基于粒子群優化的板球系統雙閉環滑?？刂?/h1>
2020-03-24 06:06:16趙聚樂韓光信
吉林化工學院學報 2020年1期 關鍵詞：系統
趙聚樂，韓光信
(吉林化工學院 信息與控制工程學院，吉林 吉林 132022)
板球系統是一種典型的欠驅動系統[1]，其多變量、非線性、開環不穩定等特性為其控制器設計帶來了極大困難[2].對于包含伺服系統的板球系統模型，由于其階次較高，部分狀態變量不可測，直接以伺服系統的輸入電壓為控制量的單回路控制方案極難實行，相比之下，以伺服系統的角度控制為內環和以小球的位置控制為外環的雙閉環控制方案更具有可行性，且受廣大研究者的青睞.板球系統的伺服系統可通過PI控制實現調速角度控制，對于板球系統的開環不穩定特性，可通過PD控制[3]、LQR控制等算法設計位置控制器[4]，但傳統PD控制控制精度有限且參數整定過程繁瑣，并且在板球系統受到摩擦、噪聲等外界干擾時不能保證系統的穩定性；LQR的控制效果依賴于狀態反饋權值矩陣的選擇，不易實現精準控制；自抗擾控制與控制能夠有效地克服系統擾動[5-6]，但前者需整定參數較多，后者需依靠精確線性模型推導，均不是最理想選擇.滑模變結構控制可使系統沿特定軌跡小幅度運動，設計過程與系統參數變化和擾動無關，具有強魯棒性，且設計過程簡便，便于實際應用.
針對上述問題，在板球系統簡化模型的基礎上，基于Lyapunov理論設計了滑?？刂破?，提高了板球系統的穩定性與抗干擾能力，對于滑?？刂瓶赡艹霈F的抖振問題，選用粒子群算法優化滑模趨近律參數和滑模界面參數，有效地消減了滑模抖振，并且提高了系統的控制精度.
1 板球系統的數學模型
1.1 運動系統數學模型
圖1為加拿大Quanser公司生產的板球系統.通過兩個直流伺服系統提供轉矩，推動平板轉動，使小球在平板上滾動.通過攝像頭采集小球位置，以光電編碼器、電位計為傳感器測量伺服電機轉速與負載角度，將所測量的變量作為反饋，調整小球位置.板球系統實驗臺如圖1所示.
圖1 板球系統實驗臺
板球系統的數學模型可由拉格朗日方程推導得出，以平板角度為輸入的模型如式(1)所示[7].
(1)
(2)
其中，B=m/(m+Ibr2)，Ib=2mr2/5.f1=f2=Bfx/m，為系統x、y兩方向所受的綜合擾動.
1.2 伺服系統數學模型
伺服系統由直流電機與齒輪傳動部分組成，通過直流運動方程與齒輪傳動關系建立伺服系統運動方程組，聯立可以得到負載轉速與電壓方程關系為[9]：
J1(dωl/dt)+B1ωt=Av，
(3)
其中，J1為伺服系統等效轉動慣量，ω1為伺服系統負載轉速，B1為伺服系統阻尼系數，A為等電壓系數，v輸入電壓.負載轉速與負載角度為θ導數關系，負載角度與平板角度之間可以近似為比例關系，比例系數為l，以x方向為例，伺服系統以電壓為輸入，平板輸入角度為輸出的模型如式(4)所示.
(4)
2 位置控制器設計
2.1 控制方案
由于板球系統關于平板中心對稱，因此可對系統在x、y兩方向上單獨設計控制器控制.首先，根據測量得到的小球位置x、y和目標位置xd、yd設計位置控制器，產生理想的平板旋轉角度αd與βd，根據αd、βd和實際平板旋轉角度α與β設計角度控制器，產生控制電壓V1與V2，調節伺服系統的輸出角度α與β，作為板球系統的輸入，實現小球位置控制.綜上所述，確定了板球系統的“分布式-雙閉環”控制方案，如圖2所示.
圖2 “分布式-雙閉環”控制方案
2.2 滑模變結構控制器
滑模變結構控制是一種迫使系統在一定特性下沿規定狀態軌跡上下做小幅度、高頻率運動的一種控制，滑?？刂频囊幎顟B軌跡被稱為滑模界面，可以人為設定，與被控對象參數及外部擾動無關.因此，滑?？刂凭哂锌焖夙憫?、魯棒性強的特點.
以板球系統x方向子系統為例，設定小球控制目標為xd，則系統誤差為如下：
e=x-xd
(5)
則滑模面為：
(6)
(7)
(8)
在控制過程中，由于系統狀態軌跡沿滑模界面不斷切換，會造成抖振，因此選擇滑模指數趨近律，通過調節趨近律參數減消抖振[11].滑模切換控制律為：
usw=(-ks-ηsgn(s))/(-Bg)
(9)
則滑?？偪刂坡蔀椋?/p>
u=ueq+usw
(10)
構造Lyapunov函數為：
V=s2/2
(11)
(12)
2.3 粒子群算法優化參數
滑模界面參數c跟控制器的響應速度有關，趨近律參數中k與趨近速度有關，較大的η會引起滑模抖振.因此需要綜合整定3個參數使控制效果達到最佳.粒子群算法具有在全局范圍內的尋優能力，因此可以用來優化控制器參數.為使系統偏差與控制輸入同時收斂為零，選取由誤差e與控制輸入u構成的積分型性能指標，如式(13)所示，通過求其極小值來優化滑?？刂破鲄?
