聊聊動(dòng)態(tài)塑性和黏塑性*

王禮立，董新龍

（寧波大學(xué)沖擊與安全工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 寧波 315211）

在爆炸/沖擊載荷下，材料本構(gòu)關(guān)系通常分解為球量部分（容變律）和偏量部分（畸變律）分別加以處理。前者歸結(jié)為高壓下不同形式狀態(tài)方程（非線性彈性律）的研究，而后者則歸結(jié)為率相關(guān)剪切律的研究[1- 2]。

就偏量部分而言，當(dāng)涉及結(jié)構(gòu)和材料的動(dòng)態(tài)塑性時(shí)，出現(xiàn)一個(gè)基本概念性問題：到底應(yīng)該使用術(shù)語“塑性變形”（plastic deformation）還是“塑性流動(dòng)”（plastic flow)來表示？這其實(shí)涉及到對(duì)材料塑性本構(gòu)關(guān)系基本類型的認(rèn)識(shí)。

變形和流動(dòng)的差別主要在哪兒呢？這可以從材料本構(gòu)關(guān)系角度來討論。

在固體力學(xué)中，人們討論應(yīng)力作用下的變形，其偏量本構(gòu)關(guān)系表現(xiàn)為應(yīng)力與應(yīng)變之間的函數(shù)關(guān)系，例如圖1(a)所示的Hooke 彈性定律：

應(yīng)力與應(yīng)變一一對(duì)應(yīng)，不隨時(shí)間變化。

在流體力學(xué)中，人們討論應(yīng)力作用下的流動(dòng)，其偏量本構(gòu)關(guān)系表現(xiàn)為應(yīng)力與應(yīng)變率之間的函數(shù)關(guān)系，例如圖1(b)所示的Newton 黏性定律：

應(yīng)力與應(yīng)變率一一對(duì)應(yīng)；而應(yīng)變 γ 則隨時(shí)間變化，是通過 γ ˙(t) 對(duì)時(shí)間t 積分確定的。如果想在應(yīng)力-應(yīng)變坐標(biāo)中刻畫Newton 黏性定律，則如圖1(c)所示，表現(xiàn)為恒應(yīng)變率下給定應(yīng)力下的一條水平線，這條水平線隱含著應(yīng)變?cè)诮o定應(yīng)力和應(yīng)變率下隨時(shí)間增長的過程。

固體力學(xué)的學(xué)者從應(yīng)力-應(yīng)變型本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，習(xí)慣于用應(yīng)力-應(yīng)變坐標(biāo)來表述材料受應(yīng)力作用時(shí)的變形；但當(dāng)材料進(jìn)入到遵循應(yīng)力-應(yīng)變率型本構(gòu)關(guān)系的塑性流動(dòng)（下文將詳細(xì)討論）時(shí)，如果還繼續(xù)用應(yīng)力-應(yīng)變坐標(biāo)來表述材料的塑性流動(dòng)，就將在到達(dá)屈服點(diǎn)后出現(xiàn)類似于圖1(c)那樣的所謂“理想塑性”平臺(tái)。

圖 1 (a) 在τ-γ 坐標(biāo)中表示的Hooke 彈性定律（τ=Gγ）；(b)在 坐標(biāo)中表示的Newton 黏性定律（τ=η γ˙ ）；(c) 在τ-γ 坐標(biāo)中表示的Newton 黏性定律（τ=η γ˙ ）Fig. 1 (a) The Hooke's elastic law (τ=Gγ) described in τ-γ coordinates; (b) The Newton's viscous law (τ=η γ˙ ) described in coordinates; (c) The Newton's viscous law (τ=η γ˙ ) described in τ-γ coordinates

