剛性平頭彈正侵徹鋼筋混凝土靶的阻力模型*

劉永佑，楊華偉，張 杰，王志勇，王志華,3

（1. 太原理工大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所，山西 太原 030024；2. 材料強度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點實驗室，山西 太原 030024；3. 青海大學(xué)土木工程學(xué)院，青海 西寧 810016）

鋼筋混凝土因其優(yōu)異的性能在軍事和民用建筑領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，為了更好地摧毀目標(biāo)或發(fā)揮防護(hù)功能，對于鋼筋混凝土在侵徹打擊下動態(tài)響應(yīng)的研究具有十分重要的意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對于彈體侵徹素混凝土的研究已相對成熟。鋼筋混凝土方面，Young[1-2]在經(jīng)歷了數(shù)千次實驗后，提出了彈體侵徹巖石、土、混凝土、鋼筋混凝土的統(tǒng)一經(jīng)驗公式，可較好地預(yù)測侵徹深度，但受限于經(jīng)驗?zāi)Ｐ捅旧淼奶攸c，無法給出侵徹阻力等中間變量和運動參量隨時間變化的關(guān)系。Luk 等[3]、Forrestal 等[4]認(rèn)為侵徹過程中鋼筋只起到阻礙混凝土裂紋開展的作用，忽略了其提供的直接阻力，并基于此建立了侵徹模型，但其計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相差20%以上。黃民榮等[5]通過實驗發(fā)現(xiàn)鋼筋的破壞模式有兩種：彎曲拉伸破壞和彎曲剪切破壞，并據(jù)此建立了兩種失效模式下彈體侵徹鋼筋混凝土的阻力模型，然而只適用于彈體低速撞擊靶體，導(dǎo)致模型應(yīng)用受限。歐陽春等[6]、周寧等[7]、穆朝民等[8]在空腔膨脹理論的基礎(chǔ)上，考慮了鋼筋對彈體侵徹提供的直接阻力，認(rèn)為鋼筋發(fā)生彎曲變形破壞，建立了阻力模型；劉志林等[9]認(rèn)為鋼筋發(fā)生彎曲拉伸耦合斷裂失效，分析其對彈體的阻力作用。此外，他們注意到侵徹后彈體接觸到的鋼筋發(fā)生斷裂，未接觸到的鋼筋則完好無損。

大量研究表明，根據(jù)不同速度條件下彈體響應(yīng)的機制，可將侵徹劃分為4 個階段[10]，即：（1）剛性彈侵徹階段（侵徹速度小于800 m/s）；（2）變形彈侵徹階段（侵徹速度介于800～1 500 m/s）；（3）半流體侵徹階段（侵徹速度介于1 500 ～3 000 m/s）；（4）流體侵徹階段（侵徹速度大于3 000 m/s）。本文中將研究撞擊速度為800 m/s 以下的剛性彈侵徹問題，并從鋼筋彎曲剪切破壞方面分析，且基于以下假設(shè)：（1）鋼筋與混凝土的粘結(jié)為理想粘結(jié)；（2）忽略鋼筋與彈體之間、鋼筋與混凝土之間的摩擦力；（3）彈體與鋼筋接觸時，只在接觸點發(fā)生相互作用；（4）彈體侵徹鋼筋混凝土靶體時，受力均勻且彈道不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。以鋼筋網(wǎng)眼中心、鋼筋交匯處、鋼筋網(wǎng)格一邊中點等3 個特殊位置進(jìn)行研究，建立彈體侵徹鋼筋混凝土靶體的阻力模型，將計算結(jié)果與Young 公式進(jìn)行對比，結(jié)果吻合良好，表明本文中提出的理論模型能夠較為合理地預(yù)測侵徹深度及其他侵徹過程量并給出彈體各運動參量隨時間變化關(guān)系，進(jìn)一步得到最不利的撞擊位置及在此條件下的侵徹深度計算公式。