(13)
粒子群優化參數算法流程如圖3所示，其步驟如下：
(1)初始化粒子的位置與速度；
(2)將粒子群中的粒子賦值給控制器參數c、k和η，通過Simulink模型與式(13)計算性能指標值，性能指標值即為粒子適應值；
(3)將每個粒子適應值與其最優位置適應值比較，若較好，將其作為當前適應值；
(4)每個粒子當前適應值與種群最優位置適應值比較，若較好，將其當前群體適應值；
(5)判斷是否滿足最大迭代次數與適應值下限，若是，退出算法，否則更新每個粒子速度與位置，返回步驟(2)并重復算法.
圖3 粒子群優化參數流程圖
3 仿真分析
根據實驗裝置指導書，板球系統參數B=0.715、g=9.81 N/kg，平板傾斜角度最大范圍為±0.088arc，伺服系統參數J1=0.002 13 kg/m-2，B1=0.084 4 N·m/(rad/s)，A=0.129 N·m/v，干擾f1、f2上限選為0.5.伺服系統控制器選擇PI控制，經過粒子群優化，其參數為Kp=800，Ki=0.1；位置控制器選擇滑?？刂?，粒子群算法最大迭代次數為25，種群規模為30；設小球初始位置為[0.15,0.15]，跟蹤如式(14)所示的倒“8”字型曲線.并與通過粒子群優化得到參數為Kp=3，Kd=0.5的PD位置控制器作比較，粒子群適應值變化如圖4所示，軌跡跟蹤比較如圖5所示，滑?？刂婆cPD控制的控制輸入如圖6所示.
x=0.1sin0.5t
y=0.1sint
(14)
迭代次數/次圖4 適應值變化曲線
x方向位置/m圖5 倒“8”字軌跡跟蹤曲線
時間/s圖6 位置控制器控制輸入
跟蹤倒“8”字形曲線過程中，在t=10 s時刻，分別在小球運動x方向與y方向施加0.03 m的位置干擾，通過觀察在干擾處的曲線變化來測試滑?？刂破鞯聂敯粜?，并與傳統PD控制作比較，仿真結果如圖7所示.
x方向位置/m圖7 位置干擾下的曲線
由圖4可知，粒子群適應值隨著迭代次數增加，穩定收斂到一極小值.圖5顯示，滑?？刂葡碌那€與目標曲線基本重合，與PD控制相比，其能更快速準確地跟蹤上目標曲線，并趨于穩定.圖6顯示，與PD控制相比，滑?？刂祈憫俣雀?，達到穩定的時間更短，且控制輸入快速趨近于零，幾乎無抖動.由圖7可知，在系統受擾動時，相較于PD控制，滑?？刂葡碌能壽E波動較小，具有更強的抗干擾能力.
4 結 論
本文主要使用滑?？刂扑惴ㄔO計了板球系統位置控制器，實現了系統的軌跡跟蹤控制，提高了系統的魯棒性.仿真實驗表明，對于滑模控制常見的抖振問題，選用指數趨近律效果明顯，使用粒子群算法優化趨近律能更好地調和滑?？刂浦休^快趨近速度與產生滑模抖振二者之間的矛盾，產生最優的控制效果.
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針對上述問題，在板球系統簡化模型的基礎上，基于Lyapunov理論設計了滑?？刂破?，提高了板球系統的穩定性與抗干擾能力，對于滑?？刂瓶赡艹霈F的抖振問題，選用粒子群算法優化滑模趨近律參數和滑模界面參數，有效地消減了滑模抖振，并且提高了系統的控制精度.
1 板球系統的數學模型
1.1 運動系統數學模型
圖1為加拿大Quanser公司生產的板球系統.通過兩個直流伺服系統提供轉矩，推動平板轉動，使小球在平板上滾動.通過攝像頭采集小球位置，以光電編碼器、電位計為傳感器測量伺服電機轉速與負載角度，將所測量的變量作為反饋，調整小球位置.板球系統實驗臺如圖1所示.
圖1 板球系統實驗臺
板球系統的數學模型可由拉格朗日方程推導得出，以平板角度為輸入的模型如式(1)所示[7].
(1)
(2)
其中，B=m/(m+Ibr2)，Ib=2mr2/5.f1=f2=Bfx/m，為系統x、y兩方向所受的綜合擾動.
