基于Hessian 矩陣范數(shù)正則化方法的共聚焦圖像復(fù)原①

陳集懿, 何 濤, 胡 潔

(上海交通大學 機械與動力工程學院, 上海 200240)

激光掃描共聚焦顯微鏡是獲得高分辨率熒光細胞圖像和生物醫(yī)學三維重建的最先進技術(shù)之一.隨著成像技術(shù)的進步, 針對微觀細胞的研究也逐漸在深入.這些研究需要涉及細胞的多維檢測和分析、從二維細胞成像向三維細胞成像的演變、以及從傳統(tǒng)空間成像到時間成像的擴展.因此, 激光掃描共聚焦顯微鏡[1]的研究對于生物醫(yī)學及相關(guān)學科的發(fā)展具有重要意義.三維可視化的關(guān)鍵技術(shù)在于提取一系列連續(xù)的二維切片,通過激光掃描共聚焦顯微鏡重建厚生物組織的三維模型, 然后進行定量分析.因此, 共聚焦圖像復(fù)原方法對于活細胞的檢測和三維結(jié)構(gòu)的探索具有很高的價值.

由于光學成像系統(tǒng)中存在點擴散, 這會導(dǎo)致卷積效應(yīng)和原始圖像的退化, 因此難以對共聚焦弱熒光圖像執(zhí)行三維操作.對于較厚的組織, 隨著成像深度的增加, 共聚焦圖像的退化會加劇.因此, 有必要通過對圖像退化模型執(zhí)行去卷積復(fù)原來消除退化的干擾.圖像模糊可以表示為清晰圖像和點擴散函數(shù)(Point Spread Function, PSF)的卷積加噪聲, 圖像復(fù)原則是通過去卷積方法估計清晰的原始圖像的操作.

在圖像去噪聲、去模糊這一類問題中, 最常用到的是全變分(Total Variation, TV)正則項[2], 這是因為TV 模型具有較為良好的邊緣保持特性[3].但是, TV 正則化方法適合傾向于分段常數(shù)解, 即它對細節(jié)和紋理的復(fù)原效果不佳, 相當容易形成階梯效應(yīng).

截至目前, 關(guān)于模糊圖像去卷積方法的研究大部分都假定噪聲服從于高斯分布, 采取此類模型的優(yōu)勢是: 在所得的待優(yōu)化問題中, 會有二次項的引入, 這將便于求解.但在醫(yī)學或全息[4]成像、天文觀測等特定應(yīng)用領(lǐng)域中, 噪聲往往是服從泊松分布的, 此時若再采取高斯噪聲模型, 概率分布特征將不能得到有效的描述.

泊松圖像反卷積過程是具有病態(tài)特征的, 特別在低信噪比的情況下, 經(jīng)數(shù)次迭代后會產(chǎn)生高的估計噪聲.針對泊松噪聲污染下的模糊的去卷積問題, 目前最常用的方法是Richardson-Lucy 方法[5], 它是期望最大化算法的一個特例.但這種方法具有明顯的階梯效應(yīng).董文德等采用最優(yōu)化方法將自然圖像進行訓練, 得到專家場模型的所有濾波器, 使其具有更真實的概率分布特征, 以此實現(xiàn)對泊松噪聲污染模糊圖像的有效復(fù)原[6].Zhang 等提出了一種基于小波框架的正則化模型,以去除泊松噪聲而得到去模糊圖像[7].Liu 等在基于高階全變分的泊松圖像去卷積中引入了空間自適應(yīng)正則化參數(shù)[8].

為提高所得共聚焦圖像的復(fù)原精度和圖像采集速度, 本文將采用一種基于Hessian 矩陣范數(shù)的圖像復(fù)原正則化方法.

1 基于Hessian 矩陣范數(shù)正則化的圖像復(fù)原模型

共聚焦圖像的噪聲主要來自兩個來源: 信號本身和成像系統(tǒng)顫振.泊松噪聲污染下的圖像退化模型可表示為:

其中, y 表示觀測圖像, f 表示原始圖像, A是線性模糊算子, P(Af)表示含參數(shù)的獨立同分布泊松隨機變量.

