基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法的舵系統(tǒng)振動(dòng)特性分析

陳東陽(yáng)， 肖清， 謝俊超， 朱衛(wèi)軍， 芮筱亭

(1.揚(yáng)州大學(xué) 電氣與能源動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225100; 2.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心,湖北 武漢 430064; 3.南京理工大學(xué) 發(fā)射動(dòng)力學(xué)研究所,江蘇 南京 210094)

大多數(shù)工程機(jī)械系統(tǒng)在一定程度上都存在振動(dòng)問(wèn)題，它們的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)通常需要考慮其振動(dòng)特性[1]。為了提高水下航行器舵系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性能，更好的計(jì)算出舵系統(tǒng)的水彈性，必須準(zhǔn)確計(jì)算出舵系統(tǒng)的固有頻率和振型。在工程問(wèn)題中，如果不能準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)的振型和頻率，很難得到一個(gè)具有良好性能的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)并且很難進(jìn)行下一步的振動(dòng)控制分析[2]。

工程實(shí)際中，如水翼艇的水翼，潛艇中的升降舵、艉舵等船舶構(gòu)件作為復(fù)雜的多剛?cè)狍w動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)不當(dāng)時(shí)，在流場(chǎng)中高速運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生顫振現(xiàn)象導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞，或發(fā)生持續(xù)的弱振動(dòng)現(xiàn)象誘發(fā)水噪聲，降低水下航行器的隱蔽性[3-5]。而對(duì)這些結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行流固耦合仿真的第一步是高效準(zhǔn)確的獲取結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性。通常力學(xué)方法在計(jì)算多剛?cè)狁詈象w系統(tǒng)振動(dòng)特性時(shí)，需要建立系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程，不僅需要解決涉及的矩陣階次高計(jì)算工作量大的困難，還可能面臨計(jì)算“病態(tài)”問(wèn)題[6]。尋求水下航行器舵系統(tǒng)等復(fù)雜多剛?cè)狁詈象w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)快速建模和振動(dòng)特性快速計(jì)算方法，是目前工程上解決大系統(tǒng)的流固耦合問(wèn)題的迫切需要。芮筱亭等[7-10]建立了多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)新方法——多體系統(tǒng)傳遞矩陣法(transfer matrix method for multibody system，MSTMM)。該方法先后實(shí)現(xiàn)了線性多體系統(tǒng)的固有振動(dòng)特性和動(dòng)力響應(yīng)及非線性、時(shí)變、大運(yùn)動(dòng)、受控、一般多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究，無(wú)需系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程，程式化程度高、系統(tǒng)矩陣階次低、可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)的快速建模與快速計(jì)算[11-13]。為水下航行器舵系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)快速建模和振動(dòng)特性計(jì)算提供了基礎(chǔ)。

對(duì)于復(fù)雜多剛?cè)狍w的水下航行器舵系統(tǒng)，部分學(xué)者采用有限元法將舵系統(tǒng)的舵葉處理成柔性系統(tǒng)，將舵系統(tǒng)處理為單個(gè)柔性舵葉加一根扭簧的簡(jiǎn)化模型，計(jì)算出系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)，再結(jié)合勢(shì)流理論或CFD理論，計(jì)算水翼系統(tǒng)的水彈性問(wèn)題[14-15]。但很少有人從整個(gè)舵系統(tǒng)的角度出發(fā)，建立整個(gè)舵系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，考慮各部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及連接剛度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。且采用有限元法對(duì)簡(jiǎn)化系統(tǒng)進(jìn)行建模，依然單元數(shù)過(guò)多、矩陣階次高、計(jì)算效率低且理論背景復(fù)雜、推導(dǎo)過(guò)程繁瑣。本文基于MSTMM對(duì)整個(gè)舵系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行快速建模和仿真并與基于有限元法(finite element method, FEM)的ANSYS仿真軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 水下航行器舵系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

水下航行器的舵系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的多剛?cè)狍w系統(tǒng)，如圖1所示。舵系統(tǒng)主要由舵葉、舵軸、舵柄、傳動(dòng)桿、拉桿、球鉸、柱鉸、液壓系統(tǒng)組成。該舵系統(tǒng)稱為圍殼舵，其軸承外表面、導(dǎo)向裝置、密封裝置、液壓缸與該航行器的圍殼直接相連，固定在水下航行器上。導(dǎo)向拉桿上下運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)舵柄轉(zhuǎn)動(dòng)，舵柄與舵軸固結(jié)在一起，因此也帶動(dòng)舵軸轉(zhuǎn)動(dòng)。傳動(dòng)桿穿過(guò)密封裝置，只能上下運(yùn)動(dòng)。在軸承的兩端以及舵葉之間有定位環(huán)裝置，以確保舵軸沒(méi)有左右串動(dòng)。

