非高斯風壓峰值因子估計：基于矩的轉換過程法的對比研究

林 強，劉 敏，楊慶山,2，吳鳳波，黃國慶

(1．重慶大學土木工程學院，重慶 400044；2．結構風工程與城市風環(huán)境北京市重點實驗室，北京 100044；3．西南交通大學土木工程學院，四川，成都 611756)

建筑圍護結構抗風設計需要準確的結構表面風壓極值或者峰值因子[1—7]。風洞實驗結果表明，建筑表面風壓是隨機變化的，符合高斯或者非高斯分布；當符合高斯分布時，可采用經(jīng)典高斯分布極值理論求解風壓極值；當符合非高斯分布時，經(jīng)典高斯分布極值理論求解得到的風壓極值有可能偏小[3]，此時，國內(nèi)外學者提出了眾多的非高斯風壓極值估計方法[4]。

現(xiàn)有非高斯風壓極值估計方法主要包括轉換過程法(translation process method)、整體極值法(global maxima method)、區(qū)域極值法(block maxima method)、過閾法(peaks over threshold method)、平均條件超越率法(average conditional exceedance rate method)等[4]。轉換過程法的核心是建立高斯變量和非高斯變量之間的轉換函數(shù)，從而充分利用經(jīng)典高斯分布極值理論的解析解[8—9]。現(xiàn)階段，轉換函數(shù)建立的方法主要包括兩類：1) 采用某一特定函數(shù)模型直接描述高斯變量和非高斯變量之間的轉換關系，如Hermite多項式模型(HPM)[10]和Johson轉換模型(JTM)[11]，此時模型參數(shù)通常通過前四階矩計算得到；2) 假定非高斯母本分布為某一函數(shù)形式，如平移的廣義對數(shù)正態(tài)分布 (shifted generalized lognormal distribution，SGLD)[12]，再基于高斯變量和非高斯變量累積概率分布函數(shù)相等得到轉換函數(shù)，此時非高斯母本分布函數(shù)的參數(shù)可通過矩估計法、極大似然估計法或最小二乘擬合法等得到。對于可通過矩得到轉換函數(shù)的方法，統(tǒng)稱為基于矩的轉換過程法。基于矩的轉換過程法由于能夠利用高斯過程極值分布的理論解、需要的樣本時程信息短而被廣泛應用于非高斯過程的峰值因子估計[1—4]。

極值通常由母本概率密度函數(shù)(PDF)尾部決定。前述基于矩的HPM、JTM和SGLD模型均可基于前四階矩給出非高斯母本 PDF，并應用于非高斯隨機過程極值估計[10—18]。然而，對于相同的前四階矩，現(xiàn)階段關于該三種模型預測出的非高斯母本PDF的差別，尤其是尾部的差別尚不清楚，自然地，對于采用這三種模型預測的極值的差別亦無從可知。

為了比較三種模型的異同，給三種方法應用于非高斯風壓峰值因子估計時的選取提供指導，本文研究了三種方法對非高斯風壓峰值因子的估計效果。首先對比了三種模型基于矩預測的非高斯母本PDF的差異，從理論上明確三者求得的非高斯峰值因子不同的原因。其次，為了驗證前述理論分析結果，對比三種模型預測的非高斯風壓峰值因子和實際值的差別，選用長時距風洞試驗風壓數(shù)據(jù)檢驗了三種方法對非高斯風壓峰值因子的估計效果。

1 方法介紹

1.1 Hermite多項式模型——HPM

標準的非高斯風壓時程 X(t)可通過一個單調(diào)的轉換函數(shù)與標準的高斯風壓時程U(t)聯(lián)系起來[8]。

式中：x和u分別為標準的非高斯和高斯隨機變量；g ( )為轉換函數(shù)；FX和Φ分別為X(t)和 U(t)的累積概率分布函數(shù)(CDF)，為FX的反函數(shù)。根據(jù)高斯過程極值穿越理論，時長為T的高斯隨機過程極值的累積概率分布函數(shù)為：

式中：v0為零均值上穿越率；假設高斯過程和非高斯過程零均值上穿越率相等，即 v0= σX˙/ (2πσX)，σX和σX˙為X(t)和X˙(t)的標準差。根據(jù)此轉換模型，p分位點標準非高斯過程的極值xpmax可表示為：

式中，upmax為p分位點標準高斯隨機變量的極值。

Winterstein研究表明標準軟化非高斯(峰度大于3)隨機變量的轉換函數(shù)g(u)可基于Hermite多項式模型表示為[10]：

式中，k、h3和h4均為模型系數(shù)，其可由非高斯過程的前四階矩得到。對于峰度范圍為 3～15的非高斯隨機變量，模型系數(shù)的計算表達式為[16]：

式中，3α和4α分別為偏度和峰度。

對于硬化的非高斯過程(峰度小于3)，轉換函數(shù)可表達為[4]：

式中：b2、b3和b4均為模型系數(shù)；g-1()為g()的反函數(shù)b2、b3和b4的表達式為[4]：

式中， φ = [ 1 - 0 .06(3 - α4)]1/3。

基于矩的轉換函數(shù)需為單調(diào)遞增函數(shù)，這一限制條件使得HPM軟化非高斯過程的偏度和峰度需滿足：

對于 HPM 硬化非高斯過程的偏度和峰度需滿足：

1.2 Johnson轉換模型——JTM

Johnson基于中心極限定理提出了一種非高斯隨機變量x與高斯隨機變量u的轉換模型，即Johnson轉換模型(Johnson Transformation Model，JTM)。JTM可以表示為[11]：

