基于解題，提煉數學概念內涵

袁增軍

【摘要】數學概念教學是培養學生核心素養的重要途徑.本文以“函數的性質”教學為例，闡釋了在解題基礎上注重提煉概念內涵，以靜制動，培養學生的數學核心素養.

【關鍵詞】解題;數學概念;內涵;核心素養

【問題提出】

弗賴登塔爾認為：“數學知識不是教師教出來的，而是研究出來的.”同樣的，數學概念不能僅僅依靠教師的教，應該讓學生在解題過程中發現規律、共性，喚起好奇心，通過不斷探究，對數學概念進行提煉，做到真正地學以致用.概念是數學的“細胞”，“函數的性質”概念數量多、章節跨度大，初學者若想形成系統性的理解難度較大.學生間常說的“得函數者得數學”就足以讓人感受到其重要性.下面以蘇教版教材中“函數性質”的教學為例，分享筆者的實踐與思考.

【解題困惑】

教學觀察：應用反證法的大體步驟，學生反應較好，而在面對“最小”這一關鍵結論的證明時，明顯力不從心.同第二組問題一樣，“舉反例”是較為嚴謹的解法，但有部分學生想不到這種解法，即使想到了也心存忐忑，為什么可以這樣做？這算不算“投機取巧”？

【內涵挖掘】

對于函數的奇偶性、周期性、單調性、最值等問題，在它們各自定義的表述中，一般存在著“任意……都有……”這樣一些關鍵詞，聯想到解題過程中經常面對的恒成立問題，教師完全可以引導學生進一步樹立“恒成立”的意識.當然，對“恒成立”這一內涵的挖掘，還要通過以下三個維度進行深度分析.

維度一，聚焦概念中的適用范圍.函數的奇偶性、周期性、最值中的“恒成立”，均是針對函數的定義域而言，屬函數的整體性質.但是函數單調性中的“恒成立”未必針對定義域，也有可能是針對定義域的子區間，它屬于局部性質.兩者不可混淆.

維度二，聚焦概念中式子的形式.函數的奇偶性、周期性中的“恒成立”，是等式的恒成立，而函數單調性、最值中的“恒成立”則是不等式恒成立.形式不同，解題路徑各異，只有方向把握準確，解題才能高效.

維度三，聚焦生活中的實例.如從反面論證“恒成立”問題為什么需要“舉反例”，可以在課堂上舉例.“有人說，高一（6）全班同學皆近視眼，而事實并非如此，有的同學還準備參加飛行員的選拔，那么該如何去反駁此人？”問題一經拋出，學生自然會對該人言論進行針對性的反駁——找出一個視力正常的同學即可.

【水到渠成】

【學以致用】

問題是數學的靈魂，高中數學課堂教學是圍繞問題展開的，知識因問題而起，為了解決問題才要更新知識、創造新知;學習因問題而導，教師只有科學、合理地設置問題，才能夠有效地引導學生深入探究，主動構建新知;素養因問題而成，學生經歷了發現、分析、解決問題過程，才能從中汲取數學素養的養分.問題的設計和教學的掌控是學生數學素養落地生根、開花結果的關鍵所在.所以，教師在進行概念教學時，一定要對課本習題進行變式、引申和拓展，同時要及時提煉數學概念的內涵，達到學以致用的目的.本節課后，筆者設計如下問題組供學生研討.

【逆向研究】

“恒成立問題”作為高考試題中的常青樹，除上述由外及里的內涵挖掘的題目之外，顯性的恒成立問題比比皆是.因此，教師在解題教學中要加強研究，充分挖掘概念內涵，以培養學生辨析思維、求異思維能力.從綜合性來看，題目主要分為單一型和復合型兩類.從變量個數來看，常見的有一個變量和若干變量（且以兩個變量為主）.從函數個數來看，常見的有一個或兩個函數，有時兩個函數往往還需要轉化成一個函數.這些問題看起來難以理解，想要解決需要從源頭切入，挖掘其內涵，辨析其核心區別，依靠轉化與化歸、數形結合等數學思想尋求突破.

綜上，t的取值范圍是（-∞，3].點評 一參數一變量與“存在性”“任意性”有機結合，是高考中的常見題型，使抽象的函數問題變得更加難以理解.事實上，這類問題只要抓住全稱量詞和存在量詞的基本含義，辨析清楚兩者之間的差別，就能夠迅速地解題.

【教學思考】

數學概念是數學知識的基礎，是數學思想方法的載體.基于解題，挖掘概念內涵，是培養學生數學核心素養的重要途徑.教師在講解函數的奇偶性、單調性、周期性、最值等概念的過程中，抽象出一般規律和結構，即共同且本質的數學特征“恒成立”，學生解題時就能夠快速提煉出“恒成立”這一模型，從而實現問題的圓滿解決.“隨風潛入夜，潤物細無聲.”在這個過程中，學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等素養也必然會得到塑造和鞏固.

概念課教學既是基礎也是重中之重，但現實中卻呈現出兩種不良傾向.一是存在“教材不吃透，全靠習題湊”的狀況，筆者曾在縣城內做過觀察，記錄了七節數學評優課，當提到一次函數“y=kx+b（k≠0）”中“k=0”式子還是不是函數問題時，僅有一位教師能夠引導學生通過咀嚼概念做出清晰的判斷，其他老師都是含含糊糊、閃爍其詞，聽者揪心，學生添堵.二是對概念不夠重視，筆者發現教師教學能力的層次與概念教學的重視程度正相關，基本功扎實、具有一定的研究能力、學生評價高的老師在概念教學上不僅重視而且“能歌善舞”.相對而言，有些教學能力一般的老師卻“好高騖遠”.對于廣大的一線數學教師，我們要進一步喚醒、激勵、鼓舞，讓“重視概念教學、注重立長遠，靜心打基礎，教得輕松、學得愉快”蔚然成風.各地教研機構也要當好“紅娘”，指導學科備課組進行針對性的閱讀、研討，讓概念教學立于舞臺中央.

眾所周知，在社會、家庭、學校各方“推動”下，學生的考試分數被過度關注，使教學異化，我國高中數學教育普遍存在著同質化的傾向.北京大學張順燕教授曾精辟地指出：“教學有三種境界，即授人以業，授人以法，授人以道.”前者凸顯所授知識的準確性，中者強調所授知識的深刻性，而后者方是教學的最高境界，它要求教學不但要使學生將知識與方法融會貫通，而且要把數學的思想方法、本質規律及內部聯系等靈魂性的東西揭示出來，為學生的終身發展打下堅實的基礎，它強調所授知識的本質.這就為我們的教學路徑指明了方向——抓住問題的本質.所以我們要從人的角度研究教學，改進方法，認真落實學生核心素養的培養.在概念教學設計中我們要進一步凸顯問題導向，確立“建構→解題→內涵→升華”流程，其中基礎在建構和解題，關鍵在通過解題進一步審視、研讀、辨析概念，挖掘內涵，使二者形成知識能力和態度的閉環，從而實現學識水平和人文素養的雙提升.