基于分數(shù)階小波變換的水印方法

基金項目：

安徽省 2016 年教育廳自然科學基金重點項目（KJ2016A671）。

摘 要

現(xiàn)有的小波域的水印嵌入算法具有復雜度高，嵌入水印后的宿主圖像PSNR值相對固定等缺點。本文利用圖像在分數(shù)階小波域不同階數(shù)下分解系數(shù)互異性特點，在低階數(shù)下嵌入水印具有更好的不可見性和安全性，抗攻擊實驗表明本文方法具有良好的穩(wěn)健性。

關鍵詞

分數(shù)階小波變換;水印;密鑰

中圖分類號： TN918 文獻標識碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2020.03.016

0 引言

隨著信息應用技術的迅速發(fā)展，引發(fā)出數(shù)字信息傳輸?shù)男畔踩鞍鏅啾Ｗo問題。數(shù)字水印技術是解決該問題的有效手段，通過確認或辨別嵌入于數(shù)字載體中的標識信息，來判斷信息載體是否被改動，因此數(shù)字水印技術成為信息隱藏研究中的重要研究方向。變換域方法是水印嵌入主流方法之一，通過改變宿主圖像變換后部分頻段的一些系數(shù)值進行嵌入水印信息。目前變換域算法主要集中于離散傅立葉變換、離散余弦變換、離散小波變換及混合變換域方法等，通過改變宿主圖像變換后部分頻段的一些系數(shù)值進行嵌入水印信息，在實際應用中得到了廣泛的應用[1-2]。但上述變換理論是基于時間-頻率域的分析方法，因此變換系數(shù)上相對固定，在變換效果缺乏靈活性。為改變這一不足，本文采用具有時間-分數(shù)階頻率域特點的分數(shù)階小波變換理論進行水印嵌入和提取研究。

1 分數(shù)階小波變換定義

將傳統(tǒng)的時間-頻域特征的小波理論推廣至時間-分數(shù)階頻率域，可得到具有時-分數(shù)階域局部化特征的新型FRWT：

Wp，t（α，a，b）=?f（t）dt=e?f（t）·edt

此處，ψ（t）=eψ

為分數(shù)階小波變換算子核，α=pπ/2分數(shù)域與時域的夾角，p為FRWT的階次，ψ（t）為WT母小波，a，b分別為尺度因子和時移因子。當p=1，α=π/2時，ψ（t）退化成小波變換算子核ψ（t），Wp，t（α，a，b）退化成小波變換表達式。

圖像的FRWT涉及水平和垂直的階數(shù)p1，p2，為研究問題方便，本文取p1=p2=p∈（0，1]。在該范圍內(nèi)，圖像FRWT變換隨著階數(shù)p值的變化，圖像變換系數(shù)在不同子帶上能量的聚集度、系數(shù)的稀疏性都發(fā)生變化[3-4]，充分利用不同階數(shù)p下變換系數(shù)互異性、非稀疏性等特點，來提高水印的安全性、魯棒性。

2 水印嵌入方法

首先對文中符號做如下定義：I-原始圖像;W-水印信號;IW-含水印圖像;key1-水印密碼變換階次p。原始圖像和水印圖像的大小滿足N=2n×M1，n為整數(shù)。本文原始圖像I大小選取512×512，水印圖像大小為64×64，n=3。

2.1 嵌入流程

步驟1 水印圖像預處理。為保證安全性，首先對水印信息W先進行Arnold 變換Wa，降低水印像素之間的相關性。

步驟2 對原始圖像I以階數(shù)p作j層分數(shù)階小波變換，且第j層各子帶的大小與水印大小相同。本文取j=3，將產(chǎn)生9個高頻子帶（LHK，HLK，HHK，K=1-3）和1個低頻子帶（LLj，j=3）。將水印信息通過下式嵌入宿主圖像I中，其中為a縮放因子。

WCA3=CA3+a*wa，

步驟3 將嵌有水印的子帶WCA3與其他子帶進行p階分數(shù)階小波逆變換，對重構的實部和虛部求模，得到嵌入水印的圖像Iw。

2.2 提取流程

步驟1 對含水印的圖像Iw和不含水印的宿主I圖像進行階數(shù)p分數(shù)階小波變換，作3層分數(shù)階小波變換，選取含有水印信息子帶及原始圖像分解后的對應子帶CA3，通過下式提取出水印信息。

Wa=（WCA3-CA3）/a

步驟2 對FW求模后對其進行反Arnold變換，得到提取的水印。

2.3 實驗結果

本文以Lean圖像為宿主圖像，嵌入水印大小為64×64 Flower水印圖像，隨機選取階數(shù)p=0.424，實驗結果如圖所示。其中，嵌入水印后的宿主圖像PSNR=41.5258，水印相似度NC=0.9999。實驗結果表明本文方法的可行性。

