2020年高考概率與統計考點預測

袁海軍　徐詩佳

概率統計知識應用廣泛，它不僅是高中數學占有課時最多的一個知識板塊，更是高考考查學生應用意識和應用能力經久不衰的一大熱點. 最近幾年全國卷將概率與統計視為一個有機聯系的整體，以當前社會熱點應用問題為切入點，與其它知識緊密聯系組織試題素材，重點考查考生的數學運算、數據分析、邏輯推理、數學建模等數學核心素養. 該部分的命題點多，命題背景廣闊，概率統計在全國卷高考考查中一般有如下情形：一道選擇題和一道解答題，共2道題，分值為17分. 近5年來全國卷（理科）考題如下表：

■

可見高考對這一部分的考查難度相對穩定，考選擇題時， 難度偏易;解答題通常在第18、19題的位置，難度適中，只有在2019年全國？玉卷將它作為解答題的壓軸題，加大難度，需要引起重視. 高考對概率統計的考查主要是基本概念、基本公式的理解和應用以及運算求解能力和數據處理能力. 考點主要有兩類：一類是以排列組合、二項式定理，古典概型和幾何概型，離散型隨機變量的分布列及數學期望的概率計算問題. 另一類是以抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本數字特征，統計圖表，回歸方程，獨立性檢驗為主的統計案例問題. 那么在2020年高考中，有關概率與統計的哪些考點最值得關注呢？本文預測如下，僅供考生們參考.

考點一、考查以排列、組合運算為主的古典概型

預測題1.1 一個袋中裝有10個不同的球，其中有2個紅球，8個白球，從中任取2球，問取到1紅1白的兩個球的概率為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：方法1：記A=“取到1紅1白的兩個球”，則P（A）=■=■.

方法2： 記B=“取到1紅1白的兩個球”，則P（B）=■=■，故選B.

預測題1.2 袋子里有3顆白球，4顆黑球，5顆紅球，由甲，乙，丙三人依次各抽取一個球，抽取后不放回，若每顆球被抽到的機會都相等，則甲，乙，丙三人所得之球顏色互異的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：方法1：事件？贅為“不放回地抽取3個球”，則n（？贅）=■，基本事件為甲，乙，丙拿球的各種情況，且將這些球均視為不同元素. 設所求事件“甲，乙，丙三人所得之球顏色互異”為事件A，則先要從白球黑球紅球中各取一個（■·■·■），再分給三個人（三個元素全排列），所以n（A）=■·■·■·■，從而P（A）=■=■，故選D.

點評：解答有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件個數，這里常用到計數原理與排列、組合的相關知識. 此類題需對“分次取球”與“一次取球”的概念要搞清楚，在同一題中要按照統一有序或統一無序的方法求解，切不可模棱兩可，相互混淆，如預測題1.1很容易錯選A.

考點二、考查以傳統數學文化為載體的概率問題

預測題2.1 “石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國，然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿易的不斷發展，它傳到了歐洲，到了近代逐漸風靡世界. 其游戲規則是：“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、而“布”又勝過“石頭”. 若所出的拳相同，則為和局. 小明和小華兩位同學進行“五局三勝制”的“石頭、剪刀、布”游戲比賽，則小華獲勝的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：根據“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，可得每局比賽中小華勝小明、小華與小明和局和小華輸給小明的概率都為■，小華獲勝有三種情況：

①小華連勝三局，概率為P1=（■）3=■，

②小華前三局中兩勝另一局不勝，第三局小華勝，概率為：

P2=■·（■）2（■）1（■）1=■，

②小華前四局中兩勝，另兩局不勝，第五局小華勝，概率為：

P3=■·（■）2（■）2（■）1=■，

∴小華獲勝的概率是P=P1+P2+P3=■+■+■=■， 故選D.

預測題2.2?? 趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）. 類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設AD=2BD，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是（?? ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：設BD=x，根據余弦定理表示出AB，分別求得SABC·SDEF，根據幾何概型中概率計算公式可求.

設BD=x，因為△ABC是由3個全等的三角形與中間的等邊三角形構成.

所以AD=2x，∠ADB=120°.

由余弦定理可知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos120°.

代入可得AB2=（2x）2+x2-2×2x·xcos120°，化簡得AB2=7x2.

由三角形面積公式可得S△ABC=■AB2=■同理S△DEF=■BD2=■.

所以由幾何概型面積類型的概率可得■=■=■，所以選A.

點評：縱觀近幾年高考，以數學文化為背景的概率統計題，層出不窮，讓人耳目一新. 以上兩道預測題均以此為情境各設計了一道關于古典概型和幾何概型方面的試題，此類題需要考生認真審題，重視閱讀，快速抓住解決問題的關鍵，提升考生數據分析處理能力. 同時也引導師生重視我國傳統文化的學習，進而加深對傳統數學文化的理解，關注生活中的數學問題，增強數學的應用意識，發展數學核心素養.