圖1 水下航行器舵系統(tǒng)Fig.1 The hydroplanes system of an underwater vehicle

由于水下航行器舵系統(tǒng)的舵葉是位于水下，舵葉表面有細(xì)孔，水流可以通過(guò)細(xì)孔流進(jìn)流出，假設(shè)舵葉內(nèi)部的水為附加質(zhì)量，舵葉應(yīng)變很小，應(yīng)力應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系；舵系統(tǒng)的軸承座、導(dǎo)向裝置、密封裝置、液壓缸都是用螺栓連接在水下航行器上。水下航行器質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于舵系統(tǒng)，因此假設(shè)水下航行器為固定邊界。螺栓連接剛度用彈簧表示，舵系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2(a)所示。考慮舵系統(tǒng)每個(gè)部件之間的相互作用，基于MSTMM對(duì)整個(gè)舵系統(tǒng)進(jìn)行建模，動(dòng)力學(xué)模型如圖2(b)所示。

圖2 舵系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意及動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 The hydroplanes system and its dynamic model

在圖2(b)中，舵葉處理為7段考慮軸向振動(dòng)的、不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的彎扭耦合梁(元件1～7，13～19)；柱鉸(元件20)處理為鉸元件；球鉸以及考慮導(dǎo)向裝置與水下航行器的連接剛度，因此在球鉸元件(元件22)中添加了x方向的彈簧剛度；舵軸(元件9、11)處理為可以考慮橫向、軸向振動(dòng)以及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的非耦合梁；軸承與軸承套之間的接觸剛度以及定位環(huán)與舵葉之間的接觸剛度用彈簧鉸表示(元件26、28、30)；軸承座與水下航行器的連接剛度用彈簧表示(元件27、29、31)；拉桿處理為可以考慮x軸方向、軸向振動(dòng)的非耦合梁(元件21)；傳動(dòng)桿在密封裝置中只能上下運(yùn)動(dòng)，因此處理為桿元件(元件23)；舵柄處理為剛體(元件10)；液壓缸提供的是液壓彈簧剛度，同時(shí)考慮到密封裝置與水下航行器之間的連接剛度，液壓缸處理為一個(gè)彈簧鉸(元件24)；液壓缸與水下航行器之間的連接剛度處理為一個(gè)彈簧鉸(元件25)；傳遞方向是從左端點(diǎn)和下端點(diǎn)到右端點(diǎn)，所有元件的狀態(tài)矢量統(tǒng)一為[X,Y,Θz,Mz,Qx,Qy,Θx,Mx]T。

基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法[7-8,16]，建立水下航行器舵系統(tǒng)振動(dòng)特性快速計(jì)算方法，以實(shí)現(xiàn)對(duì)水下航行器舵系統(tǒng)的固有振動(dòng)特性的準(zhǔn)確分析。

1.2 傳遞方程推導(dǎo)

根據(jù)多體系統(tǒng)傳遞矩陣法對(duì)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的定義[7,16]，推導(dǎo)舵系統(tǒng)的傳遞方程：

(1)

式中：

(2)

令:

(3)

因此，式(1)可以寫為：

-Z19,0+T1-19Z1,0+T27-19Z27,0+

T29-19Z29,0+T25-19Z25,0+T31-19Z31,0=0

(4)

式中Tj-19的下標(biāo)j-19表示傳遞方向中從該j稍元件到根元件的傳遞分支。

根據(jù)文獻(xiàn)[7,16]，舵系統(tǒng)的幾何方程為：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Gk-l的下標(biāo)k-l表示幾何方程從該元件k到元件l的傳遞分支。

1.3 舵系統(tǒng)各部件的傳遞矩陣

常用的梁、桿、剛體、彈簧鉸等的傳遞矩陣可以查閱文獻(xiàn)[7]得到。

根據(jù)舵葉的變形特性，舵葉一般可以簡(jiǎn)化為一根彎扭耦合梁。圖2(a)中的舵葉為非等截面水翼，可以將舵葉分成多段等截面不同結(jié)構(gòu)參數(shù)分布的彎扭耦合梁。文獻(xiàn)[17]已經(jīng)推導(dǎo)了彎扭耦合梁的傳遞矩陣，并給出了獲取舵葉結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法及動(dòng)力學(xué)模型中所用的主要參數(shù)。從圖1可以看到，由于舵葉是固定在舵軸上，導(dǎo)向拉桿連接的球鉸，因此實(shí)際模型中，加入了定位環(huán)來(lái)限制舵軸的左右竄動(dòng)。在圖2(b)的動(dòng)力學(xué)模型中，將定位環(huán)處理為彈簧剛度，因此模型中的舵軸、舵葉、導(dǎo)向拉桿存在x方向的自由度。令文獻(xiàn)[17]中的彎扭耦合梁的傳遞矩陣為DCB=B(1)·B-1(0)，那么考慮彎扭耦合梁的軸向振動(dòng)，得到可以考慮彎曲扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)、軸向振動(dòng)的耦合梁傳遞矩陣:

