立足課堂教學 促進深度學習

張君

摘 要：深度學習是學生掌握數學思想、方法、本質，提升數學核心素養的有效途徑。《新課標》指出“學生要開展基于項目的學習，基于問題的學習，基于挑戰的學習”，這個學習就是指深度學習。如何精心設計教學、利用課堂有限的時間提升學生深度學習的能力是教師當下需要致力于研究并解決的重要課題。數學歸納法是高中數學教學的重、難點，2019浙江卷就涉及到數學歸納法。本文以高三一輪復習時數學歸納法第一課時的教學設計為例，圍繞“什么是數學歸納法;如何用數學歸納法證明不等式”展開，引導學生“想得到”用數學歸納法又“想得通”如何用數學歸納法，以達到提升學生邏輯推理能力、促進學生深度學習的教學目標。

關鍵詞：深度學習;高三一輪復習;數學歸納法;教學設計

2019浙江卷第20題考的是數列的知識，它考查學生的數學運算、邏輯推理能力以及綜合應用的能力，其第二小題可以直接用放縮法證明，亦可數學歸納法與放縮法結合來證明。考生在這題上的得分是偏低的，高考后筆者問卷調查了所在學校的考生，發現考生在嘗試證明第二小題時碰到以下困難：1.想不到用數學歸納法證明;2.能夠想到用數學歸納法證明，但完成第一步歸納奠基之后，不能完成第二步歸納遞推，以致解題失敗。高三復習課的目標就是使學生搞清楚新授課時沒有搞清楚的知識、方法，在深度理解知識點后，通過深度學習，能夠運用知識、方法解決數學問題，從而理清知識脈絡、掌握知識體系。筆者就一輪復習中數學歸納法的復習課為例，針對“什么是數學歸納法;如何用數學歸納法證明不等式”這兩個問題設計了一堂課，敬請專家批評指正。

一、數學歸納法復習課的教學設計說明

1、教學內容分析

數學歸納法是人教版數學選修2-2第二章推理與證明的第三節的內容，是以演繹推理為主的一種數學證明方法，是典型的三段論，也是證明與自然數有關的命題的重要方法，數學家皮亞諾建立自然數的公理體系時，確立了數學歸納法是自然數的公理之一（歸納公理）。運用數學歸納法證明題目的基本步驟：第一步歸納奠基，第二步是歸納遞推，這兩步缺一不可，共同確保了論證的嚴密性和正確性。高考對數學歸納法的要求是會用數學歸納法證明一些簡單數學命題。

2、學情分析

筆者今年帶教的兩個畢業班都是文科班，數學底子不夠扎實，學生在高二時粗略地學過數學歸納法的定義以及應用。其學習困難主要表現在以下兩點：一是概念模糊，不清楚數學歸納法的原理，所以碰到能夠用數學歸納法證明的題目時想不到用數學歸納法來證明;二是邏輯推理能力不夠，在證明歸納遞推，也即假設命題P（k）成立證明P（k+1）也成立時碰到困難，導致哪怕想得到要用數學歸納法來證明也證明不出來。

3、教學目標

追本溯源，使學生從本質上理解并掌握數學歸納法的原理、意義，明確其適用范圍、證明步驟，掌握證明歸納遞推時用到的基本思想、方法;培養學生邏輯推理的能力。

4、教學重點、難點

教學重點：明確數學歸納法的原理、基本步驟、以及證明歸納遞推的基本思想、方法。

教學難點：如何證明歸納遞推;培養學生邏輯推理的能力。

二、教學過程設計

本節課的基本流程安排如下：由具體例題引出數學歸納法→引導學生回顧數學歸納法的基本步驟→通過提問使學生明確數學歸納法的原理→引導學生探索證明歸納遞推的基本思想、方法→學生歸納總結→教師點評。

1、設置問題，引發深度思考

問題一：

講義發下后學生普遍感到困難，很多學生已經忘記用數學歸納法證明的基本步驟，整個班級只有二十來個學生寫出了第一步：驗證當n=2時不等式成立，至于第二步就無從下筆了。

師：大家普遍感到困難，今天我們的任務就是理清數學歸納法的原理、基本步驟和基本方法。大家還記得多米諾骨牌嗎？我們先來整理一下：多米諾骨牌能夠全部倒下的條件是什么？

生：先要按倒第一塊，然后因為擺放得當，只要前面一塊倒下后面一塊一定倒下。

師：所以第一步是按倒第一塊，第二步是只要前面一塊倒下那么后面一塊就倒下，結合這兩步骨牌就全部倒下了。類比多米諾骨牌，我們把這兩步化歸到數學歸納法是哪兩步？

生：驗證第一項，也即n=1時結論成立，第二步是證明假設n=k時結論成立，那么n=k+1時結論也成立。

師：（板書證明的基本步驟歸納奠基、歸納遞推）這兩步缺一不可，第二步證明了如果前面一項成立則后面一項一定成立，也即證明了傳遞性，這個時候驗證第一項確實成立，那么第一項成立根據傳遞性推出第二項成立，第二項成立推出第三項成立，以此類推，哪怕n無窮大，也即證明了所有項都成立。我們來再次解題。

