聚焦核心素養，彰顯育人價值

鄧睿 錢運濤

【摘要】本文利用課堂實錄的方式，記錄并再現了《分段計費》這一課的教學設計與課堂互動，通過“選取指向學科核心素養的教學素材，充分展現了數學與生活的密切聯系”“設計基于學科核心素養的教學活動，充分挖掘和發揮數學思想方法的育人功能”“采用有利于培養學科核心素養的教學方式，充分凸顯的‘非線性教學的育人價值。”三個充分突出了“聚焦核心素養，彰顯育人價值”的主題，并通過“優化了教學內容的呈現方式”和“優化了課堂的互動方式”兩個優化，使課堂教學走向開放、活化和深度。

【關鍵詞】分段計費;教學實錄;核心素養

一、設計理念

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，教師在解決問題教學中應注重培養學生從數學的角度發現問題、提出問題以及解決問題能力，在問題解決過程中形成分析問題和解決問題的基本方法，體會模型思想，增強應用意識。基于以上認識，本節課的設計通過創設了出租車計費、階梯水費兩種生活常見的分段計費情境，引導學生通過閱讀理解、自主探究、互動交流等方式，經歷從解決實際問題中抽象出數學模型的過程，初步感悟函數思想，體會分段計費在生活中的廣泛應用。

二、教學內容

《義務教育課程標準實驗教科書·數學》（人教版）五年級上冊第16頁例9及練習四中部分題。

三、教材與學情分析

《分段計費》是人教版五年級上冊第一單元《小數乘法》中的例9，屬于解決問題的范疇。教材結合本單元小數乘法這一知識背景，以生活中的出租車計費問題為例子，通過“閱讀與理解”“分析與解答”“回顧與反思”等環節，讓學生在自主探究、互動交流的學習活動中，經歷從生活情境中抽象數學問題、用數量關系式表征模型和解決問題的全過程，初步感悟函數思想，發展數學建模的核心素養。

五年級的學生已具備一定的生活經驗及問題解決能力，但由于筆者班上多數學生缺乏直接參與生活繳費經歷，對于分段計費概念較為陌生。因此，讓學生直接面對“出租車費”這個特殊的分段計費問題，需要跨越“從文本閱讀到有效數學信息的提取”“從固定價格的計費到分段計費”“從單一標準的計費到多種標準的計費”等認識上的難關。

為有效降低學生學習思考的難度，筆者對本節課的教學設計作了以下四個方面的處理：一是通過“出租車費”這個生活中常見但學生又不太熟悉的例子，重點引導學生通過對文本的“閱讀與理解”，輔之以直觀的動畫形式，理解什么是“分段”，以及“分段”后每一段對應的計費標準;二是以數形結合的方式引導學生體會行駛里程與出租車費之間的變化關系，初步感悟函數思想;三是讓學生通過筆算、口算與感悟等不同的活動體驗，掌握解決分段計費的一般方法;四是通過反思學習過程，歸納解決“分段計費”問題的關鍵，逐步發展數學建模的數學學科核心素養。

