2020年高考解析幾何命題預測

許少華

解析幾何的內容包括：直線方程、圓的方程、橢圓、雙曲線與拋物線.但在近年的高考命題中卻以橢圓、雙曲線、拋物線為主. 這三個曲線齊上陣，命選擇題、填空題還是解答題，也是三個輪流坐.其中在解答題的命制上，以橢圓為最多，拋物線次之，雙曲線從2011年至今從未以解答題的“身份”出現在全國高考的（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）理科試卷中.轉眼進入了2020年，那么，這一年高考命題在解析幾何這一重要的知識塊中將如何設計？下面我們談談自己的粗淺之見，不妥之處，請指正.

一、客觀題突出精與巧

客觀性試題是高考的重要題型之一，在這里每年都會出現兩道或三道解析幾何試題，這些題的一大特點是“精、巧”，看著不難，但，真的很“耐做”.

1. 若在直線與圓中設計試題

例1 點A在橢圓x2+2y2=4上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB（O為原點），則直線AB與圓x2+y2=2的位置關系為（??? ）

A. 相切???? B. 相交???? C. 相離???? D. 前三種情況都有可能

解析 設點A， B的坐標分別為（x0， y0），（t， 2），其中x0≠0.

因為OA⊥OB，所以■·■=0，即tx0+2y0 =0？圯t=-■，

當x0=t時，y0 =-■，代入橢圓C的方程，得t=±■，

故直線AB的方程為x=±■，圓心O到直線AB的距離d=■.

此時直線AB與圓x2+y2=2相切.

當x0≠t時，直線AB的方程為y-2=■（x-t）.

即（y0-2）x-（x0-t）x+2x0-ty0=0.

圓心O到直線AB的距離d=■又及t=?? -■.

故d=■=■=■.

此時直線AB與圓x2+y2=2相切.

點評 對于直線與圓的位置關系問題，常規的處理方法有兩種，將直線與圓的方程聯立產生方程組，通過根的判別式得到結論. 或者求圓心到直線的距離，通過圓心與直線的距離與圓半徑之間的大小關系產生結論，本題的處理方法就是第二種方法.

2. 若在橢圓中設計試題

例2 已知橢圓C：■+■=1 （a>b>0）的左、右焦點為F1，F2，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A，B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是F1點關于直線l的對稱點，設■=？姿■，若？駐PF1F2是等腰三角形，則？姿的值為________.

解析 由題意得是A（-■， 0），B（0， a），由y=ex+a，■+■=1？圯x=-c，y=■，其中c=■，所以點M的坐標是（-c， ■），由■ = ？姿■ 得（-c+■， ■）=？姿（■， a），得？姿=1-e2，由PF1⊥l，得∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使？駐PF1F2為等腰三角形，必有 |PF1 | = |PF2 |，即■|PF1 | = c.設點F1到l的距離為d，由■|PF1 |=d=■=■=c，得■=e所以e2=■，于是？姿=1-e2=■，即當？姿=■時，？駐PF1F2為等腰三角形.

點評 本題有點“曲徑通幽”的味道，雖然，難度不是很大，但求解并非一帆風順，從條件邁向結論還是需要小心、謹慎才是.

3. 若在雙曲線中設計試題

例3 過點（1， 0）作直線交雙曲線■-■=1的右支于M，N兩點，若 ■·■=0，O為坐標原點，則？姿的范圍為（?? ）

A. （■，1）????? B. [■，■）

C. [■，1]???? D. [■，2）

解析 設M（x1， y1），N（x2， y2），

① 當MN垂直于x軸時，MN的方程為x = 1，M（1， 1），N（1， -1）在雙曲線上.

即■-■=1？圯？姿2+？姿-1=0？圯？姿=■，因為0<？姿<1，所以？姿=■.

②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k（x-1）.

由■-■=1，y=k（x-1）？圯[？姿-（1-？姿）k2]x2+2（1-？姿）k2x-（1-？姿）（k2+？姿）=0.

由題意知： [？姿-（1-？姿）k2]≠0，

所以x1+x2=■，x1x2=■.

于是：y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=■.

因為 ■·■=0，且M，N在雙曲線右支上，所以

x1x2+y1y2=0，x1+x2>0，x1x2>0？圯k2=■，k2>■？圯■>■，？姿2+？姿-1>0？圯■<？姿<■.

由①②，知■≤？姿<■.

點評 本題的條件很精練，但求解并不順利，要考慮的情況較為復雜，運算量也比較大，運算過程中對處理方程的能力要求較高、對字母運算的能力要求也比較高.

4. 若在拋物線中設計試題

例4 已知拋物線y2=2px（p>0），過動點M（a， 0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A，B，且|AB |≤2p，若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，則？駐NAB面積的最大值為__________.

解析 設直線l的方程為y=x-a代入拋物線方程得（x-a）2=2px？圯x2-2（a+p）x+a2=0，∴ |AB | = ■·■≤2p？圯4ap+2p2≤p2？圯4ap≤-p2.