其實(shí)，力學(xué)的主要二級(jí)分支學(xué)科，如一般力學(xué)（剛體系力學(xué)）、固體力學(xué)及流體力學(xué)等的劃分，正是基于不同的材料偏量本構(gòu)關(guān)系類型進(jìn)行區(qū)分的：一般力學(xué)研究的是不會(huì)變形不會(huì)流動(dòng)的剛體，固體力學(xué)研究的是具有應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系（以下簡稱為形變型本構(gòu)關(guān)系）的變形體，而流體力學(xué)研究的是具有應(yīng)力-應(yīng)變率本構(gòu)關(guān)系（以下簡稱為流動(dòng)型本構(gòu)關(guān)系）的流動(dòng)體。這些都是理想化模型。

對(duì)于實(shí)際材料，常常需要處理更復(fù)雜的、變形與流動(dòng)相耦合的情況。按照流變學(xué)（rheology）的觀點(diǎn)，萬物皆變，萬物皆流，變形與流動(dòng)共存。彈塑性本構(gòu)模型正是彈性變形與塑性流動(dòng)的耦合模型。朱兆祥先生曾經(jīng)回憶當(dāng)年在深圳羅湖橋接待錢學(xué)森先生回國時(shí)，看到錢學(xué)森先生在入關(guān)填寫表格時(shí)，在填寫“專業(yè)”一欄寫過一項(xiàng)“流變學(xué)”，這在當(dāng)時(shí)是跨固體-流體、跨力學(xué)-材料學(xué)的前沿學(xué)科。

那么塑性是像彈性固體那樣遵循形變型本構(gòu)關(guān)系（塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系），還是像黏性流體那樣遵循流動(dòng)型本構(gòu)關(guān)系（黏塑性應(yīng)力-應(yīng)變率本構(gòu)關(guān)系）呢？下面，我們將從宏觀塑性本構(gòu)理論和微觀位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)理論角度分別加以討論。

1 從宏觀塑性本構(gòu)理論的角度來看

由經(jīng)典塑性力學(xué)的發(fā)展史知[3-4]，塑性增量理論先于全量理論。從本構(gòu)關(guān)系類型的角度看，前者屬于流動(dòng)型本構(gòu)關(guān)系，而后者則屬于形變型本構(gòu)關(guān)系，實(shí)際上是前者在簡單加載（比例加載）條件下的特殊情況。

從塑性增量理論出發(fā)，按照Levy（1871）-Mises（1913）最早提出的塑性增量理論，塑性應(yīng)變偏量增量正 比 于應(yīng)力偏量 Sij：

式中： dλ 是非負(fù)標(biāo)量比例因子。式(3a)兩側(cè)同除以dt 后，可改寫為以應(yīng)變率表征的形式：

有時(shí)稱為St. Venant-Levy-Mises 方程。更一般的Prandtl-Reuss 理論則進(jìn)一步考慮了耦合的彈性變形。顯然，當(dāng)1 /λ˙=η=const. 時(shí)，式(3b) 就化為Newton 黏性律，因而Levy-Mises 增量理論（式(3)）可看作Newton 黏性律的非線性推廣。

把式(3c)等號(hào)兩側(cè)平方，演算時(shí)注意到等效應(yīng)力 σeあ和等效塑性應(yīng)變率的如下定義：

即可確定：

把式(5)代回式(3c)，可得到以應(yīng)變率形式表述的如下流動(dòng)型本構(gòu)關(guān)系：

例如，把忽略彈性應(yīng)變率并以等效應(yīng)變率形式表示的Cowper-Symonds 公式：

將式(7)代入式（6）可得：

式中： σ0為準(zhǔn)靜態(tài)流動(dòng)應(yīng)力，D 和q 為材料常數(shù)。這就是張量形式的基于Cowper-Symonds 公式的應(yīng)變率相關(guān)的流動(dòng)型黏塑性本構(gòu)方程。

注意，式(3)～式(6)并不依賴于是否存在屈服面或靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，既適用于無屈服面黏塑性理論，如Bodner-Parton 的無屈服面模型；也適用于含屈服面或靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線理論，例如基于Cowper-Symonds 公式(式(7))的式(8)以存在屈服面或靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線為前提，是所謂超應(yīng)力類型的黏塑性本構(gòu)方程。