1.2 伺服系統數學模型
伺服系統由直流電機與齒輪傳動部分組成，通過直流運動方程與齒輪傳動關系建立伺服系統運動方程組，聯立可以得到負載轉速與電壓方程關系為[9]：
J1(dωl/dt)+B1ωt=Av，
(3)
其中，J1為伺服系統等效轉動慣量，ω1為伺服系統負載轉速，B1為伺服系統阻尼系數，A為等電壓系數，v輸入電壓.負載轉速與負載角度為θ導數關系，負載角度與平板角度之間可以近似為比例關系，比例系數為l，以x方向為例，伺服系統以電壓為輸入，平板輸入角度為輸出的模型如式(4)所示.
(4)
2 位置控制器設計
2.1 控制方案
由于板球系統關于平板中心對稱，因此可對系統在x、y兩方向上單獨設計控制器控制.首先，根據測量得到的小球位置x、y和目標位置xd、yd設計位置控制器，產生理想的平板旋轉角度αd與βd，根據αd、βd和實際平板旋轉角度α與β設計角度控制器，產生控制電壓V1與V2，調節伺服系統的輸出角度α與β，作為板球系統的輸入，實現小球位置控制.綜上所述，確定了板球系統的“分布式-雙閉環”控制方案，如圖2所示.
圖2 “分布式-雙閉環”控制方案
2.2 滑模變結構控制器
滑模變結構控制是一種迫使系統在一定特性下沿規定狀態軌跡上下做小幅度、高頻率運動的一種控制，滑?？刂频囊幎顟B軌跡被稱為滑模界面，可以人為設定，與被控對象參數及外部擾動無關.因此，滑?？刂凭哂锌焖夙憫?、魯棒性強的特點.
以板球系統x方向子系統為例，設定小球控制目標為xd，則系統誤差為如下：
e=x-xd
(5)
則滑模面為：
(6)
(7)
(8)
在控制過程中，由于系統狀態軌跡沿滑模界面不斷切換，會造成抖振，因此選擇滑模指數趨近律，通過調節趨近律參數減消抖振[11].滑模切換控制律為：
usw=(-ks-ηsgn(s))/(-Bg)
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V=s2/2
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(13)
粒子群優化參數算法流程如圖3所示，其步驟如下：
(1)初始化粒子的位置與速度；
(2)將粒子群中的粒子賦值給控制器參數c、k和η，通過Simulink模型與式(13)計算性能指標值，性能指標值即為粒子適應值；
(3)將每個粒子適應值與其最優位置適應值比較，若較好，將其作為當前適應值；
(4)每個粒子當前適應值與種群最優位置適應值比較，若較好，將其當前群體適應值；
(5)判斷是否滿足最大迭代次數與適應值下限，若是，退出算法，否則更新每個粒子速度與位置，返回步驟(2)并重復算法.
圖3 粒子群優化參數流程圖
3 仿真分析
根據實驗裝置指導書，板球系統參數B=0.715、g=9.81 N/kg，平板傾斜角度最大范圍為±0.088arc，伺服系統參數J1=0.002 13 kg/m-2，B1=0.084 4 N·m/(rad/s)，A=0.129 N·m/v，干擾f1、f2上限選為0.5.伺服系統控制器選擇PI控制，經過粒子群優化，其參數為Kp=800，Ki=0.1；位置控制器選擇滑?？刂?，粒子群算法最大迭代次數為25，種群規模為30；設小球初始位置為[0.15,0.15]，跟蹤如式(14)所示的倒“8”字型曲線.并與通過粒子群優化得到參數為Kp=3，Kd=0.5的PD位置控制器作比較，粒子群適應值變化如圖4所示，軌跡跟蹤比較如圖5所示，滑?？刂婆cPD控制的控制輸入如圖6所示.
x=0.1sin0.5t
y=0.1sint
(14)
迭代次數/次圖4 適應值變化曲線
x方向位置/m圖5 倒“8”字軌跡跟蹤曲線
時間/s圖6 位置控制器控制輸入
跟蹤倒“8”字形曲線過程中，在t=10 s時刻，分別在小球運動x方向與y方向施加0.03 m的位置干擾，通過觀察在干擾處的曲線變化來測試滑?？刂破鞯聂敯粜?，并與傳統PD控制作比較，仿真結果如圖7所示.
x方向位置/m圖7 位置干擾下的曲線
由圖4可知，粒子群適應值隨著迭代次數增加，穩定收斂到一極小值.圖5顯示，滑?？刂葡碌那€與目標曲線基本重合，與PD控制相比，其能更快速準確地跟蹤上目標曲線，并趨于穩定.圖6顯示，與PD控制相比，滑?？刂祈憫俣雀?，達到穩定的時間更短，且控制輸入快速趨近于零，幾乎無抖動.由圖7可知，在系統受擾動時，相較于PD控制，滑?？刂葡碌能壽E波動較小，具有更強的抗干擾能力.
4 結 論
本文主要使用滑?？刂扑惴ㄔO計了板球系統位置控制器，實現了系統的軌跡跟蹤控制，提高了系統的魯棒性.仿真實驗表明，對于滑模控制常見的抖振問題，選用指數趨近律效果明顯，使用粒子群算法優化趨近律能更好地調和滑?？刂浦休^快趨近速度與產生滑模抖振二者之間的矛盾，產生最優的控制效果.
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