四、教學目標

1.通過運用小數乘法和已有的生活經驗，解決生活中“分段計費”問題。

2.經歷探索“分段計費”問題模型的過程，初步體會函數思想，培養發現和提出問題、分析和解決問題的能力，發展應用意識和數學建模的核心素養。

3.在解決問題過程中獲得問題解決后的成功體驗。

五、教學重點難點

1.重點：運用已有知識和生活經驗解決生活中“分段計費”問題。

2.難點：在探索“分段計費”模型的過程中，初步體會函數思想。

關鍵在于找到分段點，按不同的標準來計費。

六、教學實錄

（一）談話引入，創設情境

師：同學們，你們搭過出租車嗎？

生：搭過。

師：你們知道出租車是怎樣計費的嗎？

生：我知道出租車是按每千米計費的。

生：我知道出租車在前三千米的收費是8元。

師：同學們真會觀察生活，下面我們就來一起學習關于出租車計費的問題。

（二）自主探究，建立模型

師：今天，我和一位老師分別搭乘出租車過來會場給你們上課，出租車里程表上分別是2.7km和6.3km，你會根據下圖給出的條件算出我們分別要付多少錢車費嗎？

1.閱讀與理解

師：請同學們安靜地讀題1分鐘，找到題中有用的數學信息并思考其的含義后，同桌相互交流自己的認識。（學生先獨立讀題、思考，然后同桌相互交流。）

師：哪位同學能告訴大家你讀題后知道了哪些數學信息？

生：3km以內8元 。

師：能舉例說說“3km以內”是什么意思？

生：例如：里程是2km，就是屬于3km以內，所以要按8元計費。

師：說得好！其他同學還能舉一個不同的例子嗎？

生：1.6km也是屬于在3km以內，也是按8元計費。

師：如果里程正好是3km時，又怎么收費呢？

生：也是按8元計算。

師：3km以內，包括3km，這是一種有選擇性的、特殊的計費標準，在出租車行業中叫做“起步價”。（板書：起步價）

師：我們一起來看動畫演示來感受一下。師：題目中還包含哪些計費標準？

生：超過3km的部分，每千米2元。

師：“超過3km的部分”應怎么理解？請舉例說明。

生：例如，當出租車的里程是4km時，“超過3km的部分”就是1km。

師：“超過3km的部分”如何計費？

生：“超過3km的部分”按每千米2元計算。

師：你們理解的很好。請問里程數是3.4km時，應根據什么標準計費？

生：根據“不足1km按1km計算”。

師：好，那超出的部分應付多少錢呢？

生：“超過3km的部分”是0.4km，超出部分不足1km就要按1km計算，要付2元。

師：請看演示

設計意圖：五年級的學生雖然有相關的消費經歷，但缺乏直接的計費經驗，因此學生不容易理解出租車分段計費的標準。對此，筆者通過“閱讀與理解”，讓學生在較充分的時間內專心審題，并在對計費標準形成一定認識的基礎上與同桌相互交流分享，自主形成對計費標準較為全面的認知;通過“問題引導”，在學生匯報數學信息的時候適時發問或追問，引導學生在生生互動和師生互動中拓寬對計費標準的理解;通過“直觀輔助”，讓學生在喜聞樂見的動畫演示中加深對計分標準的理解。

2.分析與解答

師：請同學們獨立解答例題以及出租車計價表。（老師投影不同的學生作業，然后師生互動點評。）

師：我采訪一下這位同學，請說說你是怎么想的？

生：因為不足1km要按1km計算，所以6.3km約等于7km，然后求出超過3km部分的里程，也就是用7km減3km得出超出了4km，求出超出3km部分的出租車費是8元，最后加上起步價8元得出出租車費是16元。

師：說的很有條理。誰來說說：在8+8=16（元）這條式子當中，前一個8和后一個8分別表示什么意思？

生：前一個8表示起步價，后一個8是超出3km部分的價格。

師：說得好！我們再看有一位同學是這樣算的，你們覺得怎么樣？

生：做錯了。

師：有沒有做對的地方呢？

生（思考后）：6.3km≈7km做對了，是按不足1km要按1km計算的。

師：那他錯在的地方呢？

生：他沒有算起步價。

生：他把全程都按每千米2元計算了，只超過3km部分才按每千米2元計算。

師：大家分析的很到位。這個問題的關鍵就在于里程在3km之內和之外，存在著兩種不同的計費標準。

師：我們可以用怎樣的數量關系式表示出租車費？

生：出租車費等于起步價加上超出3km部分的價錢。

師：說的好。

板書：出租車費 = 起步價 + 超出部分價格。

師：像這樣的計費方式，我們叫做分段計費（板書課題）。

本題與以往所學的類似題目的不同之處，就是里程數在3km以內和以外，有兩種不同的計費標準。而這個3km就是這兩種計費標準的分段點（分界點）。

所以，我們在實際計費中，首先要先找出分段點，看分成了哪兩段，再弄清每段各自對應的計費標準，最后進行計算。

設計意圖：筆者通過引導學生對解題過程中“對”與“錯”的分析與思考，讓學生形成出租車分段計費的一般方法和經驗，并在此基礎上，突出解決分段計費問題的關鍵在于弄清分段點，從而弄清不同范圍對應的計費標準，并為總結出租車費數量關系式做好鋪墊。