首先將傳統(tǒng)的全變分梯度方法從一維向二維進行擴展, 定義了用于計算二階導(dǎo)數(shù)的Hessian 算子為:

基于Hessian 矩陣范數(shù)正則化的圖像復(fù)原模型表示為:

所用的是F 范數(shù), 其具有凸性、尺度不變性、平移不變性和旋轉(zhuǎn)不變性, 因此, 可作為推廣的二階TV.

2 圖像復(fù)原模型的求解

為解耦復(fù)雜的目標函數(shù), 采取交替方向算法[9], 引入輔助變量 u1, u2作為變量 A f , f的近似, 實現(xiàn)將變量f分離的目的, 當然, 同時也要補充一個二次項, 用于懲罰 A f , f 和 u1, u2之間的差異.所得解耦模型:

其中, α ＞0表 示懲罰系數(shù)(拉格朗日參數(shù)), b1, b2為對偶變量.

模型所涉及的以上變量之間的關(guān)系如圖1 所示.

圖1 解耦的圖像復(fù)原模型

可將上述模型的求解分成如下3 個步驟:

(2)對于步驟(1)所得的 f(k), 可用來求解

2.1 f(k)的求解

對式(5)使用快速傅里葉變換, 在頻域中按照式(10)進行 f(k)的求解.

其中, ( ·)*表示共軛運算, F (·)表 示傅里葉變換, F-1(·)表示傅里葉逆變換.

對于式(6), 考慮代價函數(shù):

然后依次計算它的一階導(dǎo)數(shù):

二階導(dǎo)數(shù):

這是個凸優(yōu)化問題, 由式(12)為零得:

求出其非負根.又由于向量的最優(yōu)解可在其每個分量都取最優(yōu)解時得到, 通過組合若干個相互獨立的最優(yōu)化問題式(11), 可知式(6)的解為:

對于式(7)中的Hessian 矩陣范數(shù)正則化項, 首先可將其等價表示為:

式(7)即改寫為:

其中, T 是用于約束解的范圍的凸集, τ =μ/α.

使用梯度投影方法[10]可得:

其中, PT是凸集T 上的正交投影算子.

投影到單位范數(shù)球 B∞,2上的算子可以定義為:

關(guān)于 ω的迭代過程如下:

while i ＜ Maxiter(最大迭代次數(shù)) do

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證所提方法的有效性, 評估了通過不同懲罰項所獲得的圖像復(fù)原性能, 特別是, 對采用TV 模型、高階混合懲罰項[8]、Hessian 懲罰項的正則化進行比較.考慮所提方法中的正則化參數(shù)μ, 它起到平衡圖像輪廓和細節(jié)的作用.通常來說, 增加其值往往會獲得更清晰的結(jié)果, 但也會放大噪音.在這種情況下, 我們采用有效的策略, 通過實驗性地調(diào)節(jié)參數(shù)值, 以獲得最佳的視覺效果.

3.1 仿真驗證

為了說明提出的方法在共聚焦圖像上去模糊的復(fù)原效果, 本文首先在仿真數(shù)據(jù)上進行驗證.仿真運算的配置為Matlab r2014b, 2.60 GHz Intel Core i5-3230M CPU 以及4 GB 內(nèi)存.對于合成的共聚焦數(shù)據(jù)集, 參照了近期發(fā)布的軟件confocalGN[11], 模糊函數(shù)采用為方差為1 的高斯點擴散函數(shù).由于泊松噪聲是依賴于像素的灰度值的, 所以噪聲水平可以由圖形的最大灰度值來決定.泊松噪聲可以通過matlab 的內(nèi)置函數(shù)“poissrnd”來實現(xiàn).對于仿真數(shù)據(jù), 采用2 幅較為代表性的圖片(“woman”以及“cameraman”)進行觀察.去模糊結(jié)果如圖2、圖3 和圖4 所示, 其中, 圖3 是圖2(c)、圖2(d)、圖2(e)對應(yīng)于圖2(a)中紅框區(qū)域的放大顯示.

