實驗：初中生數學思考力增長的新作用點

陳兆緒

【摘要】數學思考力是指一種邏輯運用、本質聯系和信息建立的能力，也是一種搜索更廣、潛入更深的思維活動.以數學問題為導向，以解決問題為目標，注重學生對知識的探究過程，這正是數學思考力的體現.以數學實驗為載體，讓學生在動手操作過程中，掌握思考方法，懂得思考步驟，具備思考能力，促進學生思考力的增長.

【關鍵詞】初中數學;數學實驗;數學思考力

德國數學家康托爾說過：“數學的本質在于思考的充分自由.”義務教育課程標準將“雙基”調整為“四基”，即在“基礎知識、基本技能”的基礎上，增加了“基本思想、基本活動經驗”.數學思考力是數學核心素養的內核.數學實驗可以啟迪學生的思維，在課堂中以學生為中心，以實驗為手段，使學生在數學實驗操作過程中理清數學本質，并讓數學思考意識在數學教學中落地生根.

一、數學實驗與學習方法：讓學生在實驗中形成主動思考意識

美國心理學家布魯納曾說：“興趣是對學習的最好刺激，一個人抱著興趣去研究某個問題時就會達到驚人的程度.”數學實驗要求學生用親身觀察、思考和試驗等途徑實現知識內化，同時，在實驗中設置一連串層層深入的問題，可以激發學生學習興趣，引領著學生興趣盎然的走向挑戰，從而促使學生在實驗中形成主動思考意識.

案例1 一元一次方程應用

演示實驗：用個大水杯向一個小水杯倒水.

由于杯子容量不一樣，所以，在大杯往小杯倒水后，會發生水面高度的變化，利用這一生活中比較常見的事例，創設教學情境，讓學生對水面高度的變化原因產生好奇，為后面的數學實驗做好鋪墊.

為學生提供兩個底面直徑分別為3.2 cm的A量筒和4 cm的B量筒.讓學生首先將B量筒裝滿水，水面高度為4 cm，然后將B量筒內的水倒進A量筒內，認真觀察倒水前后兩個量筒內水的高度有什么變化？A量筒內的水面高度為多少？

在興趣的驅動下，學生積極地開始動手實驗，這種直觀的、簡單的實驗操作讓學生很快就發現了在倒水的過程中，由于底面半徑發生了變化，所以，水面的高度也隨之發生變化，但始終存在水的體積不變這一現象.根據這一等量關系，我們可以假設A量筒內的水面高度是x cm，則有：

選擇學生比較熟悉的體積問題，其等量關系一目了然，學生通過等體積水及水面的變化過程產生問題意識，并體會其中所蘊含的不變量，從而引出用一元一次方程求解實際問題的基本步驟.

二、數學實驗與數學理解：讓學生在實驗中思考數學概念的內涵和外延

心理認知學認為：初中生的思維能力比較弱，且正處于想象、推理的萌芽階段.處于該階段的學生思考力的形成離不開直觀形象支撐，尤其是對于數學概念的理解，運用數學實驗可幫助學生直觀地觀察數學對象，讓學生不再抽象中掙扎徘徊，在實驗中思考數學概念的內涵與外延，加深對數學概念的理解.

師：現在請同學們將一張紙平放在桌面上，然后往紙上滴一滴墨水，然后將紙張對折壓平，稍等片刻后，打開紙，觀察有什么現象？

學生實驗，很快有的學生就發現紙張兩邊的墨跡沿著折痕折疊后重合.繼續出示圖1.

師：誰能說出如何剪出這幅圖案呢？請你們動手試一試.

（學生動手操作，發現將圖案對折后兩部分完全重合，所以可以利用圖形對稱的方法剪出圖案.）

師：通過前面兩次操作，你們發現它們有什么共同點？

生1：像這樣，將一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果翻折后的兩個圖形關于這條折痕重合，就可以說這兩個圖形關于折痕對稱.

生2：在數學上，我們可以稱這兩個圖形是軸對稱圖形，這條直線是對稱軸.

師：那我們學過的哪些圖形是軸對稱圖形？

生3：圓形、等邊三角形.

生4：長方形.

生5：平行四邊形.

生6：平行四邊形好像不是軸對稱圖形.

學生出現了不同的意見，有的贊同，有的反對，如何來驗證呢？接下來筆者讓學生用學具進行自主操作.

生7：我從平行四邊形的一個角點向其對邊垂直剪下一個三角形，然后將這個直角三角形拼在另一個缺口，就變成了長方形.因為長方形是軸對稱圖形，所以平行四邊形也是.

師：聽著好像有道理.