3.回顧與反思

師：請大家接著看第（2）小題，你們有什么發現？（學生一邊根據投影核對自己的答案，一邊觀察表格中的數據）

生：我發現數據都是雙數。

師：這個發現有意思。還有嗎？

生：一個比一個多2。

師：是誰引起了它們一個比一個多2呢？

生：行駛里程數。

師：哦，出租車費隨著行駛里程數的增大而增加，可以這樣說嗎？

生：是的。

師：誰有不同的意見？

生：老師，我發現里程在3km以內時，出租車費沒有隨著里程數的變動而增加，都只收8元。

師：那應該怎么說才好呢？

生：在起步價范圍之外，出租車的行駛里程增加了，車費也隨著增加。

師：這樣說就很全面了。它們的這種變化的關系還可以用這樣一個動態圖來表示，大家請看（老師一邊操作幾何畫板，一邊解說租車費的變化情況）。

師：在3km以內，車費都是8元。當超過了3km，路程增加了，出租車費也就隨著增加。

師：請大家猜想一下，出租車為什么要使用“起步價”這樣的計費標準呢？

生：因為出租車要用汽油，很費錢。

生：因為出租車行駛的路程太短，就賺不了錢。

師：大家的猜想都很合理。出租車的運營成本很高，如果路程太短容易導致司機虧本，所以設置起步價也就保護了司機的基本利益。

設計意圖：利用動態圖演示的方式，數形結合，幫助學生直觀地理解“出租車收費模型”中兩個量之間的變化關系，初步感受函數思想。

（三）變式訓練，運用模型

1.解決自來水費問題

師：看來同學們都是精明的消費者，現在老師有兩張水費單，請大家分別求出他們各要付自來水費多少元？

學生自主解答，教師巡查并挑選學生解答樣本投影。

小云：11×2.5=27.5元，

小可：12×2.5=30元? ? ? ? 17-12=5噸

5×3.8=19元 30+19=49元。

師：請問你是如何思考的？

生：小云家用了11噸水，屬于12噸以內，使用每噸2.5元的計費標準。小可家用了17噸水，超過12噸部分的是5噸，所以前面12噸使用每噸2.5元的計費標準，后面5噸使用每噸3.8元的計費標準。

師：說的好。自來水計費和出租車計費一樣，都屬于分段計費。分段點是12噸。自來水費的數量關系式是怎樣的呢？

生：自來水費等于12噸以內的價格加上超出12噸部分的價格。

師板書：

自來水費 =? 一級水費 + 二級水費

2.感受生活中的分段計費例子

（1）課件出示圖1～圖4。

師：大家請看圖1～圖4，它們分別是什么計費規則？

生：圖1是停車場計費規則，圖2是天然氣計費規則，圖3是計電費規則，圖4是快遞計費規則。

師：它們有沒有什么共同點？

生：都是按分段來計費。

師：選擇一個你熟悉的圖，說說它的分段點是什么？

生：圖4快遞計費點分段點是20噸，分成了正常收費和20公斤以上收費。

師：哎，這與出租車計費有什么不同嗎？

生：雖然看上去都是分成了兩段，但快遞計費每段里面又分成了首重和續重兩段，所以也可以看做分成了4段。

師：對。分段計費根據實際情況有分成兩段或者多段等。

師：看到圖1-圖4，我們想到了什么？

生：看來，分段計費在我們生活中有著廣泛的應用啊。

設計意圖：讓學生經歷不同的分段計費情境，并在筆算、口算、歸納與總結等不同的活動體驗中，豐富對分段計費的認識。

（四）梳理歸納，課堂小結

1.在本節課上，我們學到了哪些知識？

2.在解決分段計費問題時，我們要注意哪些問題？

設計意圖：引導學生回顧學習過程，歸納注意事項，小結解決分段計費問題的一般方法。

（五）布置作業，課外延伸

師：同學們，請大家在課后寫一篇關于用分段計費解決問題的數學日記。

設計意圖：引導學生以數學的眼光觀察生活，從數學的角度發現問題和解決問題，從而發展數學建模的核心素養。

板書設計：

分段計費

出租車費 =? ?起步價 + 超出部分價格

自來水費 =? 一級水費 + 二級水費

七、教學實錄的反思與總結

本文利用課堂實錄的方式，記錄并再現了《分段計費》這一課的教學設計與課堂互動，并通過“三個充分”，以突出本課例“聚焦核心素養，彰顯育人價值”的價值取向。

（一）選取指向學科核心素養的教學素材，充分展了現數學與生活的密切聯系

本節課的核心概念就是“分段計費”。在五年級學生現有的生活經驗中，計費活動主要是集中在單一標準的計費問題上（模型：總價=單價×數量），對于按多標準計費（即分段計費或階梯計費）問題，雖然或多或少接觸過類似的話題，但大多沒有親身經歷過真實的計算思考和付費實踐。為了突破這個學困點，筆者選擇了一組日常生活中需要分段計費的生活情境，通過解決出租車計費和水費問題，以及思考快遞費、電費、停車費、燃氣費等問題，不僅初步建立起了“分段計費”的數學模型，而且讓學生體會到“分段計費在我們生活中有著廣泛的應用”。像這種從問題中來、又到生活中去的學習過程，很好地突出了“數學建模”的學科核心素養在課堂學習、生活遷移和學科育人上的作用。

