有效關聯，深度理解平均數

楊娜先

【摘要】作為統計的關鍵概念之一，平均數是一個重要的刻畫數據集中趨勢的統計量.想要掌握平均數的概念，教師除了要在新授課中深入解讀教材、有效開展教學之外，對于習題的設計是幫助學生深化理解的又一重要領地.本文以一道平均數習題為例，從知識本源和過程型序層面，圍繞“有效關聯，深度理解”，從背景與價值、思路與關聯、拓展與反思三個方面展開探究.

【關鍵詞】平均數;統計;學科本質;關聯;有序

去年5月，我校南京市前瞻性項目《小學數學學科素養下“五有”課堂育人模式的探索與實踐》正式立項.“五有”課堂倡導學科內容有本有源，教學過程有型有序.學科內容有本有源，強調溝通知識之間的聯系，凸顯數學本質;教學過程有型有序，體現關鍵問題引領下的自主探索和教與學的有序開展.

下面以蘇教版四年級上冊第四單元《統計表和條形統計圖（一）》中的一道習題為例，圍繞“有效關聯，深度理解”，從背景與價值、思路與關聯、拓展與反思三個方面展開分析.

【習題呈現】

一、背景與價值

理解和掌握核心概念是統計與概率領域的教學重點.在小學階段，對于作為統計核心概念的平均數進行教學時，教師除了要深入解讀教材，有效開展教學之外，還要認識到習題的設計是深化概念理解的又一重要領地.

分析上面的題目，其涉及的知識本質是平均數的意義.作為統計的關鍵概念（數據、隨機、平均、取樣、樣本、總體等）之一，平均數是一個重要的刻畫數據集中趨勢的統計量，能夠較好地反應一組數據的總體情況，對于統計結果的分析起著至關重要的作用.

本題的解決過程蘊涵的思想方法主要有統計思想、可逆思想、模型思想、推理思想，還可能應用到數形結合思想、一一對應思想、比較思想、假設思想、方程思想、函數思想、轉化（出入相補）思想等，涉及的核心素養主要是數據分析，數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象等也有所涉及.

二、思路與關聯

學生在解題過程中，通常有以下幾種思路.

利用條形圖，課件可以聚焦放大分數差部分，依次通過動畫演示，把數學和語文比平均分少的那部分直條移到表示英語的直條上方.（線段圖同理）

【分析：利用條形圖可清楚直觀地看到“移多補少”的過程.此思路蘊涵統計思想、數形結合思想、推理思想、一一對應思想、比較思想、轉化（出入相補）思想】

思路四：推理法

三門科目中，語、數兩科的成績都低于平均分，那么英語成績肯定高于平均分.四個選項中只有A選項大于90，所以選A.

【分析：根據平均數的特征推理得出.此思路較為抽象，蘊涵統計思想、模型思想、推理思想、比較思想、函數思想、出入相補思想】

下面幾種思路不常見.

思路五：代入法

【分析：把四個選項依次代入表格中計算，哪個正確就選哪個.此思路蘊涵統計思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想、假設思想】

思路六：從失分角度想起

【分析：假設每科的滿分都為100分，用三科的總失分減去語、數失分，就是英語失分.此思路蘊涵統計思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想、假設思想】

思路七：假設法

【分析：先假設英語的分數，如果結果有偏差再做整體調整.此思路蘊涵假設思想、統計思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想】

【分析：計算出語、數兩科的“平均分總分”與實際總分的差，再與平均分相加減.此思路蘊涵統計思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想、函數思想、出入相補思想】

思路十：以80分作為參照

【分析：因為已知的兩科成績都在80分以上，所以以80分作為參照，再根據總分間的差進行計算.此思路蘊涵統計思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想、函數思想、出入相補思想】

思路十一：列方程求解

設瑩瑩的英語成績為x分，列方程89+88+x=90×3，解得x=93.

【分析：由“三科成績相加=平均分×3”列方程解答.此思路蘊涵方程思想、統計思想、可逆思想、模型思想、推理思想】（當然，列方程求解時可以列出不同的方程式）

思路的豐富性雖反映了學生思維的不同層次，卻也提高了展示和交流的難度.抓住本質，溝通聯系，有序展開教學是唯一正解，才能“以己昭昭，使人昭昭”.

從平均數的意義和算法來看，以上思路可以歸為三大類.

第一大類：從總得分（總數量）想起

思路一：從總分（得分角度）想起.算出三科的總分，減去語文、數學的得分就是英語的得分.

