利用基本不等式求函數最值

吳海英

摘要：求函數的最值問題是一類常見的高考題型，而運用基本不等式解決函數的最值問題是高中數學教學中求最值的常見方法，成為高考數學的難點和熱點問題。因此，本文從運用基本不等式求函數的最值方面進行了闡述，借助消元、換元以及配湊等靈活的函數變形方法，構造出滿足基本不等式的最值條件，從而運用基本不等式及其變形公式求函數的最值，使得解題過程簡潔明了。

關鍵詞：基本不等式；函數最值；消元；換元；變形

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）09-0156

基本不等式的應用是高中數學教學的重點和難點之一，自然也成為高考數學命題的熱點?？v觀近幾年的高考試卷，基本不等式都是必考考點，并且涉及基本不等式的內容都側重于對考生能力的考查，這就要求考生不僅能夠直接運用基本不等式求解，還需要掌握運用消元、換元以及配湊等方法將式子進行適當變形，構造出利用基本不等式的條件，然后運用基本不等式來求解。

運用基本不等式求函數最值的三個必要條件是“一正、二定、三相等”。在具體的題目中，“正數”條件大多可以從題干中找到，“相等”條件同樣比較容易確定，而往往是“定值”條件難以解決。它需要解題者有熟練的解題能力和變形技巧。通常，當積為定值時，和有最小值；當和為定值時，積有最大值。因此，在求和的最小值時，就要想到把積湊成定值，在求積的最大值時，要想到把和湊成定值。筆者根據自身的數學解題和教學經驗，從一元函數求最值、二元函數求最值和多元函數求最值的角度，將基本不等式在函數最值中的應用舉例如下。

一、一元函數求最值

一元函數的最值問題作為高中數學最值問題的基礎，一般出現在填空和選擇題中。求解一元函數的最值問題，通常需要運用簡單的消元、換元等方法，構造基本不等式的條件，從而求解函數的最值。

高考復習的時候需要訓練考生掌握和靈活運用基本方法，這樣才可以順利地將復雜的函數問題轉化為較為簡單的函數問題。同時，教師還應該培養學生從陌生的數學問題中分離出熟悉的函數最值問題，能夠做到舉一反三、觸類旁通，這樣才可以幫助學生快速找到解決的辦法，使學生對該類數學問題有更深入的認識。

（作者單位：浙江省龍游縣第二高級中學324400）