重視例題價值，引導學生抽象

魏媛媛

[摘要]教師要充分利用教材中的例題，挖掘例題價值，根據教學目標設計合適的教學過程。在“用字母表示數”的教學改進過程中發現，只有根據學生已有的知識基礎，通過教材的例題引導學生遷移規律，才能真正幫助學生發展抽象思維，使學生順利掌握新知。

[關鍵詞]例題;抽象思維;用字母表示數;教學改進

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）08-0046-03

“用字母表示數”是學生學習代數知識的起點，標志著學生從算術學習開始轉向代數學習，從對“數量”的理解轉向對“關系”的探討。學好這一部分知識有利于學生解決稍復雜的數學問題，獲得成功體驗;有利于加強中小學知識的銜接，使得學生更順暢地進入中學數學學習;有助于培養學生抽象思維能力，幫助學生鞏固已有知識。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第二學段內容標準中提出教學目標：在具體情境中能用字母表示數;結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示。學生從用數字表示數到用字母表示數，即由確定的數量到變化的數量，不僅抽象程度明顯提高，而且還涉及思維方式的深刻變化，可以說是學生數學思維發展的一次跨越。學生必須克服長期學習數與計算所形成的思維慣性，避免受到以前“結果唯一”的影響，這是有一定難度的。對此，學生只有經歷由數抽象成字母的過程，才能真正理解用字母表示變化的數量的含義。

一、實踐與思考

【教學片段1】

師（出示PPT）：今天我帶來了糖果，準備獎勵給上課表現優異的同學。可是只有25顆，以咱們班表現來看，肯定不夠發，于是我又準備了一包。你覺得現在夠分了嗎？你是怎么判斷的？

師：既然不能確定，那可以怎么說？你有什么好方法表示未知的數嗎？

（引導學生用圖形、符號、字母等形式表示）

師（揭示課題）：大家都用字母a，可用字母6嗎？有時沒法用具體數字表示的數，就可以用字母表示。

師：字母a可能表示哪些數？

生1：5、3、7……

師：字母a可以表示未知的、變化的數。

師：那你會表示現在總共有多少顆糖果嗎？

生2：（25+a）顆。

師：這道式子和我們以前學的有什么不一樣？

生3：含有字母。

師：是的，像這樣的式子叫作含有字母的式子。25表示什么？a表示什么？25+a表示什么呢？

生4：25表示原來有的糖果數，a表示后來又放進去的顆數，25+a表示現在有的顆數。

用獎勵糖果的實例引入用字母表示數和數量關系，可激發學生的學習興趣。學生根據自己的經驗說出用a表示糖果的顆數，但這對數量的抽象并不到位，最后，學生根據自身的一些經驗得到用含有字母的式子25+a表示，但由于他們沒有經歷抽象的過程，這樣的認識是不完整、不深刻的。同時，本節課內容比較多，按上述方式教學，最后只完成了練一練的第2題及第3題，而練一練的第1題及練習十八的1至3題都未能在課堂上呈現，但是，缺少相應的練習會影響學生當堂學習的效果，并加重學生的課后負擔。因此，在下一次教學中刪減了這一部分的導入內容。