(9)

剛體的傳遞矩陣為：

(10)

(11)

(12)

式中：Jxz、Jxx、Jzz為剛體的質(zhì)量慣性矩；(c1,c2,c3)為質(zhì)心位置；(a1,a2,a3)為對(duì)應(yīng)U10,I2的輸入點(diǎn)坐標(biāo)；(d1,d2,d3)為對(duì)應(yīng)U10,I3的輸入點(diǎn)坐標(biāo)；(b1,b2,b3)為輸出點(diǎn)處的坐標(biāo)。以U10,I1對(duì)應(yīng)的輸入點(diǎn)位置為原點(diǎn)。

虛擬剛體的傳遞矩陣為：

(13)

(14)

彈簧的傳遞矩陣為：

U27=U28=U29=U31=

(15)

U25=U26=U30=

(16)

(17)

式中：Kx、Ky分別為x和y方向的彈簧剛度；Kh為液壓等效彈簧剛度。

柱鉸的傳遞矩陣為：

(18)

式中K′x為繞x軸的扭轉(zhuǎn)剛度。

球鉸的傳遞矩陣為：

(19)

式中K′z為繞z軸的扭轉(zhuǎn)剛度。

彎扭耦合梁的傳遞矩陣見(jiàn)文獻(xiàn)[17]，即：

(20)

多體系統(tǒng)的傳遞矩陣法[7]的矩陣庫(kù)中包含具有橫向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的非耦合梁傳遞矩陣。根據(jù)MSTMM矩陣推導(dǎo)方法可以得到非耦合梁模型一的傳遞矩陣為：

(21)

式中：

(22)

l和A分別是梁的長(zhǎng)度和截面積。

因此，有：

U9=U11=UUB1

(23)

根據(jù)MSTMM矩陣庫(kù)中的軸向振動(dòng)桿和橫向振動(dòng)梁的傳遞矩陣形式可以得到考慮軸向和橫向振動(dòng)的平面振動(dòng)梁的傳遞矩陣U1為：

(24)

采用方向余弦矩陣將平面振動(dòng)梁轉(zhuǎn)動(dòng)90°，轉(zhuǎn)換矩陣R為：

(25)

轉(zhuǎn)換后的平面振動(dòng)梁的傳遞矩陣U2為：

U2=RTU1R

(26)

根據(jù)狀態(tài)矢量的數(shù)量，擴(kuò)展對(duì)應(yīng)的傳遞矩陣。因此，非耦合梁模型二傳遞矩陣UUB2為：

(27)

因此，有：

U21=UUB2

(28)

桿元件的傳遞矩陣Urod為：

(29)

因此，

U23=Urod

(30)

另外幾何矩陣，

H8,I1=H8,I2=H12,I1=H12,I2=

(31)

(32)

(33)

(34)

1.4 舵系統(tǒng)特征值求解

根據(jù)式(1)～(5)可以寫出舵系統(tǒng)總傳遞方程：

Uall|24×48Zall|48×1=0

(35)

式中：

(36)

邊界條件為：

(37)

求解式(27)即可求出舵系統(tǒng)固有頻率，然后可得到對(duì)應(yīng)于固有頻率ωk的系統(tǒng)邊界點(diǎn)狀態(tài)矢量Zall，進(jìn)而通過(guò)元件傳遞方程得到系統(tǒng)全部聯(lián)接點(diǎn)的狀態(tài)矢量，即為系統(tǒng)的振型。

舵系統(tǒng)的彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度等參數(shù)一般可以由實(shí)驗(yàn)獲得，本文主要通過(guò)前期工作的有限元靜力學(xué)分析方法獲得[17]。由于本文舵系統(tǒng)振動(dòng)特性計(jì)算服務(wù)于流固耦合計(jì)算，因此只關(guān)注前幾階與舵葉振動(dòng)特性相關(guān)的模態(tài)，不研究舵系統(tǒng)的較高階模態(tài)。

2 水下航行器舵系統(tǒng)振動(dòng)特性分析

舵系統(tǒng)在水下運(yùn)作時(shí)，舵葉中是充滿水的，因此需要計(jì)算舵葉中充滿水情況下的舵系統(tǒng)振動(dòng)特性，將舵葉中的水處理為附加質(zhì)量進(jìn)行計(jì)算。求解特征方程，得到舵葉(舵機(jī)液壓彈簧剛度Kh=4×108N/m)內(nèi)部不含水和充滿水2種情況下的舵系統(tǒng)的圓頻率值如圖3所示。