2 從微觀位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)的角度來看

塑性微觀機(jī)理的研究曾經(jīng)經(jīng)歷過從“理想晶體整體滑移”機(jī)理到“實(shí)際晶體位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)”機(jī)理的發(fā)展過程。由下面的討論可知，這兩種機(jī)理實(shí)際上分別對(duì)應(yīng)于形變型塑性本構(gòu)方程和流動(dòng)型黏塑性本構(gòu)方程。

2.1 “理想晶體整體滑移”機(jī)理

式中：2A 為振幅。則對(duì)應(yīng)的剪切應(yīng)力τ 為：

圖 2 理想晶體的剪切滑移Fig. 2 Shear slip in a perfect crystal

因此，能使上排原子相對(duì)于下排原子產(chǎn)生整體塑性滑移所需的最大剪切應(yīng)力 τb表征了理想晶體的所謂理論剪切強(qiáng)度（理論屈服強(qiáng)度），一般b 和a 為同一量級(jí)的量，因而近似地有：

這一機(jī)理給出了如下的彈塑性本構(gòu)關(guān)系：

式中：應(yīng)變?chǔ)?的下標(biāo)e 和p 分別指彈性和塑性。由此可見，式(11)屬于應(yīng)力-應(yīng)變一一對(duì)應(yīng)的形變型本構(gòu)關(guān)系。

但是，式(10)給出的理論屈服強(qiáng)度與實(shí)際金屬晶體的實(shí)測(cè)屈服強(qiáng)度值相對(duì)比，有量級(jí)性的差別（兩者之比達(dá)102～104量級(jí)）。這歸因于實(shí)際晶體存在內(nèi)在缺陷。1934 年，Orowan[5]、Polanyi[6]和Taylor[7]幾乎同時(shí)、又分別獨(dú)立地，提出了位錯(cuò)的概念，并為隨后的實(shí)驗(yàn)觀察所證實(shí)。

2.2 “實(shí)際晶體位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)”機(jī)理

含位錯(cuò)的實(shí)際晶體，在切應(yīng)力τ 作用下，通過位錯(cuò)在晶體中的一步步運(yùn)動(dòng)來完成滑移，如圖3 所示。

關(guān)于這一位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)機(jī)理，有兩點(diǎn)特別值得強(qiáng)調(diào)：（1）由于位錯(cuò)的局域化作用，使得推動(dòng)位錯(cuò)一步步移動(dòng)所需的切應(yīng)力（實(shí)際屈服強(qiáng)度）遠(yuǎn)比推動(dòng)晶體整體滑移所需的切應(yīng)力（理論屈服強(qiáng)度）小得多，這是含缺陷的實(shí)際晶體與完善的理想晶體強(qiáng)度有量級(jí)性差別的根本原因。（2）在“理想晶體整體滑移”機(jī)理中，一旦外加切應(yīng)力達(dá)到晶體理論屈服強(qiáng)度就可瞬時(shí)滑移以實(shí)現(xiàn)塑性形變。與之相反，在位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)機(jī)理中，滑移是通過位錯(cuò)一步步移動(dòng)的時(shí)間相關(guān)過程來實(shí)現(xiàn)的，因而是一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的、即與位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)速度vd相關(guān)的塑性流動(dòng)過程。

圖 3 由位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)形成的滑移。Fig. 3 Slip formations due to dislocation movement.