設計意圖：開門見山直面主題——用數學歸納法證明不等式。學生證明遇到困難，通過回憶，思考數學歸納法的原理與基本步驟。

2、明確原理，促進深度理解

學生繼續解題。

師：用數學歸納法證明的第一步是驗證第一項，也就是按倒第一塊，這個第一項一定指n=1的時候嗎？

生：不一定。

師：所以同學們在證明第一步的時候斟酌一下滿足條件的第一項是哪一項，對于本題滿足條件的初始項是第幾項？

生：第二項。

生描述解題過程，師規范板書并強調書寫格式。

設計意圖：用數學歸納法證明命題時候需要注意的細節比如初始項，可以通過具體問題由學生自己發現從而強化記憶。

師：第二步，假設

下面想證當n=k+1 時，結論也成立，我們來分析一下，我們要根據什么條件來證明n=k+1時結論也成立，也即什么條件可以推出n=k+1時也成立這個結論？n=k+1時的結論是什么？

生：條件是假設

結論是證明

師：對的，你能歸納一下用數學歸納法解題的第二步，我們本質上是做了什么事情？

生：就是利用n=k時命題成立作為條件推導出n=k+1時命題也成立這個結論。也就是證明了只要前面一項成立那么后面一項一定也成立。

師：很好，數學歸納法的第二步重點是證明：若P（k）為真，則P（k+1）為真，也就是證明結論具有傳遞性，這樣的話結合之前第一步已經驗證了P（1）成立，那么就能夠得到所有項都成立，所以數學歸納法就是用有限的步驟來證明無窮項都成立，這就是數學歸納法的精妙所在。所以我們在處理和正整數有關，特別是與數列有關的證明，遇到常規方法行不通的時候我們就可以嘗試用數學歸納法來證明命題成立，或者先猜測結論，再由數學歸納法證明結論成立。

設計意圖：學生掌握數學歸納法的“形”是沒有多大問題的，但是真正掌握數學歸納法的“神”一直是個難點，如果沒有搞清楚數學歸納法的原理，應用數學歸納法證明就無從談起。通過剛才的提問和回答，學生就會明白數學歸納法的第二步就是證明了“ 若P（k）則P（k+1）”為真命題，這樣的話，結合第一步，很容易就得到了 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，也就清楚了數學歸納法的本質，體會到數學歸納法的正確性、嚴密性以及實用性，達到深度理解的目的。

3、探索方法，達到深度學習

學生在使用數學歸納法證明命題的過程中，往往困難會發生在

的時候，用數學歸納法證明命題并不是歸納法“孤軍奮戰”的過程，我們往往通過分析條件和結論，運用多種方法解決問題，從而發揮數學歸納法的威力。

方法1：分析法與作差法結合

師：所以我們在證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?放大到

，然后呢？我們想證明的是

，這個時候我們該怎么處理？

生： 式是利用前面一項作為條件得到的結論，一定是可行的，而后面 式是我們要證明的結論，也一定是對的，那么我們只要證明

即可。

師：很好，通過分析我們發現只要證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 就能夠證明結論成立，那我們怎么證明該不等式成立？

生：作差比較，減一減。

師：所以我們要善于分析得到的結論和想證的結論有什么聯系，如果需要比大小我們首先考慮減一減，也就是做差比較。當然，如果是用數學歸納法證明等式時，我們該怎么處理？

生：想辦法把得到的結論化成想證的結論。

（教師板書過程并規范格式）。

設計意圖： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，碰到需要比大小，學生首先要想到運用作差比較法來證明結論成立。

方法2：分析法與放縮法結合

問題二：用數學歸納法證明：

學生嘗試解題。

教師用投影儀投影某學生解題過程：

“第一步：當 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，右邊=2 ， ? ? ? ? ? ? ，成立

第二步：假設當 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時，

那么，當 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”

師：這位同學還沒有做完，請同學們點評一下，這位同學解的過程正確與否。

生：第一步是對的，第二步中的假設也對的，但是n=k+1時的式子是錯誤的。

師：請你改一改。

生：

師：好的，說明我們在由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，必須要清楚 n=k到n=k+1時兩個式子的項的變化規律。那么本題里，從 n=k到n=k+1，多了哪幾項？多了幾項？

生：多了 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，總共 ? ? 項

師：接下來我們該如何分析？

生：

是利用n=k時成立推出的結論，而我們的目的是證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以，我

們只需要證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，也就是證明

即可

師：作差比較法這里適用嗎？

生：不適用，因為不能通分也不可能減一減。

師：想一想，這里有2k項個分式的和，既不是等差數列求和又不是等比數列求和，想證明它們的和小于1，也不能用直接作差比較的方法，我們觀察一下這些項的特征，怎么去把它們的和和1去比較呢？