【教學改進1】

學習例1（題目略）

師：從圖中你知道了什么？

生1：擺1個三角形需要3根小棒。

師：擺2個三角形需要用幾根小棒？可以怎樣列式？

生2：6根，列式是2×3。

師：這里的2和3分別表示什么？

生3：“2”表示擺的三角形個數，“3”表示擺1個三角形需要3根小棒。

師：擺3個三角形、4個三角形呢？能接著寫下去嗎？

生4：擺3個三角形，列式是3×3;擺4個三角形，列式是4×3。

師：還能再寫一個嗎？

生5：擺5個三角形，需要5～3根小棒。

師：誰還能再說一說？說得完嗎？

師：三角形個數和小棒根數有什么關系？

生6：小棒根數是三角形個數的3倍，三角形個數x3=小棒根數。

師：這些算式都包含相同的數量關系，你能用一個式子表示嗎？

（學生獨立嘗試）

師：你為什么用符號（或圖形、字母）來表示三角形的個數？

生7：我用符號（或圖形、字母）表示，因為三角形的個數在不斷變化。

師：比較這幾種表示方法，有什么相同和不同的地方？

生8：相同：都用（）×3表示（“x3”表示什么？），用一個符號、圖形或字母表示三角形個數（為什么不用符號、圖形或字母來表示3？）。不同：所用的表示方式不同。

生9：因為3是個確定不變的數，而三角形的個數是變化的、不確定的。

師：像這樣變化的數就可以用符號、圖形、字母表示，今天我們就來研究其中一種。

由于原教學在引入部分揭示“用字母表示數”和“含有字母式子的數量關系”，所以例1就淡化了對這兩個問題的深刻探討，但同時也忽視了對“三角形的個數和小棒的根數有什么關系？”這個問題的討論，其實“三角形的個數和小棒的根數有什么關系”這個問題是很重要的，只有清楚了數量關系，才能從用日常語言表示數量關系抽象到用符號語言表示數量關系。因此這里必須引導學生展開討論，搞清楚數量關系，知道每個三角形所用小棒的根數是不變的量，而三角形的個數是個變化的量，但不管三角形的個數怎么變，“三角形個數×3=用小棒的根數”這個數量關系是不變的，正因為有這個不變的數量關系，才能用字母表示所有三角形的個數。教師應該在學生明白這一點后，再讓學生嘗試用一個式子表示。這里的教學程序應該是讓學生先說關系，再用一個式子來表示，這樣就比較好地完成從數抽象成字母的過程。學生可能會寫出用不同字母表示的式子，但不管寫出什么式子，都是在概括算式且理解了數量關系的基礎上寫出來的，把這些式子都寫出來還有助于豐富學生對用字母表示數的方法的認識。最后再出示“如果用n表示三角形的個數，小棒的根數是（）×（）”，讓學生體會到aX3既表示擺a個三角形所用小棒的根數，又表示所用小棒的根數與擺出三角形個數之間的數量關系。還可以進一步提問：“這里的。可以表示哪些數？”讓學生根據題意體會可以表示任意自然數。還可追問：“a可以是50嗎？可以是500嗎？可以是0.5嗎？可以是1，5嗎？”加深學生對用字母表示數的理解。

【教學改進2】

師：如果這里三角形的個數用字母a表示，小棒的根數是多少呢？

生1：aX3。

師：像這樣的式子叫作含有字母的式子。

師：a表示什么？

生2：三角形的個數。

師：乘3表示什么？

生3：擺每個三角形需要3根小棒。

師：aX3表示什么？

生4：小棒的根數、3倍關系。

師：這里的a可以是哪些數？

生5：1、2、3、4……

師：a可以是50、500、0嗎？a可以表示什么？

生6：可以。a可以表示任意的自然數，代表的是幾個三角形。

師：是的，a可以是任意的自然數。什么時候我們會用字母表示？

生7：對于未知的、變化的數，可以用字母表示。

二、討論與發現

【教學片段2】

呈現例2：上周末，魏老師從南京自駕去了黃山旅游，出發前，在手機導航上發現從南京到黃山有280千米。

師：如果已經行駛了50千米，你會求剩下的千米數嗎？誰會填？你是怎么想的？如果已經行駛了74.5千米，剩下的千米數又是多少？

生1：剩下的路程=總路程一已行駛的路程。

師：如果不知道已經行駛了多少千米，要求剩下的路程，可以怎么表示？

生2：280-b。

師：280表示什么？

生3：總路程。

師：6表示什么？

生4：已經行駛的路程。

師：280-6表示什么？

生5：剩下的路程。

生6：也可以用c表示剩下的路程。

師：用c和280-6表示，哪個更好一些？

生7：280-6更好，因為總路程是280千米，已經行駛的路程是b，用總路程減去已經行駛的路程，剩下的路程就是280-b。

師：對，這樣不僅能表示剩下的路程，還可以從中看出總路程、已經行駛的路程和剩下的路程之間的關系。那么6到底是多少？（出示PPT動圖）和同桌說一說。隨著6的變化，剩下的路程怎么表示？