考察在給定的宏觀大小為l×l×l 的晶體，在微觀尺度上有N 個(gè)平行的可動(dòng)刃型位錯(cuò)，在切應(yīng)力τ 作用下，位錯(cuò)以某一速度移動(dòng)，如圖4 所示。

Orowan[8]提出聯(lián)系微觀位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)與宏觀塑性畸變?chǔ)胮的如下方程：

圖 4 一列平行位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)造成的宏觀塑性切應(yīng)變Fig. 4 The macroscopic plastic shear strain γ p(=tanθ) caused by the motion of a row of parallel dislocations

在位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)機(jī)理中，位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)速度vd（=dl/dt）扮演決定性作用，式(12a)對(duì)時(shí)間t 微分后有：

式中：φ 為位相因數(shù)，ρm（=N/l2）為可動(dòng)位錯(cuò)密度，b 為位錯(cuò)的Burgers 矢量大小。當(dāng)可動(dòng)位錯(cuò)密度對(duì)時(shí)間的變化率是可忽略的小量時(shí)，則近似地有如下的Orowan 簡化式：

Orowan 公式（式(12)）的重要意義在于：它建立了微觀位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)諸參量與宏觀塑性畸變率的聯(lián)系，這是跨尺度研究能否實(shí)現(xiàn)宏觀工程應(yīng)用的關(guān)鍵所在。

Orowan 公式中的關(guān)鍵性微觀參量是位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)速度vd，實(shí)驗(yàn)表明它依賴于作用力τ 和溫度T。vd實(shí)際上反映了位錯(cuò)跨越短程勢(shì)壘實(shí)現(xiàn)塑性滑移的成功概率。位錯(cuò)跨越各種短程勢(shì)壘一方面靠外力τ 做功，另一方面靠晶格熱振動(dòng)（熱起伏）的熱激活能U。由此，按照統(tǒng)計(jì)力學(xué)有關(guān)熱激活過程的分析可得：

式中：v0為位錯(cuò)振動(dòng)頻率f0與位錯(cuò)平均運(yùn)動(dòng)距離χ 之乘積，k 為Boltzmann 常數(shù)。式（13）是位錯(cuò)速度vd的Arrhenius 方程，把它代入Orowan 簡化式（式（12c）），就得到塑性應(yīng)變率的Arrhenius 方程：

式(14a)是基于位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)熱激活機(jī)制的流動(dòng)型塑性本構(gòu)關(guān)系的一般形式。就本構(gòu)關(guān)系類型而言，與宏觀塑性增量理論是一致的，為塑性增量理論提供了微觀物理機(jī)制。至于其具體形式，則取決于熱激活能U 如何依賴于作用力τ 的函數(shù)形式U(τ)。

引入以下無量綱參數(shù)：

式中：τc為特征應(yīng)力，V（=blx）為激活體積， V*為τ=0 時(shí)的激活體積。

則式（14a）可改寫為如下無量綱形式：

注意，按激活能的定義有：

顯然，黏塑性本構(gòu)關(guān)系的具體形式取決于U(τ)或V(τ)，這是一切基于位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)的黏塑性本構(gòu)關(guān)系研究的核心所在。

例如，按照Seeger 的林位錯(cuò)模型，U(τ)可近似地表為τ 的線性函數(shù)（對(duì)應(yīng)于 τ - V 坐標(biāo)中的矩形勢(shì)壘曲線，如圖5(a)所示），則在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)中顯示為一直線，τ 隨的量級(jí)性增加而升高：

式中：c 為表征材料的應(yīng)變率敏感性的材料參數(shù)。

圖 5 位錯(cuò)勢(shì)壘示意圖Fig. 5 Schematics of dislocation barrier

聯(lián)系到人們熟知的Johnson-Cook 方程：

此式與Seeger 模型（式（15））一致，只是做了存在準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系σs(ε)的假設(shè)，以它代替了式(15)的τ0，并相應(yīng)地引入了無量綱超應(yīng)力(σ-σs(ε))/σs(ε)。

關(guān)于U(τ)，除了Seeger 線性模型外，研究者們還建議了眾多的非線性關(guān)系式，其中具有代表性的如下。

（1）Davidson-Lindholm 模型[9]，由下式表示：

式中：Z 為材料參數(shù)，當(dāng)Z 取不同值時(shí)，就對(duì)應(yīng)于不同的勢(shì)壘形狀，如圖5(b)所示。當(dāng)Z =∞時(shí)，=1 ，就化為Seeger 模型。