1 剛性彈體侵徹鋼筋混凝土的理論模型

彈體侵徹鋼筋混凝土厚靶的彈道軌跡包含了兩部分，即在入靶面形成的錐形前坑區(qū)域以及與彈體等直徑的隧道區(qū)域。對于平頭彈，Li 等[11]利用滑移線理論得出前坑深度為Hrc=0.707d0，其中d0為彈體直徑。

1.1 隧道階段

1.1.1 基于剛塑性假設(shè)下單根鋼筋的動態(tài)分析模型

單根鋼筋的受力分析如圖1 所示（取一半為研究對象），A、H 為塑性鉸位置， λ 為塑性鉸A、H 間的水平距離，q 為混凝土提供給鋼筋的壓力，近似簡化為均布荷載，Mp、Qp為鋼筋塑性極限彎矩、剪力，F(xiàn)z為彈體軸向侵徹阻力。

圖 1 單根鋼筋受力分析圖Fig. 1 Stress analysis diagram of single steel bar

設(shè)鋼筋具有有限的剪切強度Qp，并忽略在極限狀態(tài)時彎矩M 和剪力Q 之間的相互作用，則在塑性鉸A 處有MA=Mp且QA=Qp。

在小變形階段，對AH 段列豎直方向的動量定理:

式中： vi1為彈體撞擊到第i 層鋼筋到鋼筋失效間的彈體任意時刻速度； Fzi為彈體撞擊到第i 層鋼筋時彈體受到的軸向侵徹阻力。

將式（1）、（2）對時間積分得：

式中： vi為彈體第i 次碰到鋼筋時的速度。

AH 段繞H 點作轉(zhuǎn)動，列動量矩定理：

式中：為鋼筋塑性極限彎矩。

式（5）對時間積分得：

聯(lián)立式（3）和（6）得：

則：

由于塑性極限彎矩Mp和剪切強度Qp、混凝土對鋼筋的阻力q 都是常數(shù)，式（8）表明，在此階段塑性鉸H 是一個駐定鉸。

由式（3）得塑性鉸A 所在的鋼筋端部的橫向速度：

彈體的速度與塑性鉸A 所在的鋼筋端部的橫向速度并不相同，由式（4）可知：

加速度為：

聯(lián)立式（3）、（4）、（9），截面A 兩側(cè)的相對速度為：

將相對速度對時間積分可得A 截面兩側(cè)的相對位移：

根據(jù)余同希等[13]的研究成果，S1i的極限值取為0.3d1且當(dāng)鋼筋剪切失效時的彈體侵徹位移：

1.1.2 多根鋼筋的動態(tài)分析模型

由1.1.1 節(jié)知，當(dāng)彈體撞擊到一根鋼筋時，塑性鉸H 是駐定鉸，則當(dāng)彈體撞擊到n 根鋼筋時，每根鋼筋的塑性鉸位置都為 λi。

式中：bj為第j 根鋼筋與彈頭部分重合的長度。

對其積分得：

可得，彈體的速度：

加速度：

由式（3）、（9）、（19），每根鋼筋截面A 兩側(cè)的相對位移為：

彈體頭部接觸鋼筋，且鋼筋剪切失效時的彈體侵徹位移：

1.1.3 混凝土的動態(tài)分析模型

Forrestal 等[4]利用空腔膨脹理論得出彈體在隧道區(qū)受到混凝土的阻力為：

任意時刻的加速度、速度、位移表達(dá)式為：

1.2 模型算法流程

圖2 為彈體侵徹多層鋼筋的示意圖，其中，n 為鋼筋層數(shù)，h1為首層鋼筋的埋置深度，hn為鋼筋網(wǎng)間距。在隧道階段，依據(jù)彈體是否與鋼筋直接撞擊，分為兩種工況：（1）彈體撞擊到鋼筋，侵徹阻力包括鋼筋與混凝土兩部分的作用；（2）彈體未撞擊到鋼筋或鋼筋失效，此時彈體僅受到混凝土提供的侵徹阻力。

