交換環上的w-內射模性質探究

吳明科

（西南科技大學 城市學院，四川 綿陽621000）

1 引言

內射模是同調代數中非常重要的模類，本文通過導出函子Ext以及相對w-子模的概念，推廣內射模的定義，建立w-內射模。通過討論將指出w-內射模是內射模的真推廣，并利用w-內射模的概念建立w-Noether環的一個等價刻畫.在本文討論中如無特殊說明，提到的環均假設是有單位元的交換環。

2w-內射模

設M是R-模，I是R的w-理想，如果 Ext1（RR/I，M ）=0，則稱M為w-內射模。由于M為內射模當且僅當對R的任意理想I有 Ext1（RR/I，M ）=0，從而得出內射模是w-內射模。

引理1：設M是R-模，A是M的子模。那么A為M的相對w-子模當且僅當GV-tor（M/A）=0。

定理1：設M為R-模，則M為w-內射模當且僅當對任意的循環GV-無撓模模N， Ext（1RN，M ）=0。

證明：設M為w-內射模，N為GV-無撓的循環模，顯然有N?R/I，其中I是R的w-理想。

由定義有 Ext（1RR/I，M ）=0，所以 Ext1（RN，M ）=0；反之，設I是R的w-理想，由引理1有R/I是GV-無撓的，而，則R/I是循環模，所以 Ext1（RR/I，M ）=0，所以，M為w-內射模.

定理2：設M為R-模，則以下等價。具體為：①M為w-內射模；②任意同態f∶A→M都可以擴張為同態g∶B→M，其中A是B的相對w-子模，B/A是循環模；③同態f∶I→M都可以擴張為同態g∶R→M，其中I是R的w-理想。

證明①?②。根據條件建立如下的正合列0→A→B→B/A→0。其中，A是B的相對w-子模，且B/A是循環模，從而有長正合列

由引理1知，B/A是GV-無撓的，根據定理1可以得到Ext1（RB/A ，M ）=0，所以有正合列0→HomR（B，M）→HomR（A，M）→0，顯然每個同態f∶A→M都可擴張為同態g∶B→M。

②?③，取A=I，B=R，顯然是可證的。

③?①，建立正合列0→I→R→R/I→0，其中I是R的w-理想，所以得到長正合列0→HomR（R/I，M）→HomR（R，M）→HomR（I，M）→ Ext（1RR/I，M ）→Ext1（RR，M）→…，因為 Ext（1RR， M） =0，所以HomR（R，M）→HomR（I，M）→Ext（1RR/I，M ）→0，根據條件同態f∶I→M可以擴張為同態g∶R→M，顯然有正合列HomR（R，M）→HomR（I，M）→0，所以 Ext（1RR/I，M ）=0，則M為w-內射模。

通過上面的討論，從模擴張的角度建立的等價定義如下所示。

設M為R-模，任意給出的模與同態圖形如圖1所示。

圖1 任意模與同態圖形

恒存在模同態h∶B→M，使圖1完備為一交換圖，則稱M為w-內射模，其中底行是正合的，并且Im（g）是B的相對w-子模，B/Im（g）是循環模。

從正合列的角度來看，w-內射模有以下結論。

定理4：設M為R-模，則以下等價。具體為：①M為w-內射模；②任意正合列0→M→B→C→0都是分裂的，其中C為GV-無撓的循環模；③對任意的正合列有正合列其中，C是循環的GV-無撓模。

圖2 正合交換圖

由引理1知GV-tor[B/Im（f）]，所以B/Im（f）是GV-無撓模。圖2中下行是正合列，因此上行也是正合列，所以由于上行是分裂的，則存在同態φ∶L→M，滿足φa=1E。令g=φβ，則有gf=h，因此M為w-內射模。

①?③，由定理3顯然成立，已經了解內射模是可除模，下面證明w-內射模也是可除模。

定理5：如果M為R上的w-內射模，則M是可除模。

證明，設a是R的一個非零因子，令I=（a），顯然可證I是R的w-理想。任取x∈M，并建立同態映射f∶I→M，其中f（ra）=rx。由于M是w-內射模，所以該同態f可擴張到R上，即有同態g∶R→M，使得，則有因此M是可除模。

根據文獻[6]，設M是R-模，I是R的主理想，如果對任意同態f∶I→M都可以擴張到R上，則稱M為P-內射模。

引理2：設R是整環，M是R-模，如果M是w-內射模，則M是P內射模。

特別之處在唯一分解整環，可進一步得到以下內容。

定理6：設R是唯一分解整環，M是R-模，則M是P-內射模當且僅當M是w-內射模。

證明，設M是P-內射模，I是R的w-理想，根據文獻[2]得到I是主理想，利用P-內射模的定義，對于任一同態映射f∶I→M都可擴張到R上，因此M是w-內射模；反之，由引理2顯然成立。

定理7：設R是唯一分解整環，則每個w-內射模是內射模的充分必要條件是R是Dedekind環。

證明：先證必要性，設M是P-內射模，根據定理6在唯一分解環R上M是w-內射模，由條件M是內射模，根據文獻[2]得到R是Dedekind環。再證必要性，設R是Dedekind環，M是w-內射模，根據定理6，M是P-內射模，利用文獻[6]得到M是內射模。

在唯一分解整環的條件下，建立定理7的逆否命題如下所示。

定理7'：設R是唯一分解整環，則存在一個w-內射模不是內射模的充分必要條件是R不是Dedekind環。

由于作為唯一分解整環，又不是Dedekind環的例子是存在的，例如R=Z[x]，因此在R=Z[x]上，必然存在一個w-內射模不是內射模，這樣便證明了w-內射模是內射模的真正推廣。

3 w-Noether環的一個等價刻畫

w-Noether環是經常討論的一種環類，下面將利用w-內射模在直和方面的性質，建立w-Noether環的一個等價刻畫.

引理3：設M是R-模，M=A⊕B，則A是M的相對w-子模當且僅當B是GV-無撓模。

引理5：設有模同態f∶M→N，其中模M是有限型的，且M=（AM）w，A是有限生成的，則

定理8：設R為環，則以下各條等價。具體為：①R為w-Noether環；②任意多個GV-無撓的w-內射模的直和是w-射內射模；③可數無限多個GV-無撓的w-內射模的直和是w-內射模。

通過上面的定理8的討論，利用w-內射模在直和方面的性質建立w-Noether環的一個等價刻畫。