思路十一：列方程求解.設瑩瑩的英語成績為x分，列方程解題.

思路五：代入法.把四個選項依次代入計算，哪個正確就選哪個.

思路七：假設法.先假設英語的分數，如果結果有偏差再做整體調整.

思路八：假設+一一列舉.先假設英語的分數，并一一列舉，再逐步調整.

思路六：從失分角度想起.用三科的總失分減去語、數失分，就是英語失分.

思路十：以80分作為參照，根據總分間的差進行計算.

這些思路都是依據基本算法“平均數=總數量÷份數”，通過推理、計算、調整得出結論.這一大類可以按以下三個層次進行教學：

第一層次：思路一和思路十一.思路一是最為常見的基礎算法.思路十一，由于方程的相關內容教學大綱安排在五年級下冊，因此，可能上過課外輔導班的同學會想到，如果出現，可以把此思路和思路一進行比較，溝通聯系.當然，為了面向全體學生，教師可以用三角形、正方形等圖形或者“*”“※”等符號代替x.

第二層次：思路五、思路七和思路八.這三種思路都涉及假設策略，區別在于：思路五運用了選擇題的答題技巧，思路七、八都是從均分入手的，教學時可放在一起進行比較和歸納.

第三層次：思路六和思路十（在確實有此類型題目的前提下使用，如果沒有則不必特意介紹）.這兩種思路都是以某一分數作為參照，再根據計算結果進行推理、計算、調整，思維難度較大.

對于此大類，學生可能出現的學習困難是：想不到或者不理解用90×3去算總分.教師在教學中應引導學生再次回顧平均數的由來、意義和計算方法，追根溯源，必要時可呈現平均數的計算公式，給思維搭腳手架.

第二大類：移多補少

思路三：移多補少（數形結合）.

思路二：與平均分進行比較.

90+（90-89）+（90-88）=93（分）

思路九：將總分與平均分相結合.

90×2-89-88+90=93（分）

這一大類更加直觀地體現了“平均數是一個重要的刻畫數據集中趨勢的統計量，能夠較好地反映一組數據的總體情況”這一本質意義和屬性.

教師在教學時可引導學生展開比較：

（1）分別對思路二、九和思路三加以比較，讓學生指一指思路二、九的每一步在思路三的圖中的什么地方.這樣數形結合，一一對應，學生能夠深刻感悟平均數“集中趨勢”的統計意義.思路二和思路九有表示數學與語文分數比平均數少的部分依次移動和整體移動的細微差別.

（2）呈現線段圖，與條形統計圖加以對比，體會一組數據（不全相等）的平均數一定小于這組數據里的最大數，大于這組數據里的最小數.

這一大類依然存在逆向思維，教師在教學中可采用對比不同圖示和標記平均線的方法，變抽象為半直觀，化難為易.

第三大類：推理論證

思路四：推理法

三門科目中，語、數兩科的成績都低于平均分，那么英語成績肯定高于平均分.四個選項中只有A選項大于90，所以選A.

學生能夠從這個層面去分析問題，說明已經很好地掌握了平均數這一統計關鍵概念的內在含義，并能夠熟練運用“平均數刻畫數據集中趨勢”這一屬性去分析問題和解決問題，具有較高的數據分析能力和統計素養.

三、拓展與反思

1.基礎練習

可直接更改數據，或者增加數據.

例如：瑩瑩數學、語文、英語、科學四科的平均分是92分，其中語文90分，英語91分，科學88分，她的數學成績是（ ）分.

A.92 B.90 C. 99 D.91

2.拓展練習

可結合解題策略或者實際規則進行變式練習.

例如：某班男生人數是女生人數的3倍.在一次測試中，班級平均分是90分，男生平均分是87分，那么女生平均分是多少分？

另外，這部分內容有必要增加平均數易受極端數據影響的題目，讓學生感知平均數這個統計量的局限性，以及它與其他統計量之間的關系，進一步理解平均數的統計學意義.

在“五有”課堂開放、動態的教學中，教師抓住學科本質進行有效關聯，甄別主次，有序交流，通過對比不同層次的解題策略，能夠讓學生對平均數概念的理解從模糊走向清晰，從淺顯走向深刻，從表面走向實質，學習過程將更加豐盈，思維發展更加深入.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版[M].北京：北京師范大學出版集團，2011.

[2]蔡金法.中美學生數學學習的系列實證研究：他山之石，何以攻玉.北京：教育科學出版社，2007.

[3]俞正強.種子課2.0：如何教對數學課[M].北京：教育科學出版社，2020.