二次型遞推關(guān)系數(shù)列的處理策略

李秀元 朱丹丹

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

數(shù)列的遞推關(guān)系有很多種，通過遞推關(guān)系可以研究數(shù)列的特點，求數(shù)列的通項公式.一般地，二次型遞推關(guān)系可分為二次函數(shù)型、均值型和圓型三大類.

一、二次函數(shù)型遞推關(guān)系

所謂二次函數(shù)型遞推關(guān)系，就是將數(shù)列的項表示成前一項的二次函數(shù).這類遞推關(guān)系式，大致有下面三種考查角度.

1.考查數(shù)列的周期性

解由遞推關(guān)系可得，a1=1，a2=0，a3=-1，a4=0，a5=-1，則數(shù)列{an}除第一項外，構(gòu)成周期為2的周期數(shù)列.故a2019=a3=-1，|an+an+1|=1.

解由遞推關(guān)系可得，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0，則數(shù)列{an}是周期為2的周期數(shù)列，故a2020=a2=0.

方法歸納如果不是求特殊數(shù)列(如等差等比等)的較大項，一般是考查數(shù)列的周期性，通過遞推關(guān)系式，嘗試求出數(shù)列的前幾項，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律性.

2.考查邏輯判斷與數(shù)據(jù)處理

C.當b=-2時，a10>10

D.當b=-4時，a10>10

分析作為選擇壓軸題，這道題確實有些份量.由于遞推關(guān)系式?jīng)]有現(xiàn)成的處理模式，不知道考什么，很難切入.從4個選項來看，都是基于b的取值，確定a10>10.結(jié)論都是與a無關(guān)，即認為是對實數(shù)a恒成立的問題，而且，對數(shù)列的特性也未作說明.若從數(shù)列{an}的特性來看，常數(shù)列是特殊的等差和等比(項非零)數(shù)列.因此，可以考慮以常數(shù)列為基準，通過賦值a，構(gòu)建反例，進行計算排除.

解若數(shù)列{an}為常數(shù)列，設(shè)an+1=an=λ.

對于選項C，方程λ2-λ-2=0的根為λ=2或λ=-1，無論取an=a=2還是-1，都不滿足結(jié)論；

因此，只能選A.

3.考查二次式的配方與對數(shù)運算

例4(2006年山東卷)已知a1=2，點(an，an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中n=1，2，3，….

(1)證明數(shù)列{lg(1+an)}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列{an}的通項；

(1)因為a1=2，所以an>1.

(2)由(1)得lg(1+an)=2n-1lg3=lg32n-1，所以1+an=32n-1，an=32n-1-1.

Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=320+21+…+2n-1=32n-1.

方法歸納對原遞推關(guān)系式中的二次項配方，得到相同結(jié)構(gòu)的兩項的二次關(guān)系，明確項的符號后，對兩邊取對數(shù)，得到一個新數(shù)列的線性遞推關(guān)系，進而求出數(shù)列的通項.

二、均值型遞推關(guān)系

所謂均值型遞推關(guān)系，即將數(shù)列的項用它的前一項的均值型表示.相對于簡單的二次函數(shù)型遞推關(guān)系式，這類遞推式處理起來就要麻煩得多，需要進行兩次配方.

(1)求α，β的值；

(2)證明：對任意的正整數(shù)n，都有an>α；

(2)因為f′(x)=2x+1，

由a1=1，得an>0.

(3)f(an)=(an-α)(an-β)，f′(an)=2an+1.

又α+β=-1，

方法總結(jié)通過兩次對遞推關(guān)系式左右兩邊加減相同常數(shù)，使得等式右邊分子為完全平方，兩式相除，即得類型三.

三、圓型遞推關(guān)系

圓型遞推關(guān)系，即是數(shù)列相鄰兩項滿足圓的方程，也即點(an，an+1)在圓上.

解法1由已知得0≤an≤4，且an+1≥2.

令an-2=2cosθ(θ∈[0,π])，an+1-2=2sinθ.

即an=2+2cosθ，an+1=2+2sinθ.

(由于a1和a2018分別對應(yīng)數(shù)列的奇偶項，故它們使用了不同的表達式)