構建知識形成過程 提升學生數學素養
——《20.4 課題學習 最短路徑問題》教學設計

賴巧芳

(廣東省廣州市廣州大學附屬中學 510006)

一、教材分析

利用軸對稱研究某些最短路徑問題.

二、學情分析

作為初二的學生，面對具有實際背景的最短路徑問題，會感到無從下手.對于直線同側的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，一些學生會找不到解決問題的思路．

三、教學目標

1.知識與技能

(1)能利用軸對稱的性質解決最短路徑問題，體會圖形變換在解決問題中的作用.

(2)在探索中，感悟﹑應用轉化的數學思想．

2.過程與方法

通過讓學生經歷觀察演示，動手操作，自主探究，合作交流等過程，培養學生解決問題的能力及數學建模能力.

3.情感與態度

利用多媒體，培養學生探究問題的興趣.

四、重難點及其突破措施

1.重點：利用軸對稱知識解決兩點之間最短路徑問題

2.難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題

3.突破措施

(1)利用幾何畫板、數學視頻顯示將軍飲馬問題的本質，在學生腦海中加深印象.

(2)通過多媒體創設啟發性情境，讓學生積極學習.

五、教學流程設計意圖

研究思路及活動設計意圖認知維度復習與“最短”有關的工具記憶從簡單問題入手,搭橋梁,構建轉化路徑理解歸納可以用軸對稱將問題轉化的條件特征,形成策略性知識理解基于策略性知識,形成畫圖步驟理解在新的問題情境中,判斷是否可以用軸對稱轉化,并實施畫圖步驟應用,分析設計一個與最短路徑有關的數學問題創造

六、教學過程設計

活動1 溫故知新，知識儲備

1.軸對稱性質：對稱點連線被對稱軸垂直平分.

2.最值原理：兩點之間，線段最短. 垂線段最短.

設計意圖：復習軸對稱性質，線段公理，為后續的學習做好知識上的儲備.利用溫故知新，運用最近發展區，激發學生的學習興趣.

活動2 情境引入

例1如圖，有一位將軍騎著馬從A點的軍營出發，先到河MN邊讓馬喝足水，再返回河岸同側的B點家中，該如何選擇路線，讓將軍回家的路程最短？

畫一畫，并測量.展示、追問.

經過學生探討，小組交流，最后師生共同歸納總結如下：

1.把同側問題變為異側問題，運用了轉化思想.

2.利用軸對稱的方法，化折線段為直線段，再結合“兩點之間線段最短”的性質，就可以解決這類最值問題.

設計意圖:及時小結體會軸對稱的作用.

活動3 畫龍點睛

畫圖步驟：1.明確直線和直線同側的兩點；

2.過其中一個點作關于這條直線的對稱點；

3.連接對稱點與另一個點，與直線交點即為所求.

設計意圖:基于策略性知識，形成畫圖步驟.

活動4 智勇大沖關

1.如圖，點A′與點A關于直線l對稱，點B與點A在直線l的同側，測得A′B=20 cm.若點P為直線l上的一個動點，連接PA、PB，則PA+PB的最小值為____.

2.如圖，在等邊三角形ABC中，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小.

設計意圖:還必須結合不同的問題背景如特殊三角形、特殊四邊形等.將運用這一基本事實解決具體問題常態化、系列化，確保學生對此類問題的真正理解和掌握.

活動5 更進一步

例2如圖，一匹馬從S點出發，先去OP上一處吃草，再去OQ河邊喝水，然后再返回S點.該如何選取路線，使得經過的總路程最短？

學生思考交流，教師巡視.

設計意圖:在交流中明白作法的合理性，讓學生真正理解解決問題的方法.在小組合作學習中學生找到解決問題的方法，意在體現學生的合作意識.幾何畫板演示，讓學生從數的角度感知作法的正確性.

活動6 舉一反三(略)

活動7 課堂小結

轉化關鍵：

最短路徑問題—軸對稱性質—兩點之間線段最短

研究過程：

大膽嘗試-尋求依據-小心證明-遷移延伸.

設計意圖:從實際問題中建立數學模型.