以問題為導向的案例教學法在“數值分析”課程中的應用

摘要：文章探討在“數值分析”課程教學中引入以問題為導向的案例教學法，結果表明以數值分析問題為導向的案例教學法是提高教學效果的有效途徑。

關鍵詞：基于問題的教學法;案例教學法;“數值分析”

中圖分類號：O241? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）10-0272-02

一、引言

作為應用數學的一個重要子領域，數值分析在現代高等教育中的重要性日趨凸顯。就學科特點而言，數值分析既包含純數學的系統性和嚴密性，又保持與純數學研究側重點各不相同。作為我校電氣工程領域專業學位研究生基礎應用型課程中的一門重要科目，“數值分析”不僅有利于培養學生的基礎科學思維，也為其后續進行更高層次課程的學習奠定了極為重要的基礎[1]。就學科內容而言，“數值分析”覆蓋范圍廣泛，且在數值計算方法介紹章節形成較大梯度，是一門具有挑戰性的科目[2]。該課程一方面繼承了純數學研究及教學中的理論抽象性與嚴密性，又突出了利用應用數學解決實際問題的知識廣泛性和技術性，因此長期以來被數學教育界一致認為是一門教師傳授難、學生學習難的挑戰性課程。再加上大量“多、長”的復雜計算公式和推導過程煩瑣，且規定教學時數只有短短36學時，因此利用傳統的數學學科教學方法講授時，就會出現部分內容講解不夠細致，學生不易領會，從而造成學生厭學、教學效果不好等現象。為了提高學生的學習積極性并培養其學習興趣，要加強并引導學生科學研究思維的提升和創新能力的培養，著力提高“數值分析”課程的教學效果，本文探討如何將以問題為導向的案例教學法引入“數值分析”教學中，從而改革傳統的研究生教學方法，緩解當前研究生“數值分析”教學的困境。

二、以問題為導向的案例教學法設計原則

以問題為導向的教學法[3]和案例教學法[4]都是以建構主義為理論基礎，在教學過程中強調將學生作為課堂中心，教師擔當主導角色，在模式上鼓勵學生的主動學習并重點強調開放性，鼓勵并引導學生積極地參與課程內容，自主探究實際問題和合作學習鞏固知識點，實現了教與學、理論與實踐、課內與課外的多重結合。在教學模式上，問題導向式教學法強調將提升學生對于課堂教學理論知識的掌握理解和基本技能的培養訓練作為主要教學目標;案例教學法則側重于加強對學生將課堂理論應用到實際問題解決的能力和技能的訓練作為主要培養目標。若能將上述兩種教學方法及模式以一種有力手段相結合，即用“以問題為導向的案例教學法”開展教學活動，數值分析的課堂教學效果勢必可以大幅提升。換言之，如果在案例教學中，學生可以根據案例適時提出問題并主動解決問題，那么學生在課堂教學中所需要掌握理解的理論或原理也隨著這一過程呼之欲出。在課程設計方面，以問題為導向的案例教學法首先要將重點放在案例設計上，要精心并靈活地從案例中衍生問題并設置問題，從而將教學內容和案例問題緊密結合并以此為載體，使學生在解決問題的過程中自主獲得知識，提升實際知識能力，并體會到主動學習和自主研究的樂趣。以此作為基礎，才能取得良好的教學效果。

三、以問題為導向的案例教學法應用實例

目的：分析方程組Ax=b中A、b的變化對方程組解的影響。

1.介紹案例——室內空氣污染，提出問題。

例1：如下圖所示，某餐館包括一個給吸煙者用的房間和一個給孩子用的房間，還有一間加長的房間。由于房間1有吸煙者，房間3有損壞了的燒烤架，因此在兩個房間內會產生一氧化碳氣體。此外，因為房間1和房間2靠近公路，因此有部分一氧化碳從通風口進入這兩個房間。試分析各區域空氣的污染情況（一氧化碳濃度）。

解：寫出每個房間的穩態平衡方程，方程組如下：

代入參數，得到方程組：

用MATLAB求得系數矩陣的逆和方程組的解：A=

16.897 16.483）

結果表明：吸煙區的一氧化碳濃度最低為8.0996，房間3的濃度最高為16.897，房間4的濃度次之，兒童區的一氧化碳濃度為12.345，處于中間水平。接下來教師通過學生的課堂討論引出本節中的案例問題：如上述模型中的參數變化時，其變化將會如何影響上述模型的解？

2.設計多元開放性討論方案，進行探究型教學與研學活動。教師應在例1的基礎上，根據案例及教學點設計討論方案，從而使得學生可以結合所學課程內容進行實際問題探究，通過主動思考，融合課堂知識理論與實際問題，從而總結出相應的結論和結果。

例2：（續例1）擬采取補救措施，如：禁止吸煙和維修燒烤架來對系統性能進行改善。如果禁止吸煙和維修燒烤架之后，室內的一氧化碳含量減小了，那么兒童區內的一氧化碳濃度會改變多少？

這個問題實際是方程組右邊常數項b值變化對解的影響問題，因為模型是線性的，所有具有疊加性，可先對各個部分進行計算，然后求和Δ=aΔW+aΔW=-0.0034483×1000-0.0034483×2000=

-10.345.實施禁止吸煙和維修燒烤架兩種補救措施，濃度將下降為10.345mg/m，從而兒童室的濃度12.345-10.345=2mg/m.這個結果說明：去掉吸煙者和燒烤架的影響之后，唯一的污染源就是通風口流入的空氣，一氧化碳含量為2mg/m.

3.引導學生深入研究，培養學生的研究與創新能力。上面研究了一類簡單的情況：當參數b中因單一因素發生改變時，其所提出的線性方程組的解的對應變化情況。但在實際生活中，往往會遇到比上述案例情境更復雜且多元的情況，當參數A改變以及A和b同時改變時，會對線性方程組的解產生什么影響？其變化規律是怎樣的？這個課題允許學生查閱相關參考資料后合作完成。

四、結語

以問題為導向的數值分析課程案例教學法，強調學生的自主學習，在教學過程中側重于課堂知識的理論與分析實際案例的實踐相結合，從而提高解決實際問題的能力和創新能力。一方面通過以教師為主導設計案例、設置問題，體現了教師的主導性;另一方面以學生為主導答問、質問，在教學過程中激發并引導學生對于數值分析學科的學習興趣和學習熱情，從而活躍課堂氣氛，將“學以致用”貫穿整個教學環節中，從而大幅提高學生課堂學習的效率和數值分析的教學質量，最終推動教學目的的實現。

參考文獻：

[1]劉三明.數值分析課程中應用“翻轉課堂”教學模式的探討[J].教育教學論壇，2018，（6）：179-181.

[2]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].第5版.北京：清華大學出版社，2010.

[3]喬伊斯.教學模式[M].荊建華，宋富鋼，花清亮，譯.北京：中國輕工業出版社，2002.

[4]鄧月仙，張寶，劉文保.案例教學法應用的現狀與對策研究[J].西北醫學教育，2011，（8）：762-764.

The Application of Problem-oriented Case Teaching Method in the Cause of "Numerical Analysis"

LIU San-ming

（Shanghai Dianji University，Shanghai 201306，China）

Abstract：In this paper，the problem-oriented case teaching method is discussed in the cause of "Numerical Analysis".The results show that the problem-based case teaching method in the cause of numerical analysis is an effective way to improve the teaching effect.

Key words：problem-based teaching;case teaching method;"Numerical Analysis"