3 階數(shù)p對主客觀評價的影響

宿主圖像的分解系數(shù)受階數(shù)p變化而改變，直接影響到嵌入水印后宿主圖像的PSNR值以及提取水印的NC值。為找出選取p值合理范圍，本文在（0，1]內(nèi)選取均勻選取p值進行嵌入和提取水印實驗，并記錄相關數(shù)據(jù)。

從實驗結果可以看出，p值在1附近時，PSNR和NC值相對較小，表明宿主圖像加入水印后透明度較差，提取水印質量上欠佳;當p值變小，PSNR和NC值逐漸增大并趨于穩(wěn)定，表明宿主圖像加入水印后透明度較好，提取水印質量上得到提升。產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因是由于在p=1附近，宿主圖像在進行FRWT變換時分解的系數(shù)特點與小波域變換特點相似，即低頻分量上模系數(shù)體現(xiàn)圖像的主要部分，系數(shù)值較大，若將水印信息直接嵌入低頻系數(shù)上，就會造成PSNR降低。在p值變小時，圖像分解后高、低頻分量均有非稀疏性特點，低頻分量模系數(shù)有所下降，在嵌入水印后PSNR值得到提升。從上可知，在本文方法上嵌入水印傾向于選擇低p值。

4 密鑰的敏感性分析

階數(shù)p值的可變特點為本方法提供了一種密鑰，而密鑰的敏感性為水印提供了安全保證。若密鑰key發(fā)生錯誤時，水印載體圖像在進行相應DFRWT和DFRFT變換時不能獲得正確的分解系數(shù)，造成水印提取失敗，系數(shù)差別越大，正確提取水印可能性就越低。若錯誤密鑰與正確密鑰之間的變化擾動量（p值變化量）非常小，但引起分解系數(shù)差別很大，密鑰的敏感性就越強，對應密鑰范圍就越大。分析過程如下：

選取不同p值，并改變提取時p值為錯誤密鑰p，并分析變化的△p=|p-p|值的大小。此處以提取出水印的相似度NC=0.6值為標準，在高于該值時，認為提取出有效水印;NC值低于該值，就認為水印提取失敗。本文分別選取p=0.9，0.09，0.009，0.0009作為已知密鑰，實驗測得為△p=0.03，0.005，5e-5，2e-7。說明△p值隨著p值的減小而減小，說明在低p值下密鑰范圍更廣。這是由于p值低時，對不同的p值對應著不同調(diào)制頻率。在1附近時，調(diào)頻率較小，調(diào)制前后子帶模系數(shù)變化較小，改變△p后，子帶系數(shù)值變化相對緩慢些，密鑰敏感性就弱些。p值變小時調(diào)頻率變高，一旦p有個很細微的變化，子帶模系數(shù)及相位變化卻是很大的，所以低p值的密鑰具有很強的敏感性。圖2表示出p=0.0009時，密鑰正確p=0.0009時（圖b）和密鑰錯誤時p=0.0009002提取水印圖。可以看出，調(diào)頻率稍有變化（△p=2e-7）就無法完全地提取出正常水印。

圖2 密鑰敏感度實驗

5 魯棒性分析

本文采用剪切、噪聲、壓縮、模糊、濾波等常見攻擊進行魯棒性測試，表給出了不同攻擊情況下提取水印相似度比較值，NC值越高表明該方法能夠抵御各種攻擊，其穩(wěn)健性越強。實驗結果如圖3和表2所示。

表2 不同攻擊情況下提取水印NC值

測試結果表明，處旋轉攻擊效果稍差外，宿主圖像在剪切、噪聲、壓縮、濾波等攻擊后均能較好地提取水印，表明本文方法具有良好的抗攻擊能力。

6 結論

本文利用圖像在分數(shù)階小波變換在不同p值下的系數(shù)互異性特點，研究了基于該變換的水印方法。實驗表明低p值下本文方法含水印宿主圖像具有更好的透明性，同時具有更高的安全性。抗攻擊實驗表明本文方法具有良好的穩(wěn)健性。

參考文獻

[1]黃達人，劉九芬，黃繼武.小波變換域圖像水印嵌入對策和算法[J].軟件學報，2002，13：1290-1297.

[2]黃繼武，ShiYunQ，程衛(wèi)東.DCT域圖像水印：嵌入對策和算法[J].電子學報，2000，28（4）：57-60.

[3]徐小軍，王友仁.基于離散分數(shù)階正交小波變換圖像降噪新方法[J].電子學報，2014，42（2）：280-287.

[4]徐小軍，王友仁，陳帥.基于下采樣分數(shù)階小波變換的圖像融合新方法[J].儀器儀表學報，2014，35（9）：2061-2069.