一類自由振動方程的定解問題

許佰雁

（長春光華學院基礎部，吉林長春130033）

積分變換法廣泛應用于求解無界區域或半無界區域的定解問題，如波動方程、熱傳導方程、泊松方程等[1-4]。將利用傅里葉變換法，證明一類自由振動方程的定解問題。

定義1若f(x)在(-∞,+∞)上有定義，在任一有限區間上滿足狄利克萊條件，且絕對可積，則稱

為f(x)的傅里葉變換，記為

定義2稱

為f(x)的傅里葉逆變換。

引理1若a1,a2為任意常數，則對任意函數f1(x),f2(x)，有

證明（1）由定義1知：

（2）同理可證。

定義3稱

引理3（菲涅爾積分）

證明見文獻[2]

對于無限長梁在初位移和初速度下的自由振動可歸結為如下定解問題

其中φ(x),ψ(x)均為已知函數。

證明問題（1）存在定解。

證明對問題（1）的方程及邊界條件作關于變量x的傅里葉變換得

對上式二階微分方程求通解得

對（3）式進行傅里葉逆變換，有引理1得

由推論2，可證

比較兩端的實部和虛部，即得

故自由振動方程（1）存在定解。