淺談數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

林鳳明

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)知識(shí)中提煉出來(lái)的精髓，是學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己能力的一種重要的工具.本文通過(guò)對(duì)化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論和方程與函數(shù)這四種重要的數(shù)學(xué)思想方法在初中教學(xué)實(shí)踐中的具體運(yùn)用進(jìn)行探討，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)提供思路.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)方法;滲透

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及其所使用數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它蘊(yùn)含于具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)方法之中，又經(jīng)過(guò)了一定的提煉與概括，成為理性的認(rèn)識(shí)[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）明確指出：“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，它隱含在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)中[2].”這表明對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)是重要的.在初中階段，對(duì)于如何在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，教師們都進(jìn)行了很多有意義的探討.如：魏光明（2018）探究初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的策略[3].在初中階段，數(shù)學(xué)思想方法雖然有很多，但是最基本的數(shù)學(xué)思想方法主要還是體現(xiàn)為化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程和函數(shù)思想（謝堅(jiān)，2017[4];張琳，2019[5]等）這幾種.初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在日常的教學(xué)中滲透這幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在潛移默化中很自然地掌握數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生得到更全面的發(fā)展.

一、化歸思想

化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，即在解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將現(xiàn)有的問(wèn)題通過(guò)某種方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把它轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的、學(xué)生更熟悉的問(wèn)題去解答的一種解題思路.化歸思想是使一種數(shù)學(xué)對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的思想.

化歸思想是初中數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的基本思想之一.在具體轉(zhuǎn)化方法上，可以通過(guò)多種具體手段進(jìn)行，比如加減法、乘除法之間的轉(zhuǎn)化，乘方和開(kāi)方之間的轉(zhuǎn)化，添加輔助線以及增設(shè)輔助元.在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)該潛移默化，讓學(xué)生意識(shí)到很多常用的數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)上就是一種轉(zhuǎn)化的方法.然后教師再結(jié)合實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，從而讓學(xué)生很自然地掌握化歸的思想方法.當(dāng)然，在具體的實(shí)踐教學(xué)中，可以先提出具體問(wèn)題，再引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，讓學(xué)生去探求轉(zhuǎn)化的思路.

在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該有意識(shí)地滲透化歸思想.比如，在求解分式方程時(shí)，讓學(xué)生回憶一下整式方程的解法，然后運(yùn)用化歸思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的整式方程，從而使學(xué)生順利地求出分式方程的解;再如，在解二元一次方程組時(shí)所使用的“消元法”也是化歸思想的具體應(yīng)用，通過(guò)適當(dāng)?shù)睾愕茸儞Q，先消去一個(gè)未知數(shù)，使二元一次方程組化歸為學(xué)生熟悉的一元一次方程，讓學(xué)生很容易掌握二元一次方程組的求解.類似地，還有解一元二次方程時(shí)所采用的“降次法”、化分式為整式等等，這些都是化歸思想的具體體現(xiàn).

例1 （2015年泰安中考題）某服裝店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種款型時(shí)尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元.

（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購(gòu)進(jìn)多少件？

（2）商店按進(jìn)價(jià)提高60%標(biāo)價(jià)銷售，銷售一段時(shí)間后，甲種款型全部售完，乙種款型剩余一半，商店決定對(duì)乙種款型按標(biāo)價(jià)的五折降價(jià)銷售，很快全部售完，售完這批T恤衫，商店共獲利多少元？

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)字與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種最常用的數(shù)學(xué)思想.通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生以一種全新的思維方式去理解問(wèn)題，使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，降低問(wèn)題的難度，從而使學(xué)生更容易解決問(wèn)題，也有利于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用大致可分為“由數(shù)解形”和“以形助數(shù)”兩類.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)該靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.例如，教師在講授“有理數(shù)及其運(yùn)算”時(shí)，可以充分利用數(shù)軸，讓學(xué)生深刻理解“具有相反意義的量”具體表示什么，這對(duì)學(xué)生掌握相反數(shù)、絕對(duì)值等概念起了很大的幫助.教師在講授“生活中的數(shù)據(jù)”這一章時(shí)，可以通過(guò)圖形來(lái)表示數(shù)據(jù)，更是讓學(xué)生直觀明了.而教師在講授“平面圖形及其位置關(guān)系”這一章時(shí)，可以通過(guò)數(shù)量上的變化，讓學(xué)生對(duì)線段的長(zhǎng)度和角的大小有一個(gè)非常直觀的認(rèn)識(shí)，這有助于學(xué)生更好地進(jìn)行線段和角的比較.教師在講授“平面直角坐標(biāo)系”時(shí)，可以有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生思考，嘗試把教室當(dāng)作一個(gè)平面，構(gòu)建現(xiàn)實(shí)中的平面直角坐標(biāo)系，這樣，每個(gè)學(xué)生所在的具體位置和數(shù)（幾排幾列）就結(jié)合起來(lái)了.通過(guò)學(xué)生的積極參與，數(shù)形結(jié)合思想很容易滲透到學(xué)生的思維中，使學(xué)生清楚平面直角坐標(biāo)系上的每一點(diǎn)所代表的意義，這也為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)奠定了更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

三、分類討論思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它貫串整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程.首先，初中數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何兩大類，這就是分類思想的體現(xiàn);其次，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類、角的分類、方程及函數(shù)的分類等，都體現(xiàn)了分類思想.所以教師在教學(xué)時(shí)，要給學(xué)生灌輸分類討論思想，即分類標(biāo)準(zhǔn)不同，得出的結(jié)果也不盡相同.在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師要啟發(fā)學(xué)生對(duì)不同情況下的同一對(duì)象進(jìn)行思考，根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)且有條理的分類.

