高中數(shù)學(xué)中的思想方法

郜力

摘? ? 要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，要學(xué)好高中數(shù)學(xué)，掌握基本數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：思想方法;解題;數(shù)學(xué)能力

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，要學(xué)好高中數(shù)學(xué)，掌握基本數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，如果數(shù)學(xué)思想方法理解不透，即使概念定理、公式背得再熟，也只能解一些較為基礎(chǔ)的題目，一旦題目稍加整合，單純的知識也就難以派上用場了。

一、函數(shù)與方程的思想

所謂函數(shù)思想是即指將現(xiàn)實生活中的研究對象利用聯(lián)系和變化的客觀規(guī)律抽象成數(shù)學(xué)概念或?qū)ο螅?shù)學(xué)模型，即函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)和特征研究變化規(guī)律，從而解決問題的數(shù)學(xué)思想。而方程的思想是指將問題運用方程來處理和解決的數(shù)學(xué)思想方法。在很多情況下，方程和函數(shù)是能夠相互轉(zhuǎn)化的。

如：如圖，已知一個高為x的圓柱在底面半徑與高均為2的圓錐中.求：

（1）用x表示此圓柱的側(cè)面積表達式;

（2）當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時，求此圓柱的體積.

分析：本題的解答就需要用到函數(shù)的思想方法。

解：（1）設(shè)圓柱的半徑為r，圓柱的高為x，

則=，解得r=2-x，且0

所以圓柱的側(cè)面積為：

S圓柱側(cè)=2πrx=2π（2-x）x=-2πx2+4πx，（0

（2）由S圓柱側(cè)=-2πx2+4πx=2π[-（x-1）2+1]，0

當(dāng)x=1時，S圓柱側(cè)取得最大值為2π，

此時r=1，圓柱的體積為V圓柱=πr2x=π·12·1=π.

二、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

轉(zhuǎn)化思想是很重要的一種思維方式，在高中數(shù)學(xué)問題中隨處可見，而且利用轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法能使得復(fù)雜問題簡單化，從而使數(shù)學(xué)問題得以快速圓滿地解答。

如：已知函數(shù)f（x）=x2+（m-2）x-m，，且函數(shù)y=f（x-2）是偶函數(shù).

（1）求g（x）的解析式;.

（2）若不等式g（lnx）-nlnx≥0在上恒成立，求n的取值范圍;

分析：要解決此問題的反復(fù)運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

（1）通過y=f（x-2）是偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化推出m-6=0，然后求解函數(shù)的解析式.

（2）令lnx=t，命題等價于g（t）-nt≥0在t∈[-2，0）上恒成立.然后轉(zhuǎn)化利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解：（1）∵f（x）=x2+（m-2）x-m，

∴f（x-2）=（x-2）2+（m-2）（x-2）-m=x2+（m-6）x+8-3m.

∵y=f（x-2）是偶函數(shù)，∴m-6=0，∴m=6.

∴f（x）=x2+4x-6，

∴.

（2）令lnx=t，∵，

∴t∈[-2，0），不等式g（lnx）-nlnx≥0在上恒成立，

等價于g（t）-nt≥0在t∈[-2，0）上恒成立.

∴.

令，，則，，∴.

三、分類討論的數(shù)學(xué)思想

在高中數(shù)學(xué)中，有些情況直接考慮問題就會顯得沒有頭緒或者無從入手，這時候就不得不考慮分類討論，分類討論既是高中數(shù)學(xué)的難點，也是高考的高頻考點。

如：已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的最小值為8，求實數(shù)a的值;

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=|f（x）|+f（x）-16有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：本題重點考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。

解：（Ⅰ）函數(shù)=，

令，易知t∈（-∞，-2]∪[2，+∞），則h（t）=t2-2at+2a2-2在（-∞，-2]∪[2，+∞）上的最小值為8，函數(shù)h（t）的對稱軸為t=a，

①當(dāng)a≥2時，，此時;

②當(dāng)a≤-2時，，此時;

③當(dāng)-2

④當(dāng)0≤a<2時，h（t）=h（2）=2a2-4a-6=0，此時無解;

故實數(shù)a的值為;

（Ⅱ）令g（x）=0，則f（x）=8，

則由題意，方程t2-2at+2a2-2=8，即t2-2at+2a2-10=0必有兩根，且一根小于-2，另一根大于2，

則，解得-3

故實數(shù)a的取值范圍為（-3，-1）.

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，注重考查了換元思想及分類討論思想。