淺談瓊斯多項式和HOMFLY多項式

周倩竹

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 扭結(jié);瓊斯多項式;HOMFLY多項式

[中圖分類號]? O189? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）27-0100-02

本文的主要內(nèi)容都來自于一本名為The Knot Book的英文版有關(guān)扭結(jié)理論的入門書籍。在這篇文章中，我們將了解兩種與結(jié)有關(guān)的多項式，分別為：瓊斯多項式（Jones Polynomial）和 HOMFLY多項式（HOMFLY Polynomial）。對于每個多項式，我都會分別解釋其定義、規(guī)則和一些相關(guān)的示例。通過理解這些多項式，我們將學習如何使用這兩種多項式得出一些扭結(jié)的特征。

一、扭結(jié)的定義

紐約普拉茨堡州立大學的助理教授奎內(nèi)爾將扭結(jié)定義為“扭結(jié)是關(guān)于打結(jié)后將末端拼接在一起的繩結(jié)的數(shù)學模型。也就是說，扭結(jié)基本就是嵌套在三維空間內(nèi)的環(huán)”。其實在我們的日常生活中就有許多繩結(jié)的存在，比如打結(jié)的耳機線或者鞋帶。將這些繩索抽象為三維空間內(nèi)的閉合曲線，就是我們即將研究的扭結(jié)。

實際上，1987年日本數(shù)學家福原昌夫就提出：扭結(jié)是一條具有一定長度首尾相連的線，在該線上均勻分布著相同種類的電荷，因此該線將通過調(diào)整其自身形狀達到總電荷最均衡的狀態(tài)，這個狀態(tài)被稱之為扭結(jié)的拓撲不變量。他所提出的理論提供了人們研究繩結(jié)的方向，從而可以發(fā)現(xiàn)更多與結(jié)有關(guān)的多項式。

繩結(jié)的投影圖是指其一維平面圖。這種平面圖由一些閉合曲線組成，且這些曲線需要滿足以下三點要求：

1.重疊點的個數(shù)必須是有限的;

2.每個重疊點都只能是兩條曲線相交的點，三條曲線不能在同一個點相交;

3.在每個重疊點處，上下曲線相互交叉。

在繪制繩結(jié)的投影圖時，為了方便理解，位于下方的曲線在重疊處需要有間斷。投影的方向和角度對整個繩結(jié)的特征與性質(zhì)沒有影響。

在研究繩結(jié)時，人們經(jīng)常關(guān)注的問題是：如果有任意兩個扭結(jié)，如何識別這兩個扭結(jié)是否客觀相同。因此，關(guān)于扭結(jié)的疑問也可以表示為：通過一定的轉(zhuǎn)換，不同的繩結(jié)的投影是否可以重合。接下來我講述兩個多項式：瓊斯多項式和HOMFLY 多項式，其正是用來回答這個問題的。

二、瓊斯多項式

1.兩個等效的扭結(jié)具有相同的多項式;

2.沒有結(jié)的繩結(jié)的多項式等于1;

3.三個鏈結(jié)L+，L-和L0在規(guī)定區(qū)域內(nèi)相同。

這三個公理與其規(guī)則有一些相似之處。

瓊斯多項式是數(shù)學家沃恩·瓊斯（Vaughan Jones）于1984年建立的一個新多項式。沃恩·瓊斯是新西蘭人，他提出的瓊斯多項式為結(jié)理論中的許多經(jīng)典問題提供了解決方案。1990年，瓊斯因發(fā)現(xiàn)瓊斯多項式而獲得了菲爾茲獎。

首先，我們需要將這個扭結(jié)解成不同的狀態(tài)。由于該扭結(jié)有三個交點，因此我們可以將其分解為23個不同的狀態(tài)。它們是AAAC2，AABC，ABAC，ABB，BAAC，BAB，BBA和BBBC。

然后就可以通過計算這些的多項式的總和達到計算其瓊斯多項式的目的，過程如下：

我們可以使用這種方式解決這類問題，即將扭結(jié)分解為不同的狀態(tài)，然后計算狀態(tài)總和。

但是，僅使用瓊斯多項式并不能解決有關(guān)扭結(jié)的所有問題。在繼續(xù)研究多項式之后，數(shù)學家提出了HOMFLY多項式。接下來，讓我們討論HOMFLY多項式的定義和性質(zhì)。