式中：參數(shù)η和γ決定分布曲線的形狀；J( )分為三類，分別表示為：

式中：λ為尺度參數(shù)；ε為位置參數(shù)；SL中λ=1。

JTM的反函數(shù)可表示為：

式中，J-1()為J()的反函數(shù)，即式(17)～式(19)的反函數(shù)可表示為：

其中， w =exp(η-2)。w的解析式為：

其中：

因此，整個偏度-峰度平面被SL曲線和適用范圍邊界線(α4=+1)分為三個部分：不可能區(qū)域位于適用范圍邊界線以下，SB區(qū)域位于SL曲線和邊界線之間，SU區(qū)域位于SL曲線以上。為便于對比，將Hermite多項式模型的適用范圍也作于圖1中，很明顯JTM的適用范圍比Hermite多項式模型的適用范圍更廣。

圖1 Hermite模型及JTM模型的適用范圍Fig.1 Application range of Hermite model and JTM model

SU區(qū)域：

SB區(qū)域：

SL區(qū)域：

1.3 SGLD模型

Low[12]綜合平移對數(shù)正態(tài)分布能代表不同偏度范圍和指數(shù)冪分布能代表不同峰度范圍的特性來獲得能代表廣泛的偏度和峰度的分布模型，提出了SGLD(shifted generalized lognormal distribution)分布模型。SGLD分布的概率密度函數(shù)為[10]：

式中：b和θ分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù)；σ和r為形狀參數(shù)。SGLD模型的適用范圍與JTM模型相同。SGLD分布的概率密度函數(shù)中的4個參數(shù)可通過矩估計法得到。利用隨機變量x的前四階矩可得到四個等式[19]。

通過求解上述非線性方程組就可得到SGLD模型的參數(shù)值。

2 HPM、JTM和SGLD模型理論對比

對于標準軟化的非高斯過程，選取偏度為0、峰度不同的組合，通過Hermite多項式模型、JTM 模型和 SGLD模型求得的非高斯母本 PDF對比如圖2(a)所示，對應的轉換函數(shù)對比如圖3(a)所示。從圖2(a)可以看出，非高斯母本PDF尾部有所差異。從圖3(a)可得，當標準高斯值小于某一值時，三種模型求得的標準非高斯值比較接近；當標準高斯值某一值時，三種模型求得的標準非高斯值有一定的差別。對于硬化的非高斯過程，同樣的對比如圖2(b)和圖3(b)所示，可以看出，與軟化過程有同樣的規(guī)律。

圖2 軟化和硬化非高斯隨機過程的母本PDF(偏度=0)Fig.2 Parent PDF for softening and hardening non-Gaussian random processes (skewness=0)

由圖1可知，HPM模型的適用范圍最小。為了進一步對比Hermite多項式模型適用范圍內(nèi)三種模型對峰值因子的估計效果，選取三種模型都適用的偏度和峰度組合范圍，即 HPM 的適用范圍，以高斯峰值因子取3.8和4.5為例研究估計的非高斯峰值因子的差別。圖4為高斯峰值因子為3.8時，三種模型估計的極大值的非高斯峰值因子；受篇幅限制，高斯峰值因子為4.5時的非高斯峰值因子分布規(guī)律類似，本文未列出。此外，求解極小值的時只需將偏度乘以-1，得到類似的規(guī)律。

圖4 三種模型估計的非高斯峰值因子等值線圖(高斯峰值因子=3.8)Fig.4 Contour maps of predicted non-Gaussian peak factors for three models (Gaussian peak factor = 3.8)

圖5和圖6給出了三種方法求得的峰值因子圖及三種模型間的誤差，HPM和JTM之間的誤差計算公式為，HPM和SGLD之間的誤差計算公式為，JTM 和 SGLD 之間的誤差計算公式為

根據(jù)圖4～圖6可知：

1) 當高斯峰值因子取3.8時，HPM模型與JTM模型、SGLD模型所求得的峰值因子在長尾部分(即偏度大于零時)相差不大，差別在5%左右；在短尾部分(即偏度小于零時)，隨著偏度和峰度的增加差距逐漸增大，誤差在6%～60%。

圖5 三種模型峰值因子誤差對比等值線圖(高斯峰值因子=3.8)Fig.5 Error contour maps of peak factors among three models(Gaussian peak factor = 3.8)