生8：可是我發現無論怎么折，兩邊都無法重合，所以我認為平行四邊形不是軸對稱圖形.

師：還有補充的嗎？

生9：剛才我們學過判斷一個圖形是否為軸對稱圖形，關鍵是看它對折后兩邊是否能重合.所以，依照軸對稱圖形的概念來看，顯然平行四邊形不是軸對稱圖形.

在對稱軸與軸對稱圖形概念的教學中，筆者安排了三次數學實驗，讓學生在環環相扣的實驗中充分地思考、體驗、感受，以及產生不同觀點之后的相互碰撞、辯論，有效激活了學生的思考力.

三、數學實驗與動態生成，讓學生在實驗中思考“變”與“不變”

數學實驗是學生通過動手、動腦和動口“做數學”的一種學習活動，是學生綜合運用作圖工具、測量工具、模型、剪刀和紙張等進行數學思維的探究活動.克萊因曾說過：“數學是一種精神，一種理性精神.”其中，“理性”二字充分體現從“變”中準確把握“不變”的本質，并能以“不變”應“萬變”.

問題1：已知在△ABC中，邊長BC、AC、AB的長度分別為a、b、c.

（1）若△ABC為一般三角形時，a、b、c之間有什么數量關系？

（2）若∠B=∠C，a、b、c之間有什么數量關系？

（3）若∠A=∠B=∠C，a、b、c之間有什么數量關系？

請同學們在草稿紙上畫圖進行探索，從問題（1）到問題（3），從一般到特殊，讓學生認識到當三角形的角度發生變化時，其對應三邊關系也隨之發生變化.

預設生成：學生從問題（1）中得到a-bb）;從問題（2）中得到b=c;從問題（3）中得到a=b=c.在此基礎上，學生會提出疑問：當∠C=90°時，a、b、c之間有什么數量關系？由于學生有了關于任意三角形、等腰三角形和等邊三角形三邊關系的經驗，導致學生認為三角形的三邊之間數量關系都是“一次性”的，從而會使得他們的思維產生遷移.這是學生數學思考力的自然生長，對學生的思維發展極為有價值.因此，筆者充分利用這一動態生成資源，設計了以下數學實驗：請學生借助幾何畫板軟件，改變直角三角形三邊的長度，讓學生分組測量計算并驗證猜想.學生通過定量的分析，可能會得到a、b、c之間一種新的數量關系，這樣學生就會有第二次、三次的新發現，學生的思維品質也在動態生成中逐漸得到發展.

這是筆者在課前沒有預設到的，所以，趁著學生興趣正濃厚時，讓學生利用表格、幾何畫板等工具自主設計實驗，學生通過多組數據的統計分析，結果發現當測定的數值保留精度足夠高，幾乎所有的數值都滿足a2+b2=c2.由此，我們就可以說直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理.

在數學學習過程中，常常遇到學生因找不到突破口而困惑的現象，此時可通過數學實驗來發現規律，打開突破口解決問題.在上述環節中，我們以特殊值獲得了關系式a2+b2=c2，那么該公式是否具有普適性？需要學生再次從特殊回到一般，這也是學生

思考力增長的難點.通過分析式子結構關系，可以聯想到邊長分別為a、b和c的正方形面積，因此，應用“構造法”的思想，對任意的直角三角形ABC進行構造，如圖2所示.

只要證明正方形DCBE和CFGA的面積之和等于正方形BAMN的面積即可.我們常用的方法是用割補法，這一過程，對于學生的思維具有極大的挑戰.只有給予學生充足的時間，鼓勵學生積極思維，勇敢面對挑戰，才能克服思維的障礙.學生在草稿紙上作出了多種嘗試：

生3：我首先對a2+b2=c2進行變形，得到（a-b）2+2ab=c2，所以構造出圖3.然后根據割補法得到圖4.

利用數學實驗將整個勾股定理的探索過程有機串聯起來，讓學生在邊操作邊思維的過程中實現對勾股定理的猜測、推斷和證明，最后反思和總結勾股定理的證明過程，將知識上升為經驗，促進學生思考力再次增長.

英國迪士尼樂園的路徑是游客“走”出來的，數學思考力的構建也需要依靠師生的共同努力才能形成.在數學實驗教學中，應給學生預留充足的時間，激活思考點，延展數學思考觸角，讓數學思維逐漸走向開放，形成勤于思考的良好習慣.

【參考文獻】

[1]李賓， 張徐慧. 例談數學思考力[J]. 中學數學， 2018（20）：49-51.

[2]楊友平. 數學思考力：在“自然境遇”中自由生長[J]. 江蘇教育研究， 2015（10）：62-65.