三、HOMFLY多項式

在瓊斯宣布他的新多項式四個月后，HOMFLY多項式被發(fā)現(xiàn)。HOMFLY多項式的名稱來自發(fā)現(xiàn)者Haste，Ocneau，Millett，F(xiàn)reyd，Lickonsh和Yetter的名字的首字母。HOMFLY多項式是第一個被發(fā)現(xiàn)的可以同時推廣瓊斯多項式和亞歷山大多項式（Alexander Polynomial）的多項式。其中亞歷山大多項式是二變量Laurent多項式，變量為m和l。

比較HOMFLY多項式和瓊斯多項式，瓊斯多項式更易于計算，具有識別不同結(jié)的能力，甚至可以識別三葉形結(jié)及其鏡像。但是，HOMFLY多項式發(fā)現(xiàn)了結(jié)理論與物理學之間的聯(lián)系，這同時促進了物理學和數(shù)學的發(fā)展。

HOMFLY 多項式不是所謂的扭結(jié)的完全不變式，它不能區(qū)分所有的扭結(jié)。比如一對突變結(jié)將始終具有相同的HOMFLY多項式。

對于鏈結(jié)的交點最少的投影圖，它可以表示C（L）的投影圖。交換一個交點上下兩條線的位置獲得L′，然后 C（L′）

與扭結(jié)有關(guān)的多項式不僅有瓊斯多項式和HOMPLY多項式，除此之外還有亞歷山大多項式等。在扭結(jié)中，通過更改交點的層次，任何投影都可以轉(zhuǎn)換為鏈結(jié)的投影。

在計算扭結(jié)的HOMFLY多項式時，通常需要繪制其解析樹（resolving tree）。

一名百科書作家維斯斯坦（Weisstein）將解析樹定義為：一種鏈接樹，通過重復選擇一個交叉點，應(yīng)用絞線關(guān)系獲得兩個更簡單的鏈接并重復此過程來獲得。解析樹的樹深度是鏈接級別的數(shù)量，不包括頂部。鏈接的樹深度是該鏈接的任何解析樹的最小深度。

以下是一種三葉結(jié)的解析樹：

這些解析樹可用于多個新多項式的計算。繪制解析樹后，我們可以從上到下、從左到右系統(tǒng)地計算該結(jié)的HOMPLY多項式。選擇不同的交叉點以解開扭結(jié)將繪制不同的分解樹，但是使用這些不同的分解樹來計算其多項式，最終結(jié)果一定相同。換句話說，解析樹的形狀不會影響最終的計算結(jié)果。

四、總結(jié)

數(shù)學家按照福原昌夫理論對扭結(jié)進行研究，發(fā)現(xiàn)了各種與結(jié)有關(guān)的多項式，包括瓊斯多項式和HOMFLY多項式。這些研究都在數(shù)學和物理學方面具有廣闊的前景。

通常，瓊斯多項式和HOMFLY多項式都是用于計算扭結(jié)性質(zhì)的多項式。這兩個多項式是在很相近的時間內(nèi)發(fā)現(xiàn)的，但是它們在結(jié)的研究中都起著決定性的作用。將這兩個多項式的法則進行比較時，會發(fā)現(xiàn)這實際上是相同的方程式。也就是說，選擇的不同參數(shù)導致兩個多項式的表達式不同。但是，無論使用哪個多項式，都將獲得相同的結(jié)果。并且應(yīng)根據(jù)不同的條件選擇不同的多項式，這樣可以節(jié)省一些計算時間。此外，這兩個多項式具有一定的局限性，例如，一對突變的扭結(jié)將始終具有相同的 HOMFLY多項式。

此外，盡管瓊斯多項式和HOMFLY多項式在結(jié)的分類和計算中都起著至關(guān)重要的作用，但是由于這些多項式有一定的局限性，因此已證明它們不是扭結(jié)的完全不變式。也就是說，我們?nèi)匀恍枰谘芯颗そY(jié)的道路上繼續(xù)努力，以找到更有效的多項式類型。

參考文獻：

[1]Colin Adams. The Knot Book[M].New York：W.H.Freeman，1993.

[2]Susan，Harris Gregory，Quenell. Knot Labelings and Knots Without Labelings[J]. Mathematical Intelligencer，1999（21）.

[3]The Jones polynomial for dummies[Z]. supported by NSF under Grant No. DMS-XYZ，2014.

[4]Weisstein，Eric W. Resolving Tree[EB/OL]. MathWorld：A Wolfram Web Resource.[2020-05-23]. https：//mathworld.wolfram.com/ResolvingTree.html.

編輯 張 慧