（二）設計基于學科核心素養的教學活動，充分挖掘和發揮數學思想方法的育人功能

本課設計了5個課堂活動，分別是針對出租車計費的閱讀與理解活動、分析與解答活動、回顧與反思活動，針對水費計費的學習遷移活動，以及針對一組生活費中分段計費的拓展活動，體現了“數學教學首先是數學活動的教學”這一理念，讓學生在學習、遷移和拓展等課堂活動中積累基本的學習活動經驗。

例如，在閱讀與理解活動中，對于出租車計費這個生活中的數學問題，通過使用線段圖，輔之以動畫顯示的方式，而不是單純讓學生畫線段圖的方式，能讓學生對“起步價”的理解更加直觀、生動、深刻，進而牢牢抓住“分段點”這一關鍵，滲透分段計費的函數思想。又如在回顧與反思活動中，通過操作演示用幾何畫板制作的出租車收費示意圖，以數形結合的方式引導學生在初步建立了分段計費的數學模型的基礎上，再次直觀感受在不同的計費區間執行不同的計費標準，在行駛里程小于或等于3公里時按起步價計費，行駛里程大于3公里時，按“起步價 + 超出部分價格”來計費，學生通過“當行駛里程大于3公里時，出租車費隨著行駛里程的增加而增加”的現象，從行駛里程與出租車費之間的變化關系中，更好地感悟數學思想方法，從而在解決計費問題時能根據實際恰當運用分段計費的策略。

（三）采用有利于培養學科核心素養的教學方式，充分凸顯“非線性”教學育人價值

本課根據“非線性”教學策略，在上的設計和實施上的“兩個優化”，使課堂教學走向開放、活化和深度。

1.優化了教學內容的呈現方式

教學內容的“非線性”呈現方式決定了具有開放性的課堂學習方式。筆者堅持“教懂不如學懂”的理念，在本節課上不是“擠牙膏”式地呈現教學內容，而是打開教材上課。學生對教學內容的感知、閱讀和理解不再是按照老師的節奏整齊劃一、亦步亦趨，使“快者快學、慢者慢學”成為可能。例如，在關于出租車計費規則的閱讀與理解的教學環節中，老師不是直接告訴，也不是過場式的，而是真正留出時間讓學生閱讀教材中的計費規則，在獨立思考中初步感知“分幾段收費、分段點是什么、每段的計費標準和起步價”等重要信息，為隨后的展示交流活動奠定基礎，讓學生能更好地感知“出租車計費”問題中蘊含的“變與不變”。又如，筆者用練習卷的方式一次性呈現“出租車計費”問題和“填表”等教材內容，讓學生有整塊的時間先進行全過程思考，后展示交流，有利于落實“深度學習”。

2.優化了課堂的互動方式

課堂的“非線性”互動方式決定了具有活性和深度的課堂學習品質。在課上，“師-生”單一互動模式讓位于“生-本、生-生、生-師、生-媒”的混合互動模式，教學信息也不再是“師講生聽、師寫生記、師批生改”式的單向傳遞，而是在“生、本、生、師、媒”等主客體之間多維度、充分地傳遞、展開和生發。這種網狀互動就為老師在課堂上相機開展個性化教學提供了肥沃的土壤。例如，在“出租車計費問題”的“分析與解答”活動中，當展示一個學生計算出租車里程數為6.3km的車費的解答過程（ 6.3km≈7km ，7×2=14（元））時，筆者面對其他學生“做錯了”的回答，沒有簡單地加以否定，或者及時糾正，而是進一步發問“有沒有做對的地方呢？”引導學生從中發現正確的成份，化錯誤為教學育人的契機，無論是對當事學生的呵護與鼓勵，還是對其他學生學習品質的培養和健全人格的塑造都有著深遠的意義。又如，在學完例題，歸納出“出租車計費”問題的數學模型之后，筆者順勢提出“出租車為什么要使用‘起步價這樣的計費標準”這一問題，引導學生正確理解設置起步價的目的——保護司機的基本利益，從而更好地提供公共出行服務。

本課例聚焦學生的數學學科核心素養，通過分析和解決一組生活中常見的需要分段計費的實際問題，抓牢教學關鍵點，讓學生經歷了數學建模的全過程;通過數形結合等多種方式，讓學生直觀地感受了蘊含在問題解決過程之中的函數思想;通過優化課堂教學策略，開展“非線性”教學，使學生的學習更具選擇性、彈性，使老師的教學更具個性化，從而使課堂教學走向更加開放、活化和深度，充分彰顯課堂教學的育人價值。