考點三、考查總體特征的估計、離散型隨機變量的分布列和數學期望

預測題3.1?? 某市為準備參加省中學生運動會，對本市甲，乙兩個田徑隊的所有跳高運動員進行了測試，用莖葉圖表示出甲，乙兩隊運動員本次測試的成績（單位：cm，且均為整數），同時對全體運動員的成績繪制了頻率分布直方圖，跳高成績在185cm以上（包括185cm）定義為“優秀”，由于某些原因，莖葉圖中乙隊的部分數據丟失，但已知所有運動員中成績在190cm以上（包括190cm）的只有兩個人，且均在甲隊.

（1）求甲，乙兩隊運動員的總人數a及乙隊中成績在[160， 170）（單位：cm）內的運動員人數b.

（2）在甲，乙兩隊所有成績在180cm以上的運動員中隨機選取2人，已知至少有1人成績為“優秀”，求兩人成績均“優秀”的概率.

（3）在甲，乙兩隊中所有的成績為“優秀”的運動員中隨機選取2人參加省中學生運動會正式比賽，求所選取運動員中來自甲隊的人數的分布列及期望.

解析：（1）分析：本小問抓好入手點的關鍵是明確兩個統計圖的作用，莖葉圖所給的數據為甲，乙兩隊的成績，但乙隊有殘缺，所以很難從莖葉圖上得到全體運動員的人數. 在頻率分布直方圖中，所呈現的是所有運動員成績的分布（但不區分甲，乙隊），由此可明確要確定全體運動員的人數，需要通過直方圖，要確定各隊的情況，則需要莖葉圖. 要補齊乙隊的數據，則兩個圖要結合著看. 在第（1）問中，可以以190cm以上的人數為突破口，通過頻率直方圖可知190cm以上所占的頻率為0.005×10=0.05，而190cm以上只有2人，從而得到全體人數，然后再根據頻率直方圖得到[160，170）的人數，減去甲隊的人數即為b.

解：由頻率直方圖可知：

成績在以190cm以上的運動員的頻率為0.005×10=0.05，

所以全體運動館總人數a=■=40（人）.

∴成績位于[160，170）中運動員的頻率為0.03×10=0.3，人數為40×0.3=12.

由莖葉圖可知：甲隊成績在[160，170）的運動員有3名，

∴ b=12-3=9（人）.

（2）分析：通過頻率直方圖可知180cm以上運動員總數為：（0.020+0.005）×10×40=10（人），結合莖葉圖可知乙在180cm以上不缺數據. 題目所求的是條件概率，所以可想到公式P（B|A）=■，分別求出“至少有1人成績為‘優秀”和“兩人成績均‘優秀”的概率，然后再代入計算即可.

解：由頻率直方圖可得：180cm以上運動員總數為：（0.020+0.005）×10×40=10.

由莖葉圖可得，甲乙隊180cm以上人數恰好10人，且優秀的人數為6人，

∴乙在這部分數據不缺失.

設事件A為“至少有1人成績優秀”，事件B為“兩人成績均優秀”，

∴ P（A）=1-P（■）=1-■=■.

P（AB）=■=■，∴ P（B|A）=■=■·■=■.

（3）分析：由（2）及莖葉圖可得：在優秀的6名運動員中，甲占了4名，乙占了2名，依題意可知X的取值為0， 1， 2，且X符合超幾何分布，進而可按公式進行概率的計算.

解：由（2）可得：甲有4名優秀隊員，乙有2名優秀隊員X可取的值為0，1，2，

∴P（X=0）=■=■，P（X=1）=■=■，

P（X=2）=■=■=■.

X的分布列為：

∴ EX=0×■+1×■+2×■=■.

點評：本題“一題兩圖”，難度雖然不大，綜合性卻很強，將莖葉圖、頻率分布直方圖相結合，綜合考查樣本估計總體的應用，以及條件概率的計算和離散型隨機變量的分布列和數學期望，重點考查考生讀圖識圖及應用意識，強化學生的閱讀理解及數據處理能力.

考點四、借助頻率分布直方圖，考查樣本數字特征的計算，正態分布的概念和性質，以及它在決策中的應用

預測題4.1?? 某市提出教育強市，為了了解高三數學復習備考情況，該市教育局組織了一次檢測考試，并隨機抽取了部分高三理科學生數學成績繪制如圖1所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，估計該市此次檢測理科數學的平均成績u0;（精確到個位）

（Ⅱ）研究發現，本次檢測的理科數學成績X近似服從正態分布X～N（u，？滓2）（u=u0，？滓約為19.3）.

①按以往的統計數據，理科數學成績能達到升一本分數要求的同學約占46%，據此估計本次檢測成績達到升一本的理科數學成績大約是多少分？（精確到個位）

②已知該市理科考生約有10000名，某理科學生此次檢測數學成績為107分，則該學生在全市排名大約是多少名？

（說明：P（x>x1）=1-？覬（■）表示x>x1的概率，？覬（■）用來將非標準正態分布化為標準正態分布，即X～N（0，1），從而利用標準正態分布表？覬（x0），求x>x1時的概率P（x>x1），這里x0=■. 相應于x0 的值？覬（x0）是指總體取值小于x0 的概率，即？覬（x0）=P（x

參考數據：？覬（0.7045）=0.54，？覬（0.6772）=0.46，？覬（0.2072）=0.5832）.

