方面, 離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)是DTT 在頻域的等距采樣.同時注意到, 對于一個具有 N個采樣點的時域信號, 其N 點DFT 與其DTFT所包含的信息完全相同.基于上述事實, 本文提出了如下近似最優的定時算法:

其中,

是定時測度函數.

2.3 算法復雜度分析

除了定時精度, 算法的計算復雜度也具有重要的工程意義.這里通過比較不同時偏估計器的定時測度函數所需的乘法和加法的數量來評估同步算法的復雜性.在OFDM 系統中, 子載波數總是設置為2 的整數次冪, 以便于使用FFT/IFFT 操作來實現信號的調制與解調.因此, 式(16)中的DFT 也可以通過FFT 來實現,這極大地降低了計算復雜度.

為了使分析更為直觀, 重寫式(16)給出的定時測度函數如下:

其中,

其中, ?表示矩陣的哈達瑪乘積, 即對兩個矩陣中相同位置的元素相乘, ( ·)H表示矩陣的共軛轉置操作.

接下來評估對于給定的考察點 d獲得其對應的定時測度 M( d)(見式(17)所需要的計算復雜度.首先是接收信號與本地導言的互相關操作, 通過對接收信號向量 Rd與 本地輔助數據 S作哈達瑪乘實現, 該操作需要運用 N次復數乘法; 然后是將得到的序列從時域變換到頻域, 通過 N 點FFT 實現, 需要 0.5 Nlog2N次復數乘法和 Nl og2N 次復數加法; 最后, N 次復數乘法和 N- 1復數加法用來從得到的頻域向量中搜索最大元素.因此, 對于任意給定的 d , 計算 M( d)所需要的復數乘法和復數加法的總數分別為 N( 0.5log2N+2)和 (lo g2N+1)N-1.法通過設置矩陣 F= [F1,F2,···,Fi,···,Fls] 和G=[G1,G2,···,Gi,···,Gls]來實現精度與復雜度的折衷.需注意矩陣F 和G 中的Fi和Gi是它們各自的子向量.集合F 或G 中的元素總數為L, 如果有必要, 該值最大可以達到 (N -1)(N/2).選取的乘積項數L 越多, 算法的定

表1 給出了本文提出算法與其他算法計算復雜的對比.應該注意到, 盡管新算法的計算復雜度高于文獻[2,6,9]中提出的算法, 但新算法的定時精確性遠高于這些算法, 詳細比較將在后文給出.對于文獻[10]中的算法, 該算法允許接收機根據接收信號的信噪比決定采用多少乘積項來構建定時測度函數, 具體來說, 該算時精度越高.從后續仿真結果可見, 即使該算法用盡了全部乘積項, 其定時精度也弱于本文算法.

表1 不同算法計算復雜度比較

3 仿真及結果

這里采用蒙特卡羅仿真對所提出的算法與現有算法進行對比.在仿真中, OFDM 系統的子載波數設置為64、循環前綴長度為符號長度的1/8 ( G= 8), 在每個信噪比下都進行10 萬次隨機信道仿真, 再對結果求平均.被子載波間隔歸一化的的CFO 設置為 ε= 3.1.考慮到OFDM 系統總是在多徑信道下工作, 這里采用兩個不同的多徑信道進行仿真.第一個是斯坦福大學臨時(Stanford University Interim, SUI)信道模型, 采樣率為5 MHz; 第二個是5 條抽頭多徑瑞利衰落信道.考慮到均方誤差(Mean Square Error, MSE)均方誤差同時反映了估計的偏差和方差, 這里采用MSE 來評價所提出的定時方法的性能.

圖1 繪出了本文所提方法與幾種現有方法在SUI-1信道下的定時估計MSE 的比較.可以看出, 新提出的方法比以前的方法具有明顯更好的性能.值得一提的是, 即使HM 算法將所有的相關乘積項都采用(算法復雜度達到最大), 其定時精度也弱于本文提出的算法.此外可以看到, 受CFO 的影響, 文獻[6]和文獻[8]的定時估計均方誤差很大.

圖1 在SUI 信道下不同定時算法的MSE 對比

圖2 繪出了在一個具有5 個抽頭的頻率選擇性瑞利衰落信道中不同估計器的MSE, 抽頭序號記為?=0,1,···,4 抽頭平均功率衰減系數設置為e?/5.在這里, 子載波個數和循環前綴分別設置為 N= 64和G = 12.對于HM 的方法[10], 為了使它達到最好的性能, 其所有相關乘積項都被運用到測度函數中.由圖2 可見, 本文所提出的方法具有比其他方法明顯更好的性能.

圖2 在一個5 抽頭多徑信道下不同算法的MSE

4 結語

本文中先推導了OFDM 系統的定時偏移和載波頻偏的ML 聯合估計, 然后, 基于ML 估計器提出了簡化的定時同步方法.所提出的定時方法對輔助數據結構沒有特殊要求, 并且對子載波頻偏不敏感, 可以在任何數值的載波頻偏下實現定時同步.仿真結果表明, 本同步算法優于現有算法.