生8：隨著b變大，280-b變小，但不管怎么變，剩下的路程都是280-b。

師：這里的b可以是任意數嗎？為什么？

生9：不可以。b只能是0到280之間的任意數。

師：你能說出它的取值范圍嗎？

生10：0≤6≤280。

師：如何才能確定剩下的路程？

生11：確定6的大小。

師：6可能是小數嗎？可能是分數嗎？

例2是對例1的鞏固、完善和補充，有了例1的基礎，出示例2后，前面的3個問題可以讓學生根據題意獨立思考，先獨立填寫，然后再進行討論。如果還是一個問題一個問題地提問回答，那么前面的學就沒有起到作用。討論的重點應該放在：（1）280-b表示什么？明確“既表示剩下的千米數，又表示‘總路程一已經行駛的路程=剩下的路程”這個數量關系;（2）6的取值范圍。不要將這個要點分割得很零碎后進行提問。例2的教學要體現出與例1的層次，例1已經抽象出用字母表示數，學生已經知道含有字母的式子所表示的兩種含義，例2要在此基礎上引導學生利用已有的知識和經驗進行思考，從而完善學生的認知，豐富和拓展學生對用字母表示數的認識。

【教學改進】

師：上周末，魏老師從南京自駕去了黃山旅游，從圖中（圖略）你知道了什么？那這兩個問題你會解決嗎？

呈現：如果已經行駛了50千米，剩下的千米數是（）。

如果已經行駛了74.5千米，剩下的千米數是（）。

師：誰會填？你是怎么想的？

生1：都是用“總路程一已經行駛的路程=剩下的路程”。

呈現：如果已經行駛了6千米，剩下的千米數是（）。

師：誰會填？

師：280表示什么？

生2：280表示總路程是280千米。

師：6表示什么？

生3：已經行駛的路程。

師：280-b表示剩下的路程，剩下的路程等于總路程一已經行駛的路程。

師：280-b不僅表示剩下的路程，我們還可以從中看出總路程、已經行駛的路程和剩下的路程之間的關系（數量關系）。

師：這里的6可以是任意數嗎？

生4：不可以。

師：為什么？

生5：6可以是0到280之間的任意數。

師：你能說出它的取值范圍嗎？

生6：0≤b≤280。

師（出示PPT）：一起來感受一下6的取值范圍。

師：隨著已行駛的路程的不斷變化，剩下的路程怎么表示？

生7：隨著6變大，280-b變小，但不管怎么變，剩下的路程都是280-b。

師：要想確定剩下的路程，該怎么辦？

生8：確定6的大小。

出示：（1）如果b=120，剩下（）千米;

（2）如果b=200，剩下（）千米;

（3）如果b=（），剩下（）千米。

三、教學反思

“用字母表示數”的教學內容一共有3個例題，每個例題都有明確的要求。教師一定要理解教材每個例題的要求，要重視知識展開過程的價值，讓學生經歷探索和體驗的過程。本節課的教學經歷了多次的嘗試與調整，目的只有一個，即在教學中引導學生克服慣性思維，理解用字母表示數的抽象性，從而發展自身的抽象能力。

反觀一開始的教學，雖然流暢，但沒有達到讓學生真正感受用字母表示數的抽象過程，學生的認識和思考不足，只能憑經驗回答，對知識的認識不夠深刻。比較而言，最終的授課才真正體現了“重視例題，深刻挖掘了例題的價值”。因此，教師在課堂教學時不能只追求表面的流暢，應該從教學內容本身出發，結合課堂生成，以此引發學生自主建構，真正做到促進學生抽象能力的發展。