解析：（Ⅰ）該市此次檢測理科數學成績平均成績約為：

u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈103.

（Ⅱ）①記本次考試成績達到升一本的理科數學成績約為x1，

根據題意，P（x>x1）=1-？覬（■）=1-？覬（■）=0.46，

即？覬（■）=0.54.

由？覬（0.7045）=0.54，得■=0.7054？圯x1=116.6≈117，

所以，本次考試成績達到升一本的理科數學成績約為117分.

②P（x>107）=1-？覬（■）=1-？覬（0.2072）≈1-0.5832=0.4168，

所以，理科數學成績為107分，大約排在10000×0.4168=4168名.

點評：本題將必修3的用樣本估計總體和選修2-3的正態分布“融為一體”，著力考查考生的運算求解能力和分析問題解決問題的能力. 解決正態分布問題有三個關鍵點：（1）對稱軸x=μ;（2）標準差σ;（3）分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值;由μ，σ分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率. 注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.

考點五、考查獨立性檢驗思想的理解和應用

預測題5.1?? 有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績，得到如下所示的列聯表：

■

附：

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已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為■，則下列說法正確的是（?? ）

A. 列聯表中c的值為30，b的值為35

B. 列聯表中c的值為15，b的值為50

C. 根據列聯表中的數據，若按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”

D. 根據列聯表中的數據，若按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”

解析：由題意知，成績優秀的學生數是30，成績非優秀的學生數是75，所以c=20，b=45，選項A、B錯誤.

根據列聯表中的數據，得到K2=■≈6.109>5.024，

因此有97.5%的把握認為“成績與班級有關系”，故選C.

點評：在統計案例的獨立性檢驗應用時需重點掌握以下幾個知識點：

（1）比較幾個分類變量有關聯的可能性大小的方法

①通過計算K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關聯的可能性越大.

②通過計算 | ad-bc | 的大小判斷：| ad-bc | 越大，兩變量有關聯的可能性越大.

（2）獨立性檢驗的一般步驟：? ①根據樣本數據制成2×2列聯表.

②根據公式K2=■計算K2的觀測值k.

③比較k與臨界值的大小關系，作統計推斷.

考點六、考查線性回歸分析思想的理解和應用

預測題6.1?? 某市農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫度與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下數據：

■

由表中根據12月2日至12月4日的數據，求的線性回歸方程■=■x+■中的■=3，則■為______，若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過1顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，則求得的線性回歸方程_________.（填“可靠”或“不可靠”）

解析：（1）由題得■=■=12，■=■=28，

可得：樣本中心點為（12，28），所以28=3×12+■，

所以 ■=-8. 所以 ■=3x-8.

（2）由題得■=3x-8.

分別將以上數據代入，得其差值均沒有超過1，所以求得的線性回歸方程可靠.

故答案為：（1） ■=-8.（2）可靠.

點評：線性回歸分析問題的類型及解題方法

（1）求線性回歸方程：①利用公式，求出回歸系數b， a.

②待定系數法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數.

（2）利用回歸方程進行預測，把線性回歸方程看作一次函數，求函數值.

（3）利用回歸直線判斷正、負相關;決定正相關還是負相關的是系數b.

（4）回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.

預測題6.2?? 某重點中學最近十年錄取985大學的學生人數逐年上升，下表是部分統計數據：

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（1）利用所給數據求年錄取人數與年份之間的線性回歸方程■=■x+■;

（2）利用（1）中所求出的線性回歸方程預測該校2020年的錄取985大學的學生人數.

解析：（1）由所給數據看出，年錄取人數與年份之間近似直線上升，下面來求線性回歸方程，先將數據處理如下表.

■

對處理的數據，容易算得■=0，■=3.2，則代入公式可得：

b=■=6.5，a=■-b■=3.2，

由上述計算結果，知所求線性回歸方程為：y=6.5（x-2014）+260.2.

（2）利用所求得的線性回歸方程，可預測2020年的錄取人數大約為：

y=6.5（2020-2014）+260.2=299.2≈299.

點評：回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法. 主要解決：（1）確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數學表達式;（2）根據一組觀測值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢;（3）求出線性回歸方程并進行預測. 例如此題在求回歸直線方程時進行了適當的轉化，優化計算，這都需要考生在平時做題認真總結，積累方法技巧.

總之，在高考復習中，要切實掌握概率統計的知識脈絡，理清概率統計公式定理的來龍去脈，重視文字閱讀和數據處理方面的訓練，關注數學思想方法的滲透，增強學生的數學應用意識.在解答時要強調認真審題，書寫規范，減少粗心與疏漏，不斷提高計算能力，考前還要重視對新題型的研究，在高考中以不變應萬變.

（本文系福建省第三批高中數學課程基地校建設項目“‘三教教學培育數學核心素養的探索與實踐”（立項批準號：MJYKT2018-054）研究成果之一）

責任編輯 徐國堅