圖6 三種模型峰值因子誤差對比等值線圖(高斯峰值因子=4.5)Fig.6 Error contour maps of peak factors among three models(Gaussian peak factor = 4.5)

2) 當高斯的峰值因子取為 4.5時，HPM 模型與JTM模型、SGLD模型所求得的峰值因子在長尾部分相差4%～20%；在短尾部分，隨著偏度和峰度的增加，差距逐漸增大，誤差在 10%～70%。與高斯的峰值因子取為3.8時相比，差距有增大的趨勢。

3) 當高斯峰值因子取為3.8時，SGLD模型與JTM模型所求得的峰值因子在長尾部分相差不大，誤差小于 5%；在短尾部分，隨著偏度和峰度的增加，差距逐漸增大(相差5%~30%)，但與HPM模型求得的峰值因子相比差距小。

4) 當高斯峰值因子取為4.5時，SGLD模型與JTM 所求得的峰值因子在長尾部分差別在 2%~10%，與高斯峰值因子取為 3.8時相比差別有所增加。在短尾部分，隨著偏度絕對值和峰度的增加，差距逐漸增大，差距在 10%~50%；與高斯峰值因子取為3.8時的差距相比有所增大。

3 數(shù)據(jù)驗證

3.1 非高斯風壓數(shù)據(jù)

為了研究三種模型應用于實際風洞數(shù)據(jù)的估計結果，本文選用了一組超長風洞試驗風壓數(shù)據(jù)進行驗證。風壓數(shù)據(jù)取自加拿大西安大略大學邊界層風洞試驗Ⅱ，模型(FL30)縮尺比為1∶50，如圖7(a)所示[20]。屋蓋上474個壓力測點(標記為“+”)，測點布置如圖7(b)所示。試驗的來流風場模擬郊區(qū)地貌，粗糙度長度z0=0.23 m，一共測試了三個風向，分別為 120°、125°和 130°，本文采用的數(shù)據(jù)為 120°風向角風壓系數(shù)。風速縮尺比為 1∶5，時間縮尺比為1∶10。風洞試驗采樣頻率為400 Hz。屋蓋表面總共474個測點，每個測點有180段持續(xù)時長為60 s(對應原型結構中的10 min)的風壓記錄，即每個測點記錄了 3 h的實驗數(shù)據(jù)(對應原型結構中的30 h)。

圖7 模型FL30及屋頂測壓點位置Fig.7 Model FL30 and pressure tap locations on roof

3.2 三種方法對所有測壓點的總體效果

圖8為風洞試驗風壓數(shù)據(jù)所有測點的高斯峰值因子等值線圖，從圖8可以看出，風壓數(shù)據(jù)對應高斯峰值因子范圍為4.0~4.5。

圖8 高斯峰值因子等值線圖Fig.8 Contour maps of Gaussian peak factor

從前述理論分析部分可知，當高斯的峰值因子值較大時，三種基于矩的方法求得的非高斯峰值因子的差別有增大的趨勢。為驗證當高斯的峰值因子值較大時三種方法應用于實際數(shù)據(jù)的準確性，基于一組超長風洞試驗風壓數(shù)據(jù)比較了三種模型估計的峰值因子與實際超長數(shù)據(jù)所得的峰值因子的效果。三種模型求得的峰值因子與數(shù)據(jù)對比的誤差結果見表1。

表1 HPM、JTM和SGLD模型估計的峰值因子誤差水平Table 1 Error level of peak factor estimated by HPM,JTM and SGLD

從表1可知，Hermite模型、JTM模型和SGLD模型誤差小于 15%的百分比分別為 77.5%、68.3%和63.3%；基于此結果可知，Hermite模型的估計效果比SGLD模型和JTM模型估計效果更好。

4 結論

本文首先在理論上對比了 Hermite多項式模型、JTM模型和SGLD模型在Hermite多項式模型適用范圍內(nèi)的非高斯過程峰值因子估計效果，然后通過選用一組超長風洞試驗風壓數(shù)據(jù)，檢查了三種方法對非高斯風壓峰值因子的估計效果。研究得出以下結論：

(1) 當高斯峰值因子較小時，Hermite多項式模型、JTM模型和SGLD模型對正偏斜非高斯分布極大值的峰值因子估計效果較為一致；三種模型對負偏斜非高斯分布極大值的峰值因子估計結果相差較大，JTM模型和SGLD模型估計結果較為接近。

(2) 當高斯峰值因子較大時，JTM模型和SGLD模型預測的峰值因子與Hermite多項式模型預測結果相比差別較大；本文采用一組低矮房屋超長測壓數(shù)據(jù)進行驗證，結果表明Hermite多項式模型估計結果相比SGLD模型和JTM模型估計結果更優(yōu)。

(3) 綜合來看，Hermite多項式模型估計結果更為接近實際值，但存在單調(diào)性限制，此時可通過定義新的統(tǒng)計矩，分別使用大于或小于中值的分布來分別估計最大值或最小值[21]或推導出 Hermite多項式模型對應不同偏度和峰度組合的完整表達式[13,22]來解決。