圖3 為彈體侵徹半無限厚靶的算法流程圖。其中，首先輸入的參數(shù)包括（1）彈體參數(shù)：彈體質(zhì)量、直徑、長度、侵徹速度；（2）鋼筋參數(shù)：鋼筋密度、屈服強度、直徑、首層鋼筋埋置深度、鋼筋網(wǎng)間距；（3）混凝土參數(shù)：混凝土的無側(cè)限抗壓強度、密度等。根據(jù)首層鋼筋埋置深度與開坑深度的大小關(guān)系，判定彈體在進(jìn)入隧道階段時，是否撞擊到鋼筋，之后不斷循環(huán)鋼筋與混凝土階段，直到彈體速度為零，其中在每一個階段，取適當(dāng)時間步長△t 計算每個階段的參量，不斷循環(huán)，直到達(dá)到其邊界條件，跳出此階段進(jìn)入下一個階段。

圖 2 彈體侵徹半無限厚靶過程示意圖Fig. 2 Schematic diagram of a projectile penetrating a semi-infinite thick target

圖 3 彈體侵徹半無限厚靶算法示意圖Fig. 3 Schematic diagram of a projectile penetrating a semi-infinite thick target

2 模型驗證與分析

2.1 經(jīng)典公式

Young[1-2]通過開展大量實驗研究，得出了侵徹土、巖石、鋼筋混凝土的統(tǒng)一公式：式中：M 為彈體質(zhì)量；A 為彈體的截面面積；vs為彈體侵徹靶體的初始撞擊速度；K 為縮尺效應(yīng)系數(shù)，當(dāng)M＜182 kg 時，K=0.46M0.15；當(dāng)M≥182 kg 時，K=1。N 為彈頭性能系數(shù)，對于平頭彈N=0.56；R 為阻力系數(shù)，對混凝土R =0.085 Kc(11-P)(tchc)-0.06(35/σc)0.3，其中σc為實驗時混凝土的無側(cè)限抗壓強度； Kc=(F/W1)0.3，W1為靶體寬度與彈體直徑的比值，F(xiàn)=20，如果W1＞F，Kc=1；P 為混凝土中按體積計算的含鋼百分率；tc為混凝土的凝固時間；hc為混凝土目標(biāo)的厚度。在沒有足夠的數(shù)據(jù)無法計算R 值時，采用R=0.9。

由于缺乏大口徑平頭彈侵徹鋼筋混凝土厚靶的公開實驗數(shù)據(jù)，本文中將不同彈體直徑和質(zhì)量（80、90、100 kg 作為工況1～3）、不同撞擊速度（600、410、780 m/s 作為工況3～5）等5 種工況的計算結(jié)果與Young 公式的計算結(jié)果對比來驗證模型的有效性。選取的靶體的參數(shù)：靶體尺寸為2 m×2 m×2 m，無側(cè)限抗壓強度fc'=35 MPa，鋼筋密度為7 850 kg/m3、鋼筋屈服強度為400 MPa，鋼筋直徑d1=8 mm，網(wǎng)眼尺寸60 mm，首層鋼筋埋置深度為200 mm，體積配筋率2%，鋼筋層間距為160 mm；彈體參數(shù)見表1。

表 1 計算侵徹深度Table 1 Calculating penetration depth

此外，由于彈體撞擊到鋼筋的位置具有隨機性，本文中，如圖4 所示，以3 種典型位置的計算結(jié)果與Young 公式進(jìn)行比較，比較結(jié)果見表1。表1 中計算結(jié)果與Young 公式吻合良好，進(jìn)一步驗證了模型的可靠性。