（2）Kocks-Argon-Ashby 模型[10]，如下式所示：

式中：U0（=τcV*）為應(yīng)力為零時(shí)的激活能。此式由于包含p 和q 兩個(gè)參數(shù)（0 ＜p≤1 ，1 ≤q≤2 ），顯然比Davidson-Lindholm 模型（式17）更為一般化。

（3）Wang 雙曲型勢(shì)壘譜模型[11]，如式（19）和圖5(c)所示：

此處應(yīng)變率權(quán)重函數(shù) ψi一般是、和T 的函數(shù)，并滿足：

至此，式（14）至式（19）都是基于Orowan 簡化式（式(12c)）展開分析的，忽略了可動(dòng)位錯(cuò)密度對(duì)時(shí)間的變化率的影響，從而在實(shí)質(zhì)上忽略了以位錯(cuò)增殖機(jī)理為基礎(chǔ)的應(yīng)變硬化效應(yīng)。

Zerilli 等[12]考慮了應(yīng)變硬化效應(yīng)，并且注意到不同晶格結(jié)構(gòu)的應(yīng)變率敏感性是不同的，對(duì)于體心立方晶格（BCC）和面心立方晶格（FCC）分別提出以下本構(gòu)關(guān)系：

被稱為Zerilli-Armstrong 方程，式中還增加了長程非熱應(yīng)力σg項(xiàng)（第1 項(xiàng)）和考慮了晶粒尺寸d 對(duì)于流動(dòng)應(yīng)力的影響（最末項(xiàng)），C1、C2、C3、C4和k 均為材料參數(shù)。

在以上討論中，在沒有熱激活的幫助時(shí)，位錯(cuò)為跨過勢(shì)壘所必需的力學(xué)閾值應(yīng)力（mechanical threshold stress）τ0，已假定是恒值（參看圖5 中的勢(shì)壘峰值應(yīng)力τ0）。實(shí)際上，一旦微結(jié)構(gòu)發(fā)生演化，τ0也隨之變化，在宏觀上表現(xiàn)為應(yīng)變率歷史效應(yīng)。對(duì)此，F(xiàn)ollansbee 等采用Kocks-Argon-Ashby 的非線性模型（式（18）），但把τ0看作應(yīng)變和應(yīng)變率的函數(shù)，則式（18）當(dāng)以正應(yīng)力來表示時(shí)，可寫成如下無量綱形式[13]：

式中： g0=U0/(G(T)b3)

為無量綱歸一化激活能，G(T)為彈性剪切模量，一般是溫度T 的函數(shù)。式（21）稱為力學(xué)閾值應(yīng)力模型。下一步的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于如何確定力學(xué)閾值應(yīng)力演化關(guān)系 σ0=σ0(ε,ε˙) ，通常依靠一系列包含不同應(yīng)變/應(yīng)變率歷史的“動(dòng)態(tài)預(yù)加載-卸載-再加載”實(shí)驗(yàn)來確定。

有關(guān)U(τ)非線性關(guān)系式的更詳細(xì)討論，可參考文獻(xiàn)[1-2]的第6 章。由上述討論可知，不論U(τ)取什么形式，其實(shí)都是式（14）的具體表現(xiàn)，都屬于流動(dòng)型黏塑性本構(gòu)關(guān)系。

3 討 論

由以上從宏觀塑性本構(gòu)理論和微觀位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)機(jī)理兩個(gè)角度分別對(duì)于“塑性”的討論，一致地表明，所謂“塑性”本質(zhì)上是速率/時(shí)間相關(guān)的黏塑性流動(dòng)，塑性本構(gòu)關(guān)系屬于率相關(guān)流動(dòng)型黏塑性本構(gòu)關(guān)系。這一關(guān)系同時(shí)適用于加載和卸載。