生：

師：（學生口述，師板書過程）很好，從 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時，要證A

設計意圖：發現學習理論強調知識的發展過程，教師必須有目的的引導學生經歷問題發生以及解決的過程。通過本題學生明確了：1、在進行歸納遞推證明的時候，必須先弄清楚從n=k到n=k+1時項的變化規律，然后根據具體的需要來決定用什么方法進行證明;2、證明不等式的時候首選比較法，如果比較法行不通，可以嘗試先放縮再比較，把不容易比較的式子放縮成相對簡單的式子，從而體驗到了使用放縮法的必要性。

問題二變式：（2019浙江卷20題）

第一小題因為計算過程不簡單所以學生解答的時候耗時不短，但學生剛剛復習過數列，問題不大，所以筆者用實物投影儀直接投出了某位學生的解答過程。因為本節課是復習數學歸納法，第二小題又是正整數相關的命題的證明，所以學生在證明第二小題時很自然的想通過數學歸納法來證明。涉及到放縮，所以學生在由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時還是有困難。筆者繼續投影學生的證明過程：

學生在這里遇到了困難，很多學生把不等式右邊的項移到左邊，進行做差比較，雖然只有三項，但是帶根號、通分之后化簡很不方便，所以大部分學生開始往放縮法轉移。繼續投影學生的證明過程：

學生方法一：

學生方法二：

設計意圖：放縮法是證明不等式最重要的方法之一，把數學歸納法和放縮法雙劍合璧可以極大的簡化證明過程，但極其考驗學生分析、推理的能力，是學生掌握的一個難點。問題二及變式通過放縮法化零為整，使證明過程簡單明了。尤其是變式，它是2019高考題，學生利用數學歸納法證明命題成立時，把不等式化歸到幾項間比大小，在第二步做差比較行不通時，通過比較、分析，利用適當的放縮達到目的，知道了運用放縮法解題是很自然的過程，其本意是為了更方便比較，放縮法沒有想象的那么高大上，同時體驗到了數學歸納法以及放縮法的威力，既挑戰了高考難題又激發了學習的積極性。

4、師生小結，完成總結提升

之后學生小結師點評并歸納總結。（過程略）

三、課后反思、總結

針對高三一輪復習中數學歸納法的復習，筆者設計了兩課時，以上是第一課時的教學設計。在引導學生完成了數學歸納法原理的梳理之后，筆者把重點放在了推動學生探索如何結合分析法、比較法和放縮法來證明歸納遞推。第二課時講評數學歸納法的課后作業，通過評練結合，鞏固證明歸納遞推的幾種重要方法。盲目地搞題海戰術會嚴重影響學生學習的積極性，所以教師必須有的放矢地設計高質量的課堂教學，精選素材，巧設問題，推動探索，潛移默化地培養學生深度學習的能力，為迎戰高考夯實基礎。筆者有以下幾點建議，拋磚引玉。

1、必須引導學生把新授課時沒有弄懂的定義、概念、原理理解清楚。數學方法確實很重要，但定義、概念、原理是對事物數量關系和空間形式的本質的描述，是數學方法的基礎，教師在一輪復習時切不可急于講授數學方法，學生只有在掌握了數學知識點的本質后才能掌握方法、靈活地運用方法解題。

2、必須推動學生把新授課時學而不全的知識點、方法探索全面。俗話說得好“成功在于細節”，很多學生對知識點、方法掌握不透不深，導致解題不能得高分、滿分，這時候教師一定要巧設問題，引導學生做得出、講得清。

3、必須推動學生把新授課時沒有學過的、比較困難的方法探索透徹。有些知識點、方法新授課時沒有涉及到過，本身也比較困難，那么在復習課的時候就該把這個知識點、方法通過具體問題、情境，辯證、聯系地講練清楚，使學生明確其產生的來龍去脈以及使用方法。

4、必須強調知識點、方法間的聯系，從而形成知識體系。數學的知識點是相互聯系的，教師在上復習課的時候切忌一節課只涉及一個知識點，應該把涉及到的知識點間的聯系講解清楚，進行整體教學，使學生對該系列的知識點有全面的理解，從而形成體系。

5、必須引導學生養成深度思考、全程參與的習慣，進而深度理解。高三復習時間緊任務重，有些教師為了能夠講解更多的題目采取了“滿堂灌”的方法，這是極不可取的，深度學習強調學生學習的過程，通過教師的引導，學生只有親身經歷問題的提出以及解決的過程，學生自己能夠講出來、講透徹，才可能對問題的本質有所了解，才能真正掌握知識、方法。

本文最后，以張金良先生的話結尾：“在現實課堂教學中，如何在有限的教學時間內引導學生做到深度學習確實不易，既要完成既定的教學任務，又要讓學生盡量充分地去體驗學習的過程，這是一線教師開展深度學習最難解決的矛盾，首先要求教師要對教學內容進行深度的學習，只有這樣才能深度理解教學內容、批判質疑有關問題、揭示問題的本質”[1]。

參考文獻：

[1]張金良.構建深度學習課堂 促進數學核心素養的養成[J].中學教研（數學），2019（11）：1-5.