站在門檻外看微積分

闞尚錦

[摘要]極限思想是近代數學的一種重要思想。通過教學內容、教學設計和知識聯系三個角度研究如何在小學數學課堂教學中滲透極限思想。

[關鍵詞]極限思想;數學思想;微積分

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）08-0008-02

極限思想是近代數學的一種重要思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。在小學階段，想要滲透這種思想，教師需要給學生搭建探究發現的平臺，給學生提供有效的“支撐”和充分的探索實踐機會。這樣學生才能切身體會到無窮的奧秘，感受極限的思想。本文將結合教學實例，談一談如何在小學數學教學中滲透微積分的理論基礎——極限思想。

一、“看”教學內容。滲透極限思想

小學數學教材中的很多內容都適合滲透極限思想，只要選用恰當的方法，就能讓學生在學習探究的過程中體會無限和無窮的意義，并利用對極限思想的感知，歸納總結出新知。

1.“數”的教學

教學自然數、奇數和偶數時，就可以讓學生感受：只要沒有范圍的限制，自然數是數不完的，奇數和偶數是有無窮多個的，因為沒有最大的自然數，也沒有最大的奇數和偶數。

教學無限小數時，對于1÷6=0.166...，學生一開始會糾結于除法算式除不盡，除不盡的含義就是除不完，如果要將這個算式的得數一直寫下去，那小數點后的數字是寫不完的。

2.“形”的教學

教學直線和射線時，想要學生清楚它們和線段的區別，可讓學生閉著眼睛想象：直線和射線都是無限長的，它們可以一直延伸下去，無邊無際，但直線是兩端無限延長，沒有起點也沒有終點的，而射線是一端固定，另一端無限延長，是有起點無終點的。只有弄清楚了這三種線各自的特點，才能真正洞悉它們的數學本質。

教學“正多邊形”時，教師常常會在教學正三角形和正四邊形的特征之后加入正五邊形、正六邊形，讓學生觀察正多邊形隨著邊數的增加所發生的變化。

通過圖形，學生很快就能發現，隨著邊數的增加，正多邊形會越來越接近圓，那當邊數無窮大時，正多邊形是否就成為圓？在你一言我一語的表達中，學生經歷了一場頭腦風暴，極限思想也在學生的腦中生根。這樣的學習讓學生感受到了極限思想的精髓，打破了學生思維定式中“直”與“曲”的界限，在無窮中實現了變直為曲，有利于學生走出有限的幾何觀念，形成無限的幾何觀念。

要想在課堂教學中滲透極限思想，就要選擇合適的教學內容和方法，這樣才能做到“潤物細無聲”，使得學生在探究新知的過程中感知極限思想的價值。

二、“看”教學設計。加深思想感知

小學階段的一些數學公式推導的教學常常需要滲透極限思想，以便學生更好地理解公式推導的過程。以“圓面積”這一課為例，在推導出圓面積公式之前，需要讓學生感受兩次極限思想。

1.“蜻蜓點水”，初步滲透

本節課需要解決課本上的兩道例題，例1的教學目標是讓學生利用數方格的方法來初步感知圓面積和r2之間是三倍多一些的關系。于是我設置了兩個維度。第一維度是給出課本上半徑分別為3、4、5的圓形，讓學生通過數一數、算一算的方法，感受圓面積和半徑的關系。學生大都能夠發現圓面積和r2之間有著三倍多一些的關系，但具體的數據并不能由此而得到。因此，基于教材中的圖形，我又增加了半徑為8和半徑為20的兩個圓形。

通過原有的三個圖形，學生能感受到圓面積和r2的大概關系，但增加了兩個半徑較大的圓形后，學生能夠更加清晰地感受到，當半徑變大時，圓面積與r2的關系更加接近π。在此基礎上，我再追問：“如果這個圓無限大呢？”一石激起千層浪，學生的思維再一次被點燃，短暫的思維碰撞之后，學生提出S=πr²的猜想。在這過程中，學生能夠感覺到無限大的這個圓其實就是一種極限的情況，體驗到極限思想的無窮魅力。

2.“下馬看花”，再次感悟

讓學生帶著猜想學習本節課的第二個例題，即圓面積公式的推導。推導圓面積公式一般有兩種方法：劉徽的割圓術和教材中的將圓分割后拼接成長方形的方法。這兩種方法都要求學生有極限思想。在教學中，為了讓學生充分感知這兩種方法，我發給每一位學生一張圓形紙片，讓學生通過折一折、剪一剪、拼一拼的方法來自主研究圓面積的公式。在充分的動手操作后，兩種方法都出現了。關于劉徽的“割圓術”，學生是這樣呈現的：

從圖中不難看出，隨著圓內接正多邊形邊數的不斷增加，正多邊形的面積就越接近圓的面積，當正多邊形的邊數無限多時，正多邊形的面積就是圓的面積，從量變轉為質變。雖然小學生還無法解決正多邊形面積的極限問題，但是這樣的過程還是應該完整而清晰地展現給他們。學生會在你一言我一語的激烈交流和教師的講解中擁有極限思想，理解無限逼近的動態過程。

關于教材中的方法，學生通過剪拼，可以得到一個趨近于平行四邊形的圖形：

學生在交流后也發現，當分割的份數變多時，拼接得到的圖形會越來越趨近一個平行四邊形。為了能讓學生直觀感受到極限的情況，我還利用了幾何畫板這一現代化工具來呈現趨近于極限時的畫面。

【教學片段】

師：看了這樣的一個動態過程，圓被這樣平均分成很多很多份后，你認為能拼成什么？

生：長方形。因為分割得越多，拼接出的平行四邊形左右兩側的斜度越大，如果分割成無限份，其左右兩邊就和上下的這兩條邊垂直，也就變成長方形了。

學生的回答贏得了熱烈的掌聲，可見學生已經真正理解了圓面積公式的推導過程和本質內涵。

以上關于圓面積公式的推導過程，采用了“化圓為方”“變曲為直”的極限分割思想。要想在課堂教學中滲透極限思想，教師需要在把握教材的基礎上，給學生提供探究的平臺和思考的扶手，讓學生在一次又一次的感知中升華對數學思想的感悟。

三、“看”知識聯系。深研數學本質

教師可在復習的時候利用數學思想引導學生打破知識的局限。例如，復習梯形面積公式和三角形面積公式時，就可以利用極限思想引導學生發現這兩個公式之間的聯系。梯形的面積公式是“（上底+下底）×高÷2”，而梯形的上底慢慢縮小直到縮小至一個點后，梯形變成了三角形，這個上底也變成了0，正好可以得到三角形的面積公式“底×高÷2”。

同樣，可以引導學生利用這樣的思想方法去思考正方形、長方形、平行四邊形的面積公式。極限思想在這里正好能將平面圖形面積公式的推導本質呈現給學生，讓學生深刻感受到數學中的變與不變：變化的是表層特征，而核心的本質是不變的。

極限思想在小學生數學必備品格之數學思想中占有一席之地，是高等數學中微積分的基礎。小學是學生形象思維向抽象思維轉化的階段，教師可以通過選取恰當的教學素材和創造進階型教學設計這兩個方面來幫助學生將極限思想一步一步植入到腦海中。這樣的教學，留下的不僅僅是數學知識，更是一種數學素養，就像是我們帶著學生站在門檻外看看微積分。

（責編：金鈴）