對(duì)于流動(dòng)型本構(gòu)關(guān)系，理應(yīng)在應(yīng)力-應(yīng)變率坐標(biāo)中討論，而難以用應(yīng)力-應(yīng)變圖來描述，除非在給定應(yīng)變率下，表現(xiàn)為一系列不同應(yīng)變率下的不同的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。即使這樣，這些所謂的應(yīng)力-應(yīng)變曲線其實(shí)隱含著應(yīng)變?cè)诮o定應(yīng)力和應(yīng)變率下隨時(shí)間增長的過程，不同于形變型本構(gòu)關(guān)系的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

不難理解，對(duì)于那些習(xí)慣于準(zhǔn)靜態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變分析（不包含應(yīng)力波傳播的時(shí)間效應(yīng)），以及習(xí)慣于在應(yīng)力-應(yīng)變坐標(biāo)中討論形變型本構(gòu)關(guān)系的研究者，如果繼續(xù)在應(yīng)力-應(yīng)變坐標(biāo)中討論本應(yīng)以應(yīng)力-應(yīng)變率所表征的流動(dòng)型塑性本構(gòu)關(guān)系，難免會(huì)遇到各種困擾，以致模糊了黏塑性流動(dòng)律本身的特征和表現(xiàn)。

特別在彈性形變律與塑性流動(dòng)律相耦合的彈-黏塑性情況下，尤其需要注意區(qū)分形變律與流動(dòng)律。在主應(yīng)力（σ，σ2，σ3）空間，如圖6 所示[14]，如果加載和卸載路徑都落在Mises 屈服圓柱以內(nèi)，則服從彈性形變律。如果加載路徑落在Mises 屈服圓柱以外、劉氏斷裂鐘以內(nèi)，則塑性流動(dòng)遵循黏塑性流動(dòng)律（式(6)、式(14)），與之相耦合的彈性變形則繼續(xù)遵循彈性形變律；一旦卸載，黏塑性流動(dòng)部分將遵循同一黏塑性流動(dòng)律（式(6)、式(14)）卸載，與之相耦合的彈性變形則遵循同一彈性形變律卸載。這時(shí)，對(duì)于給定的應(yīng)力加載歷史σeff(t)，由塑性流動(dòng)律可以確定對(duì)應(yīng)的塑性應(yīng)變率歷史，從而進(jìn)一步通過時(shí)間積分可確定相應(yīng)的塑性應(yīng)變響應(yīng)。不過要注意，當(dāng)應(yīng)力卸載時(shí)，對(duì)應(yīng)的塑性應(yīng)變率當(dāng)然也跟著降低，但積分所得的塑性應(yīng)變?chǔ)舉ff(t)并不立即減小而會(huì)隨時(shí)間繼續(xù)增加，直到卸載應(yīng)力落到和落在Mises 屈服圓柱以內(nèi)，塑性流動(dòng)停止，只剩下彈性卸載；因而實(shí)際上并不存在本構(gòu)關(guān)系意義上的塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，也不存在基于塑性形變理論假設(shè)所提出的所謂“后繼屈服面”和“塑性變形的彈性卸載”，等等。現(xiàn)有塑性力學(xué)教材的部分相關(guān)內(nèi)容是否應(yīng)作相應(yīng)修改，無疑給我們提出了一個(gè)挑戰(zhàn)。

圖 6 應(yīng)力空間中的Mises 屈服圓柱和劉氏斷裂鐘面[14]Fig. 6 Mises yielding cylinder and Liu's bell-like fracture surface in principal stress space[14]

在爆炸/沖擊的高應(yīng)變率載荷下，結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題常常歸結(jié)為應(yīng)力波的傳播和相互作用。一旦涉及動(dòng)態(tài)塑性（黏塑性）時(shí)，問題就歸結(jié)為基于形變型彈性本構(gòu)關(guān)系的彈性波與基于流動(dòng)型本構(gòu)關(guān)系的黏塑性波耦合傳播和相互作用的問題。一旦包含加載過程與卸載過程及其相互作用，問題變得益發(fā)復(fù)雜化，值得今后視具體研究情況作進(jìn)一步探討。