圖 4 不同著靶點位置Fig. 4 Different target positions

2.2 分析不同著靶點

2.1 節(jié)的分析表明：當(dāng)鋼筋直徑較小時，不同著靶位置對于侵徹深度的影響較小。本節(jié)中，將彈靶參數(shù)改為：彈體長度為666 mm，質(zhì)量m0=25 kg，彈體撞擊速度為304 m/s；靶體尺寸為2 m×2 m×2 m，無側(cè)限抗壓強度=35 MPa，鋼筋直徑d1=30 mm，網(wǎng)眼尺寸60 mm，首層鋼筋埋置深度100 mm，體積配筋率2%，鋼筋層間距為50 mm。并分別對彈體直徑為100 mm 和140 mm 進(jìn)行分析，著重研究不同著靶點對于侵徹深度的影響，計算結(jié)果見圖5～6。從圖5 中可以看出，彈體撞擊到鋼筋交匯處侵徹深度最大；從圖6中可以看出，彈體撞擊到鋼筋網(wǎng)眼中心侵徹深度最大。

圖 5 侵徹深度隨時間變化圖（彈體直徑為100 mm）Fig. 5 Penetration depth varing time at different target positions for the projectile with the diameter of 100 mm

圖 6 侵徹深度隨時間變化圖（彈體直徑為140 mm）Fig. 6 Penetration depth varing time at different target positions for the projectile with the diameter of 140 mm

2.3 平頭彈侵徹鋼筯混凝土靶的工程計算公式

根據(jù)防護(hù)角度的最不利位置，平頭彈侵徹鋼筋混凝土厚靶的工程計算公式推導(dǎo)如下：

由2.2 知，彈體直徑與網(wǎng)眼尺寸的比值不同，最大侵徹深度的著靶點不同。由于無法預(yù)估撞擊到的鋼筋層數(shù)，且鋼筋對于彈體的阻滯作用較小，因此，通過計算彈體侵徹素混凝土靶體的侵徹深度，可根據(jù)鋼筋層間距估算彈體撞擊的鋼筋層數(shù)和本文提出的解析模型，得到最終的侵徹深度。

以在侵徹階段首次撞擊到鋼筋時為計算起始點，此時速度為v1。

（1）根據(jù)Forrestal 等[4]計算侵徹素混凝土靶體的侵徹深度s：

（3）得到彈體撞擊到x+1 層鋼筋時的速度vx+1。

①由混凝土阻力引起速度的減小，從彈體首次撞擊到鋼筋到第x 層鋼筋，依據(jù)動能定理得：

②由鋼筋阻力引起的速度減小量：

第x+1 層鋼筋時彈體速度為：

當(dāng)彈體直徑小于鋼筋網(wǎng)眼尺寸時，彈體撞擊到鋼筋網(wǎng)眼中心時只受到混凝土提供的阻力，相比其他情況，可知此時受到的阻力越小，侵徹深度越大，越為不利。

綜上所述，總侵徹深度L 的公式為：

式中：k 為彈體直徑與鋼筋網(wǎng)眼尺寸的比值，h1為首層鋼筋埋置深度。

一根鋼筋中點：

3 結(jié) 論

本文基于彈體侵徹素混凝土的經(jīng)典理論，將鋼筋的失效模式考慮為彎曲剪切破壞后，建立平頭彈侵徹鋼筋混凝土的阻力模型。將計算所得的結(jié)果與經(jīng)典Young 公式進(jìn)行對比，結(jié)果吻合良好，表明了模型的可靠性，并能夠較為合理地預(yù)測侵徹深度及其它侵徹過程量并給出彈體各運動參量隨時間變化關(guān)系，通過分析不同著靶點位置對于侵徹深度的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)彈體直徑小于鋼筋網(wǎng)眼尺寸時，彈體撞擊到鋼筋網(wǎng)眼中心時，彈體受到的阻力較小，侵徹深度越大；當(dāng)彈體直徑大于鋼筋網(wǎng)眼尺寸時，最不利著靶點位置視彈體直徑與網(wǎng)眼尺寸的比值而定。最后，根據(jù)防護(hù)角度的最不利位置提出了平頭彈侵徹鋼筋混凝土厚靶的工程計算公式。