反思——提高數學素質的有效途徑

孫建榮

摘要：《數學課程標準》明確要求學生要通過對解決問題過程的反思獲得解決問題的經驗。因此，學生在數學學習中，最主要的是反思解題本身是否合理和正確，是否能一題多解和多題一解，提高綜合解題能力，并且做系統小結。數學教學重要的是培養學生的思維能力，使其經歷探索的過程，提高數學素質。

關鍵詞：數學素質;教學反思;一題多解;多題一解

中圖分類號：G633.6? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1992-7711（2020）01-0105

在數學教學過程中，想要盡快提高學生的數學素質，培養學生的學習能力，首先要有良好的學習習慣，聽課時要處理好聽、思、說、記的關系，及時復習，還有非常重要的一點，要注重解題反思。數學能力的提高離不開做題，但解題后的反思更重要，與其匆匆忙忙的搶做兩張試卷，還不如深入透徹地掌握一張試卷，追求解題質量，好好反思每一道題。新課標明確要求引導學生積極探索經歷反思過程，提高數學思維能力。解題后需要反思哪些問題呢？根據學生實際，主要有以下幾個方面。

一、反思解題本身是否合理和正確

1. 題目做好以后，反思結論是否符合實際，切忌結論荒謬，出現像這種衛星離地面的最遠距離為3cm的情況。

2. 檢查是否筆誤或概念不清。筆誤在做幾何證明題時經常會出現，在用三個字母表示角時，切記字母寫錯，因此在幾何證明題做好以后，要從頭到尾再檢查一遍。還有一些中差學生概念不清，如：函數? 的自變量x的取值范圍為_________。有很多學生答案為x≠0，把分母不為0，誤認為x≠0。

3. 是否審題不仔細或忽視了隱含條件。

例1.（1）Rt△ABC的兩邊分別為3和4，則斜邊長為 4或5。

（2）Rt△ABC的兩邊分別為3和4，則第三邊長為5或[7]。

很多學生把這兩題混淆起來，數學語言的表達是十分準確并具有特殊意義，對于題目中的每一個字，每一個符號，每一句話都要進行斟酌，把隱含在條件中的某種關系挖掘出來。

例2.在較長一段時間內，每天都有一艘輪船從甲地開往乙地，并且每天的同一時刻也有一艘輪船從乙地開往甲地。兩地輪船在途中來去的時間都是七晝夜，而且都是勻速航行在同一航線上，則每一條從甲地出發的輪船直到抵達目的地，共將會遇到對面開來的輪船幾艘？

分析：大多數學生考慮每天開出一艘輪船，7晝夜開出7艘輪船，故將遇到7艘;也有的學生認為輪船到達乙地時恰逢第八天起航的輪船，故將遇到8艘;從而忽略了“在較長的一段時間內”這個隱含條件。事實上，甲地開出的輪船最早遇到的不是當天同一時刻乙地開出的輪船，而是在這之前乙地開出的輪船（正確答案是15艘）。

4. 運算是否正確

對于計算類型的題目，做完以后一般要再驗算一遍。很多學生都會出現算了兩遍，甚至3遍，出現同一個答案，以為正確。試卷一發下來，才恍然大悟，這是由于思維定式的影響，我們應從不同的角度進行驗算。

5. 以特殊代替一般

如在中學數學的幾何證明題中，一些學生畫特殊圖形代替一般圖形，造成證題推理無根據。

例3.在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一點，E是AC上的任意一點，AD=AE，求證：∠BAD=2∠EDC。

[A][B][C][D][E]

錯誤證法：假設D 是BC的中點，

∵AB=AC

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC

（等腰三角形三線合一）

令∠BAD=α，則∠DAC=α

∵AD=AE（已知）∴∠ADE=∠AED

∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°

∴∠ADE=[12]（180°-∠DAE）=[12]（180°-α）=90°-[12]α

∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-（90°-[12]α）=[12]α=[12]∠BAD

上述5個方面是解題后該反思的基本問題，考試時如此，平時更應如此，學生應養成解題后反思的良好習慣。事實上，有不少學生只滿足于一知半解，解完了事，不假探索回顧，任其漏洞百出。

二、反思一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數學知識有機聯系，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，通過探求一題多解，尋找最優的解題方法，拓寬學生的發散思維能力。

例4. 求一次函數y=3x-1于y=-3x+5的交點坐標。

分析：可以利用圖像法解，也可以利用求方程組的解得出。不同的解法既可以揭示出數與形的聯系，又溝通了幾類知識的橫向聯系。

例5. 如圖，∠1=∠5，∠3=∠4，

[A][B][C][D][E][F][1][2][3][4][5][6]

∠2=∠6，求證AD∥BC。

證法一：∵在△ABF中，

∠2+∠3+∠AFB=180°

在△AED中，

∠6+∠4+∠5=180°

∵∠2=∠6，∠3=∠4

∴∠AFB=∠5

又∵∠5=∠1，∴∠AFB=∠1

∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）。

證法二：∵∠2=∠6

∴AB∥CE（內錯角相等，兩直線平行）

∴∠EAB+∠4=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

即∠2+∠5+∠4=180°

∵∠5=∠1，∠4=∠3

∴∠2+∠1+∠3=180°，即∠2+∠ABC=180°

∴AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）

上述兩種方法，中差生普遍采用前一種證法，可見前一種證法較具體，學生易掌握。

多題一解可以培養學生化歸思維，使學生覺得書“越讀越薄”，學習能力越來越高，體驗到學習的輕松愉快。

三、積極反思，系統小結

反思題目能否變換引申，改變題目的條件，會導出什么新結論;保留題目的條件，結論能否進一步加強;條件作類似的變換，結論能否擴大到一般;思維方法能否遷移。

例6. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，

[A][B][C][D][E]

AB=DC，求證：∠B=∠C。

變形：已知梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC，∠B=60°，AD=15，AB=45，

求BC的長。

分析：該題主要思路是平移腰將梯形分成等腰三角形和平行四邊形。結合平行四邊形及正三角形的邊長特征來解決問題。通過變形，使學生進行全方位的思考，這常常是學生發現新知識、認識新知識的突破口。

例：求證順次連接四邊形各邊中點所組成的四邊形是平行四邊形。

分析：此題除了要反思一題多解，還可以將題設變換為特殊的“平行四邊形”“矩形”“菱形”“正方形”等情況，以有助于開拓學生的解題思路，讓學生思維插上想象的翅膀。

培養學生解題能力的途徑和方法很多，但無論哪種途徑和方法，最根本最相通的是離不開思維的訓練。注重題后反思，在尋找錯誤原因中享受成功，力求相同的錯誤不犯第二次，優化解題過程，尋求最佳解答方法，舉一反三，觸類旁通，融會貫通，重視滲透和揭示基本的數學思想方法，使學生經歷探索的過程，體驗如何用數學思想方法分析和解決問題，培養學習的能力，在學生的心靈中撒播“善于思考”的種子，搭建可持續發展的平臺。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區青云中學? ?200041）