一般來(lái)說(shuō)，在問(wèn)題的答案或結(jié)論不唯一的前提條件下，我們就可以考慮采用分類討論思想，將問(wèn)題存在的所有可能情況進(jìn)行逐一分析，得出在不同條件下的答案或結(jié)論.

例3 某等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為4 cm和6 cm，則它的周長(zhǎng)為多少？

解 由于題目中沒(méi)有明確底邊和腰的具體長(zhǎng)度，導(dǎo)致該三角形周長(zhǎng)出現(xiàn)不唯一的情況，這時(shí)就應(yīng)該采用分類討論的思想.因此，三角形三邊長(zhǎng)有4 cm，4 cm，6 cm和6 cm，6 cm，4 cm這兩種情況.在第一種情況中，三邊長(zhǎng)分別為4 cm，4 cm，6 cm的三角形周長(zhǎng)為14 cm，在第二種情況中，三邊長(zhǎng)分別為6 cm，6 cm，4 cm的三角形周長(zhǎng)為16 cm.

在該類題型中，還隱含了一個(gè)條件，就是三角形的三邊關(guān)系必須滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，若所進(jìn)行的分類不能滿足這一要求，則不必討論.

值得注意的是，雖然分類討論是一種非常有效的數(shù)學(xué)方法，但是在具體運(yùn)用分類討論解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)已知的條件進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)且有條理的分類，以免在分類中出現(xiàn)遺漏和重復(fù)，即注重分類的完備性.當(dāng)然，也不要盲目機(jī)械地急于進(jìn)行分類，應(yīng)對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行深入研究，充分挖掘已知量和未知量的關(guān)系，得出最佳的解決方案.

四、方程與函數(shù)思想

函數(shù)思想是發(fā)現(xiàn)變量與變量之間關(guān)系的一種思想.方程思想是將研究的未知變量與已知變量建立聯(lián)系，或者轉(zhuǎn)化成方程的關(guān)系.它們是初中階段運(yùn)用較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法.無(wú)論是一元一次方程、二元一次方程組，還是一元二次方程等都涉及方程思想.而通過(guò)分析不同變量間存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)思想，可以讓數(shù)學(xué)問(wèn)題更直觀，更有邏輯性.因此，教師在日常的教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生探究初中數(shù)學(xué)方程和函數(shù)所包含的思想，并靈活運(yùn)用它們?nèi)ニ伎己徒鉀Q問(wèn)題.在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師可以從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，利用已知條件或熟悉的公式把握問(wèn)題中已知變量和未知變量之間的數(shù)量關(guān)系，使其轉(zhuǎn)化為方程（或方程組）、不等式等數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題獲得解答.在“二元一次方程組”這一章中，比較經(jīng)典的雞兔同籠的問(wèn)題就是方程思想的具體應(yīng)用.

例4 （2015年攀枝花市中考題）某超市銷售甲、乙兩種商品，甲商品每件進(jìn)價(jià)10元，售價(jià)15元;乙商品每件進(jìn)價(jià)30元，售價(jià)40元.

（1）若該超市一次性購(gòu)進(jìn)兩種商品共80件，且恰好用去1600元，購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

（2）若該超市要使兩種商品共80件的購(gòu)進(jìn)費(fèi)用不超過(guò)1640元，且總利潤(rùn)（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）不少于600元，請(qǐng)你幫助該超市設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案，并指出該超市利潤(rùn)最大的方案.

分析 （1）明顯是雞兔同籠問(wèn)題的具體應(yīng)用，可以采用方程思想解題.選擇一元一次方程或者二元一次方程組均可.（2）是不等式組的具體應(yīng)用，可以根據(jù)題目中的已知條件構(gòu)建不等式組來(lái)解決問(wèn)題.

同樣，教師在教學(xué)過(guò)程中也要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地滲透函數(shù)思想.比如在講授“正、反比例函數(shù)以及一次函數(shù)”時(shí)，自始至終給學(xué)生灌輸變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)思想.

初中數(shù)學(xué)所包含的思想方法并不局限于上述探討的幾種，還有諸如觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合以及歸納與類比等思想方法，具體怎么在教學(xué)過(guò)程中滲透，這就要求教師在教學(xué)環(huán)節(jié)中不斷地挖掘.在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，充分提煉出教材中具體的數(shù)學(xué)思想方法，精心設(shè)計(jì)每一堂課，深思熟慮每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，有意識(shí)、有針對(duì)性地滲透，做到讓學(xué)生在潛移默化中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法.此外，教師在教和授的同時(shí)，還要善于引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，逐步明確數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈及掌握一些基本的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能積極主動(dòng)地運(yùn)用這些思想.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉婧，馬文杰. 關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究[J]. 臺(tái)州學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（06）：65-71.

[2]蔣夢(mèng)霞，馬文杰. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的研究[J].臺(tái)州學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（03）：71-75.

[3]魏光明. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（10）：34.

[4]謝堅(jiān). 數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究[J]. 課程教育研究，2017（34）：109-110.

[5]張琳. 初中數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（18）：23-24.