圖3采用的是文獻(xiàn)[13]的搜根方法，圖3(a)的橫坐標(biāo)為圓頻率，縱坐標(biāo)表示|Δ|值的大小，當(dāng)|Δ|值接近于0時(shí)即可以求出圓頻率。圖中顯示的豎線即搜根過(guò)程，每條豎線下對(duì)應(yīng)的就是該階模態(tài)的圓頻率。本文還采用ANSYS軟件對(duì)該舵系統(tǒng)進(jìn)行建模，限于篇幅，ANSYS軟件的設(shè)置細(xì)節(jié)不在此詳述。圖4為采用ANSYS軟件計(jì)算得到的舵系統(tǒng)前四階振動(dòng)模態(tài)(舵葉內(nèi)部充滿水情況)，單核CPU，采用ANSYS計(jì)算一組舵系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)需要38.5 min左右。

圖3 圓頻率計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculation results of circular frequency

圖4 舵系統(tǒng)模態(tài)仿真結(jié)果(ANSYS)Fig.4 Modal simulation results of the hydroplane system(ANSYS)

從表1可以看出，基于MSTMM計(jì)算出的頻率與ANSYS有限元軟件計(jì)算結(jié)果很接近。可以看出，在考慮舵葉內(nèi)部充滿水的條件下，相較于舵葉內(nèi)部沒(méi)有水的情況，舵系統(tǒng)的頻率值有所減小。

表1 基于MSTMM和FEM舵系統(tǒng)頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of MSTMM and FEM for the determination of the natural frequencies of the hydroplanes system Hz

如圖5所示，基于MSTMM的舵系統(tǒng)(內(nèi)部充滿水情況)模態(tài)計(jì)算結(jié)果表明，舵系統(tǒng)前四階振型在X方向上沒(méi)有任何振動(dòng)。基于MSTMM的舵系統(tǒng)(舵葉內(nèi)部充滿水)的Y,Θx方向上的振型如圖6所示。同等計(jì)算條件下，計(jì)算一組模態(tài)，采用 MSTMM只需0.25 min左右，相比ANSYS軟件大大提高了計(jì)算效率。

圖5 舵系統(tǒng)前四階X方向振動(dòng)(MSTMM)Fig.5 The first fourth x-direction modes of the hydroplane system (MSTMM)

圖6 舵系統(tǒng)前四階Y,Θx方向振型(MSTMM)Fig.6 The first fourth Y,Θx-direction modes of the hydroplane system (MSTMM)

從圖4～6中可以看出，MSTMM計(jì)算結(jié)果和ANSYS有限元軟件全模型仿真結(jié)果十分接近，說(shuō)明了本文方法的合理性和可行性。舵系統(tǒng)的第1、3階為對(duì)稱模態(tài)，第2、4階為反對(duì)稱模態(tài)。從圖6可以看出，第2、4反對(duì)稱模態(tài)中看到，只有舵葉和舵軸這條線有振型，而液壓缸到舵柄這條線振型為0，說(shuō)明第2、4階模態(tài)是舵系統(tǒng)的局部模態(tài)。局部模態(tài)對(duì)系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的貢獻(xiàn)可以忽略。

基于MSTMM進(jìn)行舵系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性計(jì)算，可以方便地改變舵系統(tǒng)中的每個(gè)部件的參數(shù)，并且能快速計(jì)算出結(jié)果，研究這些參數(shù)對(duì)舵系統(tǒng)的振動(dòng)特性的影響。改變液壓等效彈簧剛度的大小，分別計(jì)算了舵葉內(nèi)部沒(méi)有水和充滿水2種情況下的舵葉振動(dòng)頻率，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。增加液壓彈簧剛度可以增加系統(tǒng)第1、3階的頻率，相當(dāng)于增加了操縱系統(tǒng)的等效扭轉(zhuǎn)剛度，而增加液壓剛度對(duì)舵系統(tǒng)的第2、4階頻率沒(méi)有影響，這是由于第2、4階模態(tài)為局部模態(tài)造成的。

圖7 不同液壓剛度情況下的舵系統(tǒng)振動(dòng)頻率Fig.7 The hydroplanes system natural frequencies vs. hydraulic stiffness

3 結(jié)論

1) 基于MSTMM可以快速建立水下航行器舵系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，且計(jì)算效率高。

2) 基于MSTMM可以方便的考慮系統(tǒng)各部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)和連接剛度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，且可以直觀的計(jì)算出各振動(dòng)方向上的振型。

3) 舵系統(tǒng)的1、3階模態(tài)為對(duì)稱模態(tài)，2、4階模態(tài)為反對(duì)稱模態(tài)，且為局部模態(tài)。增加液壓彈簧剛度可以增加系統(tǒng)第1、3階的頻率，相當(dāng)于增加了操縱系統(tǒng)的等效扭轉(zhuǎn)剛度，可以抑制舵葉俯仰運(yùn)動(dòng)。