圖2 “woman”仿真處理結(jié)果

圖3 局部放大視圖

圖4 “cameraman”仿真處理結(jié)果

此外, 為了對仿真結(jié)果作定量分析以估計算法的重建質(zhì)量, 本文采用峰值信噪比(PSNR)以及均方誤差(MSE)來度量, 圖2、圖4 中(c)、(d)、(e)的指標對比如表1 所示.顯然, 在兩張經(jīng)典圖片上, 相比于TV模型、高階混合懲罰項方法這兩種參照, 本文所提方法復(fù)原結(jié)果的PSNR 更高, MSE 更低, 充分體現(xiàn)了其有效性.

表1 仿真處理結(jié)果的PSNR 以及MSE 指標對比

3.2 實驗設(shè)置

建立的實驗平臺[12]如圖5 所示, 它是用于熒光圖像重建的激光掃描共聚焦顯微鏡, 由激光光源、掃描裝置、共聚焦裝置和計算機控制的圖像處理系統(tǒng)組成.該平臺被用于比較所提出的Hessian 正則化模型和TV 模型、高階混合懲罰項方法.

圖5 激光掃描共聚焦顯微鏡實驗平臺

本文選擇用平臺所觀察的掃描斷層圖像作為原始圖像, 采集的圖像一般會被泊松噪聲和散焦模糊所污染, 針對散焦模糊中的點擴散函數(shù), 我們采用熒光小球來進行標定.其具體步驟為: (1)通過實驗獲得不同尺寸的熒光微珠圖像; (2)采用高斯點擴散函數(shù)近似法[13]擬合熒光珠的分布; (3)估算并取點擴散函數(shù)的平均值.我們注意到, 平均預(yù)處理不僅可以降低測量誤差, 而且可以減輕噪聲對點擴散函數(shù)標定的影響.

3.3 圖像復(fù)原結(jié)果

基于標定的點擴散函數(shù), 分別使用TV 模型、高階混合懲罰項方法和所提出的Hessian 正則化模型來處理它, 并比較圖像復(fù)原結(jié)果, 如圖6 所示.其中, 圖6(a)與圖6(e)是不同視野內(nèi)所采集到的樣本圖像, 圖6(b)、圖6(c)、圖6(d)和圖6(f)、圖6(g)、圖6(h)分別表示使用TV 模型、高階混合懲罰項方法和所提出的Hessian模型對樣本1 和2 的去模糊結(jié)果.

圖6 共聚焦圖像去模糊結(jié)果

從圖6 明顯可以看出, 本文所提出的方法對模糊共聚焦圖像進行了有效的復(fù)原, 圖像質(zhì)量有了顯著的提高.同時, 通過與其他復(fù)原方法作對比可知, 應(yīng)用本文方法得到的復(fù)原結(jié)果中含有較少的振鈴、噪聲等負面效應(yīng), 視覺效果相當清晰, 這是明顯優(yōu)于其他方法所得復(fù)原結(jié)果的.

綜合以上實驗結(jié)果可得, 在泊松噪聲污染的模糊共聚焦圖像復(fù)原方面, 本文提出的方法具有突出優(yōu)勢.

4 結(jié)論

本文針對泊松噪聲下共聚焦圖像的去卷積問題,提出了一種基于Hessian 矩陣范數(shù)的正則化方法.與經(jīng)典的TV 正則化方法相比, 本文所提方法能夠在保留圖像細節(jié)的同時, 消除噪聲效應(yīng)和階梯效應(yīng), 得到更加優(yōu)良的復(fù)原結(jié)果, 實驗結(jié)果證實了其有效性.

而且, 該方法不僅適用于共聚焦顯微鏡, 也能擴展到其他的快速生物成像系統(tǒng).將來, 還可探討深度學習方法在模型中迭代參數(shù)選擇的應(yīng)用.